CHAPITRE IV
NouçavoDS étudié, dans les chapitreg précédents, le mouvement produit par une force constante en grandeur et eil direction. Lorsque la vitesse initiale est dirigée suivant la \a^mi^ droite que la torcei le mouvement est rectiligne et uniformément varié ; lorsque la vitesse initiale a une direction différente, le mouvement est parabolique. Dans l^s deux cas, racoélération est égale à la force divisée par la m^^ du mobile. Nous verrons que cette loi est gênéral9^ Qt que, lorsque la force est variable, l'accélération, à chaque instant, est égale au quotient de la force par la msiU&* Nous icammdnceroas par examiner le cas où le mouvement est rectiligne.
THÊORiaiK I.
97. Dans un mouvement rectiligne. varié, iaocétération, à chaque instant, est égale à la force divisée par la masse du mobile.
Supposons qu'un mobile, animé d'une vitesse initiale dans la direction XTC, soit sollicité par une force variable F dirigée suivant la même droite X'X. Nous regarderons la force comme positive quand elle sera dirigée dans le sens X'X, et comme négative quand elle sera dirigée en sens contraire, et de même la vitesse. Il est clair que le mouvement du mobile sera un mouvement rectiligne, et que la vitesse augmentera ou diminuera suivant que la force sera
112 LnrBK n. dtnâiiique.
positive ou négaftve. Désignons par m la masse du mobile.
Soit V la vitesse du mobile au temps t, v+Lv sa vitëssse
au temps t+tkt. Appelons F' la plus petite valeur de
la force variable F pendant l'intervalle de temps Lt, V
sa plus grande valeur. Si la force était constante et égale
à F', elle produirait dans le temps A^ une variation de
F'Af vitesse égale à [n^ 72) ; de même, si la force était
constante et égale àF\ elle produirait dans le même temps
une variation de vitesse égale à . La force F étant
plus grande que F', la variation de vitesse Lv produite
par la force F dans le temps A/ est plus grande que celle
produite par la force F' dans le même temps; de même,
la force F étant moindre que F'^ la variation de vitesse
produite par la force F est moindre que celle produite
par la force F'^. On a donc
-— •<At)<-— , m m
ou, en divisant par A/,
r At; r m ^t rn
Imaginons maintenant que l'intervalle de temps M tende
vers zéro, le rapport —, ou l'accélération moyenne, tend
vers une limite qui est Taccélération y au temps t; les deux forces F' et F" tendent vers une même limite qui est la valeur F de la force variable au temps t; Taccélération
moyenne ^ étant comprise entre les deux quotients —
MOUYCMENT PRO0Oir PAR UNE FORGE VARIABLE. 113
®^ —f 9^i tendent vers une même limite —, sa limite y
est égale à — ; on a donc, à chaque instant,
LEMBIE.
98. Dartë tout mouvement curviligne, ^accélération de la projection du mobile sur une droite quelconque est, à chaque instant, égale à la projection de la force qui sollicite le mobile divisée par la masse du mobile.
Considérons un mobile de masse m sollicité par une force variable F et décrivant une trajectoire AB dans l'espace {fig. 67). Par le point M, position du mobile au temps t, menons un plan P parai- Fig. e?.
ièle à un plan donné, le point M' Ir^.---^
où ce plan rencontre l'axe X'X uy^^'^^^R
est la projection du point M ; ima- /^/i\\ ginons un second mobile placé au a/ / ^* ^
point M' et marchant comme la I
projection du premier. Décompo- *' ^ ^
sons la force F, qui sollicite le premier mobile, en deux forces, Tune F, parallèle à Taxe, l'autre F,, située dans le plan projetant; il suffit, pour opérer cette décomposition, de mener un plan par les droites F et F^, de prendre l'intersection F, de ce plan avec le plan projetant, puis de former le parallélogramme. Décomposons de naéme la vitesse v du premier mobile au temps t en deux vitesses, Tune v^ parallèle àl'axe, Tautre v^ située dans
i 1 4 Lrr AE n . dvh ahiqcb .
le plan projetant. Concevons un système da points matériels égaux au point matériel proposé, animés tous de là vitesse v, au temps t et sollicités par la même force F^; ce système prendra un mouvement de translation rectiligne, parallèlement à la droite X'X; en vertu du théorème précédent, Taccélération de ce mouvement rectiligne est
égale à chaque instant à -' ; le plan P, considéré comme
faisant partie du système, se déplacera parallèlement à lui-même. Imaginons maintenant que le point matériel proposé soit animé dans le système de la vitesse relative Djj au temps / et soit sollicité par la force F, qui est toujours contenue dans le plan P. Le mouvement relatif du mobile dans le système est le même que si le système était en repos ; mais alors le mobile, ayant sa vitesse initiale v^ dans un plan fixe P, et étant sollicité par une force F, contenue dans ce plan, resterait dans ce plan ; le mouvement relatif déplace donc simplement le mobile dans le plan P, et par conséquent n'a pas d'influence sur le mouvement de la projection. Il en résulte que le mouvement de la projection est le même que le mouvement de translation du système, mouvement rectiligne et parallèle à X'X; l'accélération du mouvement de la projection est donc égale à
—, c'est-à-dire à la projection de la force F qui sollicite le
mobile, divisée par la masse.
Cette proposition est vraie, que les projections soient obliques ou orthogonales.
99. Remarque. Ici quelques explications sont nécessaires pour bien faire comprendre ]^ rigueur de cette démonstration. La force F qui sollicite le mobile proposé est une
MouvEMEm' msmm »aa mu forge yaruble. i i 5
force variable ; ordinairement la variation d'une force provient du changement de position du mobile ; en d'autres termes, la force est une fonction des coordonnées x, y, z du mobile. Mais, le mouvement étant supposé connu, les coordonnées sont des fonctions de t, et Ton peut regarder la force F comme une fonction du temps t; les deux composantes F, et Fj, seront aussi regardées comme des fonctions du temps. On conçoit très-bien, d'après cela, que le mouvement proposé puisse être considéré comme le mouvement résultant de deux mouvements, l'un rectiligne et parallèle à X'X produit par la force F,, l'autre situé dans le plan P et produit par la fqrce F^^. Le premier mouvement est celui de la projection.
THÉORÈME n.
100. Bans un mouvement curviligne quelconque, t accélération est, à chaque instant, égale en grandeur et en direction à la force qui sollicite le mobile divisée par la masse du mobile.
Appelons F la force qui sollicite ^»8. «»•
le mobile, a, i, c les angles qu'elle ^
fait avec trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ (fig. 68). Désignons par y l'accélération du mobile proposé nu temp$ t, et par a% b', c' les angles qu*elle fait avec les axes.
Nous venons de démontret que l'accélération de la projection du mobile sur chacun des axes est égale à la projection de la force qui sollicite le mobile divisée par la masse. Mais nous savons (n^ 40) que l'accélération de la
116 LIVRE n. DTHAHIQUE.
projection du mobile sur chacun des axes est égale à la projection de Taccélération du mobile lui-même dans l'espace. On a donc les trois équations
- Fcosa ycosa'= ,
/M\ § L/ FcosA (1) < ycos*'= ,
Fcosc
ycosc'=
On en déduit
cosfl^ CQS^^ cos^' m
cos« cosô cosc y"*
Si Ton combine les trois premiers rapports d'une façon convenable, on obtient le rapport égal
l^cos^ a'+ cos* b'-h cos^ c' .
J^ cos* a -+- cos* b + cos* c
Les quantités ^ et y étant essentiellement positives, on
prendra le signe + . On a ainsi
cos«' cosô' cosc'
cosa cosô cosc
II en résulte
On voit par là que TaccélératioD y au temps t a même direction que la force F, et que sa valeur numérique est égale à la valeur numérique de la force divisée par la masse du mobile. En un mot, la grandeur géométrique MG, qui représente l'accélération, est égale à la grandeur géométrique MF qui représente la force, divisée par le nombre abstrait m» que Ton appelle masse du mobile.
101 • Corollaire I. Ce théorème est très-important ; il établit une relation très-simple entre la force et le mouvement qu'elle produit. C'est à l'aide de ce théorème que Ton parvient à résoudre les deux questioos principales qui se présentent en dynamique : 1® un mouvement étant observé, trouver la force qui le produit ; 2® étant donnés la force qui agit sur le mobile et l'état initial du mobile, c'est-à-dire sa position initiale et sa vitesse initiale, trouver le mouvement.
Si l'on rapporte le mobile à trois axes rectangulaires fixes, et si l'on appelle x, y, z les coordonnées du mobile, noua savons que les projections de la vitesse sur les axes sont exprimées par les dérivées premières DtX, D^y, D,z, et les projections de l'accélération par les dérivées secondes Dt^Xy Di^y, D|*^. L'accélération y étant égale en grandeur
et en direction au quotient — on a les trois équations
rHr»
(*) i I>^V=^cosé,
D,'z=— cosc, m
H 8 LITRE n. DYNAVIQUE.
Quand on connaît le mouvement, x, y, z étant des fonctions connues de t, ainsi que leurs dérivées, ces trois équations donnent les trois projections de la force inconnue qui produit le mouvement, et par conséquent déter*minent cette force en grandeur et en direction.
Quand on donne la force et qu'on cherche le mouvement, il faut à ces équations joindre celles qui se rapportent à l'état initial du mobile. Soient x^, yoy z^ les coordonnées du mobile au temps ^==;o, î?„ sa vitesse initiale, d'oy b'o, c\ les angles qu'elle fait avec les axes, on doit avoir, pour ^=o,
ia:=aro, l D|a?=5t?oCOSa'o)
y = yo, (3) j D,y=î;oCOSÔ^o,
^=2o; ( D|5? = t)oCOSC'o.
La question revient à trouver trois fonctions x, y, z de t, satisfaisant aux équations (1), et vérifiant les conditions (2) et (3).
On peut aussi procéder d'une autre manière : l'accélération , et par conséquent la force, sont situées dans le plan osculateur ; nous avons démontré (n** 47) que les projections de l'accélération sur la tangente et sur la normale prin-
cipale ont pour expressions D,v et —, r étant le rayon de
courbure. On a donc, en désignant par a l'angle que fait la force avec la tangente, les deux équations
D|t?«» — cosa, m
