CoROLumE IL Nous avons isiipposé, dans ce qui pré
MOUVEHEKT PRODUIT PAR UNB FORGE YÂRIÂBLE. 119
cède, qu'une seule force agit sur le mobile. Lorsque plusieurs forces agissent sur le mobile, comme on peut le$ remplacer par leur résultante, on dira que raccélération est égale en gr^indeur et en direction à la résultante des forces divisée par la masse. Mais, quand on se sert des équations (1), il n'est pas nécessaire de chercher préalablejtnent la résultante ; on sait, en effet, que la projection de la résultante sur un axe quelconque est égale à la somme de projection des forces. On a ainsi les trois équations
mDtV=P*cos« + F'cos<^'- > mD,*>s=Fcosc+F'cosc'-
Si Ton projette sur la tangente, sur la normale principale, et sur la perpendiculaire au plan osculaleur, on écrira que là somme des projections des forces sur la tangente est égale à mBtVj qu£ la somme des projections des forces
sur la normale principale est égale à — , et enfin que
la somme des projections des forces sur la perpetïdiculaire au plan osculateur est égale à zéro. Cette dernière équation exprime que la résultante des forces est située dans le plan osculateur.
On arrive au même résultat, en décomposant chaque force en deux forces, Tune dirigée suivant la tangente, l'autre située dans le plan normal. Il suffit, pour cela, de mener un plan par la tangente et la force, et de prendre rintersection de ce plan avec le plan normal. La somme des composantes tangentielles est égale à mù^v; la résultante des composantes normales est dirigée suivant la normale
principale et égale a — .
120 LITBE n. MNAMiaUE.
103. Corollaire III. Lorsque la résultante des forcés qui sollicitent le mobile est constamment normale à la trajectoire, en d'autres termes, lorsque la somme des composantes tangentielles des forces est nulle,* on a mD,v=o, et par suite v= t?o ; la vitesse est constante. C'est ce qui a lieu quand un mobile se meut sur une courbe fixe parfaitement polie, sans être sollicité par aucune autre force que la réaction normale N de la courbe {fig. 69 ) ; la vi-
.Fi«. 6P, tesse du mobile, quoique changeant sans
cesse de direction, reste constante. La réaction normale N,que la courbe exerce sur le mobile, est dirigée suivant la normale
principale et est égale à ; elle varie
en raison inverse du rayon de courbure.
Le mobile exerce contre la courbe fixe une pression — N, égale et contraire à cette réaction normale.
Lorsque le mobile se meut sur une surface parfaitement polie, sans être sollicité par aucune autre force que la réaction normale de la surface , la vitesse est aussi constante ; la trajectoire décrite par le mobile sur la surface a sa normale principale en chaque point normale à la surface ; c'est une propriété de la ligne minimum tracée' sur la surface d'un pointa un autre.
104. Corollaire IV. Nous savons (n^ 39) que, dans le mouvement circulaire uniforme, l'accélération est sans
cesse dirigée vers le centre et égale a — ; on en conclut que la force nécessaire pour un pareil mouvement est dirigée vers le centre et égale à — . Cette force ccn-
MOUVEHEliT PROOUGT PAA UNB FORCE YARUBLE. 121
tripète est proportionnelle au carré de la vitesse et en raison inverse du rayon.
Lorsqu'un corps, placé dans une fronde, tourne d'un mouvement uniforme, la force qui produit ce mouvement circulaire est la tension du fil ; elle provient de Teffort exercé par la main qui tient l'extrémité de la corde. Si le corps pèse un kilogramme, et décrit un cercle de 1 mètre de r^yon avec une vitesse de 10 mètres pat? seconde, la
force centripète est égale à — -=^^-^ = 10,2 kilo-
grammes.
On donne encore à la force centripète, capable de produire le mouvement circulaire uniforme, une autre expression. Le rayon OM, qui va du centre au mobile M {fiff. 70), décrit des angles proportionnels au temps. .On appelle vitesse angulaire l'angle M OM ' Fig. to.
décrit par le rayon dans l'unité de temps. Cet angle est mesuré par l'arc ab compris entre ses côtés dans le cercle dont le rayon est égal à l'unité. Si, par exemple, le mobile décrit la circonférence en 40 secpndes, la circonférence de rayon 1 étant égale à 2?:, Tare ab décrit par le point a en une seconde, ou la vitesse an*
gulaire, est égal à 7^. Nous désignerons par o) la vitesse
angulaire ab; la vitesse v du point M, ou l'arc MM' décrit
*en 1 seconde, est égale à gjt, et la force centripète a pour
mwV , , . j. ,
expression , c est-a-dire mwV.
122 wm n. DTRAiOQne*
Ejtempleg.
Il est bon d^appliquer à quelques exemples les principes que nous venons d'exposer. Considérons, en premier lieu, le mouvement des planètes.
105. Première question. — Mouvement des planètes. Les planètes décrivent autour du soleil des orbites à peu près circulaires et d un mouvement à peu près uniforme. Nous bornant pour le moment à une première approxi-^ mation, nous supposerons les orbites rigoureusement circulaires et le mouvement uniforme. Il en résulte que chaque planète est sollicitée sans cesse par une force dirigée vers le centre du soleil. Le soleil attire en quelque sorte les planètes, comme une corde tire la pierre qu'elle fait tourner en cercle : cherchons la loi de cette attraction.
Soit m la masse d'une planète, r le rayon du cercle qu elle décrit autour du soleil, T la durée de la révolution, F la force qui sollicite la planète vers le soleil, on a
aîrr mv* ^it^mr
On aura de même, pour une seconde planète,
On en déduit
Kepler a reconnu par l'observation que les carrés des
MOUTEIIENT PBoràn «A UNS ItiaCE TARUBLE. 193
temps des révolutions sont proportionnels aux cubes des rayons ; on a donc
on en déduit
ou
Ce rapport est le même pour toutes les planètes ; en désignant par fx la valeur de ce rapport constant, on a
d'où F=^.
Ainsi, ^attraction que le soleil exerce sur les planètes est proportionnelle aux masses des planètes et inversement proportionnelle au carré de leurs distances au centre du soleil. C'est la loi célèbre de Newton. Nous traiterons plus tard (liv. V, chap. i) la même question dans Thypothèse plus exacte du mouvement elliptique.
106. Autour de certaines planètes^ de Jupiter, par exemple, se meuvent des satellites, suivant les mêmes lois que les planète^ autour du soleil; on en conclut que la planète attire les satellites, proportionnellement aux
124 UTRE n. DTRAMÎQVE.
masses des satellites, et en raison inverse du carré de leurs distances au centre de la planète.
L'attraction des planètes s'exerce aussi sur les corps placés à leur surface, et alors elle prend le nom de pesanteur. Ainsi, c'est l'attraction de la terre sur les corps placés à sa surface qui les fait tomber vers le centre ; c'est l'attraction de la terre sur la lune qui fait tourner celle-ci autour de la terre.
Le mouvement de la lune a fourni à Nev^ton une vérification très-simple de sa loi d'attraction. Calculons la force centripète capable de faire décrire à la lune son cercle autour de la terre. La lune parcourt 1020 mètres par seconde; sa distance au centre de la terre est 60 fois le rayon de la terre, ou 6360000 x 60 mètres ; on trouve
1020^ ainsi, pour l'accélération, 6560000 X 60 "^ 0,00272.
Telle est l'attraction que la terre exerce sur chaque unité de la masse de la lune. D'autre part, les expériences sur la chute des corps, ou les oscillations du pendule, donnent pour l'intensité de la pesanteur à la surface de la terre le nombre 9,8; c'est l'attraction de la terre sur Tunité de masse à une distance du centre égale au rayon de la terre. En comparant les deux nombres 0,00272 et 9,8, on voit que le premier est 3600 fois plus petit que le second. On en conclut que l'attraction de la terre à la distance de la lune est 3600 fois plus petite que l'attraction à sa surface ; or, la distance de la lune au centre de la terre égale 60 rayons terrestres, et 3600 est le carré de 60 ; on retrouve ainsi la loi du carré des distances. .
107. Le soleil attire les planètes, les planètes attirent les satellites; tous les astres, sans exception, attirent les
MOUTEMEm' PRODUIT PAR UNE FORGE VARIABLE. 125
corps placés à leur surface. La loi de rattraction régit, QOD'SeuIement notre système planétaire, mais encore les autres systèmes; car, dans les mouvements des étoiles doubles, on retrouve les lois de Kepler. L'attraction paraît donc être une loi générale de la nature ; on Ténonce ainsi : Deiujc molécules matérielles qicelconques s'attirent proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré de leurs distances. Soient m et m' les masses de deux molécules, r leur distance ; l'attraction de ces deux molécules sera représentée par la formule
fmm'
dans laquelle la lettre /désigne une constante, savoir l'attraction mutuelle de deux unités de masse à l'unité de distance.
L'attraction s'exerce entre les plus petites particules matérielles : en vertu de l'attraction de ses molécules les unes sur les autres, une masse fluide doit prendre nécessairement la forme sphérique. Ainsi, c'est l'attraction qui préside. à la formation des astres.
La pesanteur à la surface de la terre est la résultante des attractions de toutes les molécules qui composent le globe terrestre sur un corps placé à sa surface. Cette résultante est dirigée vers le centre de la terre. On démontre, en effet, que la résultante des attractions de toutes les molécules d'un globe sphérique composé de couches homogènes est exactement la même que si toute la masse du globe était concentrée en son centre. Ainsi, si la masse d'un globe est m, son rayon r, l'intensité de la pesanteur à sa surface, c'est-à-dire l'attraction exercée par le globe
121 UTIB. II« ftniAKKgJB.
sur chaque unité de masse placée à sa surface, sera '—.
On démontre aussi que la résultante des attractions des moléaules d'un globe sptiérique sur les molécules d'ua autre globe sphérique est la même que si les masses des deux globes étaient concentrées en leurs centre^. Gettô propriété est importante. Ainsi, dans le mouvement des as^ très les uns autour des autres, tout se passe comme si les centres s'attiraient directement, et Ton peut supposer, pour simplifier, les astres réduits à leurs centres, c'est-àdire les considérer comme de simples points matériels.
108. Deuxième question. — Considérons un point pesant se mouvant sur un cercle horizontal. Le point matériel de masse m est sollicité par deux forces, son poids ^ représenté par la droite verticale MA {/ig, 71), et la réac- Fig. 71. tion normale N de la courbe. Cette
y réaction, que nous représenterons par
^^ *V^ ^^ droite MB , est située dans le plan
\ 4^^ ) liormal et fait avec le rayon horizontal
^'-'^ ^ A ^^^ MO un certain angle a. Ces deux forces
étant normales, la vitesse est constante
^ (n® 103) ; en outre, leur résultante MC
doit être dirigée suivant la normale principale qui est le
rayon MO du cercle, et égale à . On peut, d'après
cela, déterminer la réaction N en grandeur et en direction ; car, dans le triangle rectangle MCB, les deux côtés de Tangle droit étant connus, on a
« V* ^ gr
9'+jv tang«=|^.
NOUYEMEKT PlOOm féê V»^ raBCE TABIABLE. IST
Plus la vitesse est grande, plus l'angle « est petit. Le mobile exerce contre le cercle fixe une pression égale et contraire à la réaction normale N que la courbe exerce sur le mobile.
iOd. Troisième qtjestios. — -Le pendule conique, qui sert de régulateur pour les machines à vapeur, est formé d'une tige rigide OM, de longueur /, articulée à charnière par son extrémité supérieure à Taxe de rotation vertical OZ, et portant à son extrémité inférieure une masse m (fig. 72). Le plan ZOM tourne d'un mouvement uniforme autour de Taxe vertical OZ, avec une vitesse pjg. 72. angulaire donnée o) (nous appelons vitesse angulaire l'angle dièdre décrit par ce plan en une seconde, angle mesuré par un angle plan, c'est-à-dire par un arc de cercle); la tige OM s'écarte plus ou moins de l'axe de rotation OZ^ en touroant autour de la charnière ; nous cherchons l'angle 6 que doit faire la tige OM avec Taxe vertical OZ pour se maintenir constant pendant toute la durée du mouvement. Afin' de simplifier, nous négligerons la masse de la tige OM, comparativement à la masse m de la boule placée en M. Si l'angle Q reste constant, le point M décrit un cercle horizontal de rayon MC égal à/sin 9, avec une vitesse égale à « X MC. Le point M est sollicité par deux forces^ son poids mg représenté parla droite verticale MA, et la tension N de la tige représentée par la droite MB; pour que ce point décrive un cercle d'un mouvement uniforme, il faut que la résultante MD de ces deux forces soit
dirigée suivant le rayon MC du cercle et égale à^^, c'est'
à-dire à ma>* X MG ou à mvfl sin 0. Dans le triangle rectangle MBD, on a
ou
MD=pDXtange, mo^/ sin 9s=mg tang 9 ;
on en déduit cos = -^|.
Cette formule donne l'angle fi, qui correspond à une vitesse angulaire de rotation &>. Pour que le pendule s'écarte de la verticale, il faut que le second membre ait une valeur
moindre que Tunité, ce qui exige que l'on ait &>> L/ j.
Plus la vitesse angulaire w de rotation est grande, à partir de cette limite, plus l'angle fi est grand ; quand la vitesse w est très-grande, Tangle est voisin d'un angle droit.
110. Quatrième question. — Une courbe plane tourne d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical OZ situé dans son plan ; quelle doit être la forme de celte courbe pour qu'un point pesant, placé en un point quelconque M de cette courbe, sans vitesse initiale relative, reste en repos relatif?
Le mobile est sollicité pîir deux forces, son poids mg représenté par la droite MA,;et la réaction normale MB delà courbe (fig. 73) ; si le mobile reste en repos relatif sur la courbe, il décrit d'un mouveipent uniforme le cercle ayant
Fig, 78.
pour rayon la perpeadiculaire MC abaissée du point M sur l'axe de rotation; la résultante MD des deux forces MA et MB, doit être dirigée suivant le rayon MC et égale à mu? X MC. Les deux triangles semblables MCP, MDB donnent la proportion
CP DB mg MC~MD~ma)'XMC'
d'où Ton déduit
