CP

Ainsi la sous^normale CP est constante. Or on sait que la parabole jouit de cette propriété. Une parabole ayant pour axe OZ satisfera donc à la question.

111. Cinquième question. — Pesanteur sensible. La terre tourne autour de son axe d'un mouvement uniforme ; la durée de la révolution , ou le jour sidéral, contenant

86400 secondes, la vitesse angulaire w est égale à -^r — ,

soit environ 0,00007; c'est une quantité très-petite. Si la terre, que Ton suppose avoir été une masse fluide au commencement, ne tournait pas sur elle-même, en vertu de l'attraction de ses parties les unes sur les autres, elle aurait pris la forme sphérique; la résultante des attractions exercées par les différentes parties du globe sphérique sur un corps placé à sa surfate serait dirigée vers le centre, et constituerait le poids du corps; mais la rotation de la terre modifie ces résultats.

Considérons d'abord un point matériel, de masse m, placé à réquateur et suspendu par un fil attaché à un point fixe. Ce point matériel est sollicité par deux forces, l'attrac-

LrrilEll. DYNAMIQUE.

tion À du globe terrestre, laquelle est ici dirigée vers le centre, et la tension N du fil, dirigée en sens contraire. Ce point décrivant un cercle, de rayon R, avec la vitesse angulaire u, la résultante Â-^N des deux forces qui le sollicitent doit être dirigée vers le centre et égale à mwV; on a donc

d'où

Le poids du corps est une force égale et contraire à la tension du fil ; on voit par là que le poids d'un corps à Téquateur est égal à l'attraction du globe diminuée de la force nécessaire pour produire le mouvement circulaire du corps. Cette force est égale à m X 0,033 ; c'est à peu

près le ôsq de la pesanteur.

Considérons maintenant un point matériel placé à une latitude quelconque et suspendu par un fil attaché à un point fixe ; ce point matériel est sollicité par deux forces, l'attraction MA du globe et la tensioA MB du fil {fig. 74); Fig. 74. le point décrivant en un jour

le parallèle MM' sur lequel il est situé, la résultante MG de ces deux forces doit être dirigée vers le centre D de ce parallèle et égale à mw* x MD.

Il est nécessaire pour cela que le prolongement MK du il fasse un certain angle KM A avec l'attraction MA. Le poids du corps est une force égale et contraire à la tensiion N du fil ; cette force est dirigée suivant le prok^gemeut MK du

MOUtEMENT PROBUIT FAR UNE VORCE VARIABLE, 131

fil $ on a ainâi la direction du fil à plomb ou la verticale du lieu M ; Tangle MKE qu'elle fait avec l'équateur est la latitude h La verticale ne paiâse donc plus par le centre 0, et comme le plan horizontal HHS ou la surface des eaux tranquilles, doit être en chaque point perpendiculaire à la verticale MK, on conçoit que la forme sphérique ne convient plus à Téquilibre et que la terre a dû prendre la forme d'un ellipsoïde de révolution aplati.

La force MC capable de produire le mouvement circulaire du point M est égale à mw* X MD^; elle est très-petite. Dans le triangle MAC, on a

iO^=CaVmG— 2.ÇA.MC.C0SMCA, c'est-à-dire

A««=N*-+. MC+2N.MC .cos X.

On peut écrire cette équation sous la forme

A'«=:(N+MC.cosX)»-hMC^ sin^ X.

Le terme MCXsin'X egt une quantité très-petite du second ordre, MG étant regardée comme une quantité petite du premier ordre ; on peut la négliger sans erreur sensible, oe qw réil^it l'équation à

A=N+MC.cosi, d'où N=A— MC.cosA.

Le rayon MD du parallèle que décrift le point M est égal à OM X sin POM ; l'ellipsoïde terrestre différant ^eu d'une sphère, PaitractioD MA fait un très-petit angle avec le rayon MO, de même que la verticale ME; l'angle POM est à peu près complémentaire de l'angle A, le rayon OM dif-

fère peu du rayon r de l'équaleur, et l'on a approximativement

MD==OMcosX=:rcosX,

MC=m(k)VcosX; et par suite (2) N=A— mwVcos'X.

L'attraction A elle-même varie avec la latitude.

Cherchons maintenant Tangle très-petit ÀMK que fait la verticale avec la direction de Tattraction, angle que nous désignons par a. Dans le triangle AMG, on a

sin a MG

sinX""MA'

le sinus de l'angle très-petit a différant très-peu de Tangle lui-même, on en déduit approximativement

MCsinX mw'rsinXcosX mcaVsinîX

MA

aA

L'angle a est nul à Téquateur et au pôle, maximum à la latitude de 45 degrés.

112. Sixième QUEsnoM. Cherchons le mouvement d'un Fig. 75. point pesant assujetti à glisser sur une hélice tracée sur un cylindre droit vertical (/îy .75). Si Ton appelle a Tangle constant que font les tangentes à Thélice avec les génératrices du cylindre et a le rayon de la base, on sait que la normale principale à Thélice au point M, est le rayon MG du cercle horizontal passant par le point M, et que le

rayon de courbure r a pour valeur . ^ (a® 48). Soit

M une position quelconque du mobile ; le mobile est sollicité par deux forces, son poids mg représenté par la verticale MA et la réaction normale N de la courbe, réaction que nous représentons par une droite MB, située dans le plan normal à Thelice et faisant avec la normale principale MCun certain angle j3. Décomposons la force MA en deux forces, Tune MD = my cos a dirigée suivant la tangente, l'autre ME= mj' sin a dirigée suivant une normale. La force tangentielle MD fait varier la vitesse, et Ton a

mD/t? = mycosa, ou plus simplement

Dt?; = ^cosa; d'où • u = ycosaX^

en supposant nulle la vitesse initiale. Le mouvement sur l'hélice est uniformément accéléré. Les deux forces normales ME et MB ont une résultante MK dirigée suivant

la normale principale MC et égale à ou à

Le rayon horizontal MC est perpendiculaire au plan tangent au cylindre en M et, par conséquent, à la droite ME située dans ce plan ; le triangle MKB est rectangle en K, et Ton a dans ce triangle

iw I / % % . î;*sin*a I / 2 . ^*sin*a:

N=mJ/^ y sm'«H ^—^msmay/ g'-i ^— ,

tangA=.^.

A mesure que le mobile descend, la réaction normale N augmente, tandis que langle |3 diminue.