Septième queshon. Trouver le mouvement d'un point
matériel placé au point A sans vitesse initiale et sollicité
p. ^g par une force dirigée vers un
^, ^ ^ point fixe et proporti<Minelle
'^ ' ' *"" à la distance [jig. 76).
Soit M une position quelconqiie du mobile ; désignons par X la distance OM, affectée du âgne + ou du signe —, suivant qu'elle est comptée dans le sens OA ou en sens contraire. La vitesse v et l'accélération y seront de même positives ou négatives, suivant qu'elles seront dirigées dans le sens OA ou en sens contraire. Si m est la masse du mobile, la force qui le sollicite vers le point peut être exprimée par — m/utx, \l désignant une certaine constante ; l'accélération est égaie à — ^; on a donc
(1) D,*a: = — fxar.
A cette équation il faut joindre les conditions initiales ; en appelant a la distance initiale OA, on doit avoir pour
(2) a?=fl, i;=D|a:=o.
La question revient donc à trouver une fonction x de i satisfaisant à l'équation (1) et vérifiant les conditions (2). D'après l'équation (1), la fonction x doit se reproduire en signe contraire et au facteur constant \k près par deux dérivations ; nous savons que le sinus et le cosinus jouissent de cette propriété. Posons
(3) a: == A cos t^\t. + B sin t^^ ; 011 en déduit
(4) Dia: = — A»/^ sin ^j/^ + B/> oos ^j/^, D/a; = — A/x cos tV^\ji — B/x sin tV~\ii = — jua:.
MOUYEHEm' PRÔBIirr PAR UNE FORCE VARUBLE.
Ainsi la fonction (3) satisfait à l'équation (1), quelles que soient les deux constantes A et B. On déterminera les valeurs de ces deux constantes par les conditions initiales (2). Si dans les expressions (3) et (4) on fait ^=o, on doit avoir
Ainsi la fonction
(5) a: = acos^j/~/ji,
d'où
(6) v = — a\/^iisint^^,
satisfait à toutes les conditions du problème et, par conséquenjt, représente le mouvement cherché.
On voit que le mouvement est périodique ; le mobile oscille de part et d'autre du point 0; la période est égale
à -p^ ; elle se compose de deux oscillations AA', A 'A égales
entre elles. Cette période est indépendante de V amplitude a^ elle ne dépend que de la constante ^ ; on dit que les oscillations sont isochrones.
114. HumÈHE QUESTION. Mouvcmeut d'un pendule simple écarté très-peu de la verticale CO et abandonné à lui-même sans vitesse initiale.
Appelons / la longueur GA du pendule (/îg'. 77); a l'écart initial OA; x l'arc variable OM , et © Tangle varia-
ble OCM, lequel a pour mesure -t.
Nous regardons la vitesse v]àM point M comme positive ou négative, suivant qu'elle est dirigée dans le sens OA ou
136 LIVRE n. DYNAMIQUE.
en sens inverse. Le point matériel M est sollicité par deux forces, son poids mg représenté par la droite MB et la tension MD de la tige. Décomposons la force MB eadeuxforces, Tune ME=m5'sin0 dirigée suivant la tangente, l'autre MH =my cos e dirigée suivant le prolongement dé la tige/ La composante «tangentielle fait varier la vitesse, et Ton a
T^ ma sin
ou D,*a:=— ^sin-j.
L'arc B étant très-petit, on peut approximativement remplacer le sinus par l'arc, et l'équation se réduit à
La question est ramenée ainsi à la question précédente ; tout se passe comme si Tare OA était rectifié, et le mobile . sollicité par une force dirigée vers le point et proportionnelle à la distance. Il suffit, dans la formule (5) du
numéro précédent, de remplacer la constante p par ?»
ce qui donne
(8) x=acost\/^ ^.
La durée de l'oscillation est T=7rl/ -. Les oscillations sont isochrones, c'est-à-dire indépendantes de Tamplitude.
115. Neuvième question. Trouver le mouvement d'un point matériel animé d'une vitesse initiale donnée et solli cité' par une force dirigée vers un point fixe et proportionnelle à la distance.
Il est évident que le mobile restera dans le plan mené par le point fixe et la vitesse Fig. 78.
initiale ; prenons dans ce plan deux axes rectangulaires OX, OY, passant par le point fixe.
Soit M la position du mobile au temps t; la force qui sollicite le mobile et qui est dirigée suivant le rayon MO peut être représentée par mi^jtr, m désignant la masse du mobile, r la distance OM, et ^ une constante donnée. L'accélération, dirigée aussi suivant MO, est ^; ses projections sur les deux axes OX et OY sont — i^r cos MOX et — /ijltcos MOY, ou plus simplement — /uur et — ^y. On a donc les deux équations
pour déterminer le mouvement des projections du mobile sur les deux axes.
D'après ce que nous avons dit précédemment, les fonctions X eiy sont de la forme
( a:=Acos/^^ + Bsin^j/^, \ y=A'cos^|/7tH-B'sin^j/^,
A, B, A^ B' étant quatre constantes arbitraires que l'on déterminera par l'état initial du mobile. On obtiendra l'équation de la trajectoire en éliminant t entre les équations (2); de ces équations on tire
cos ty^(jL=
B'x—hy
■ .,/- ky—k'x
AB'— B'A' k'x BA'
138 LIVRE U. D1NAMIQU£.
en portant ces valeurs dans la relation
cos* /l/'lùi + sin* ^>/^ = 1,
on a réquation
(3) (B'x^Byy + (Ay^k'xY = {AB'—hkY;
ainsi la trajectoire est une ellipse dont le point est le centre.
Pour simplifier les formules, supposons le mobile placé au point A, à la distance OÂ égale à a, avec une vitesse initiale Vo perpendiculaire à OA; on devra avoir, pour t=o,
x—a^ y=o, Drr=o, Dry=Vo, ce qui donne
A = «, A'==o, B=o, B'i/7*=^o; les équations (2) deviennent
Ia? = « cos t [T^^
et la trajectoire a pour équation (5) J+^=..
Les domposantes de la vitesse sont données par les formules
i D^ca=— a^/7^sin<^/>, ^ ' ( D,ysPiï>,cos^|/>.
MOUTEHENT PRODUIT PAR imE FORCE VARIABLE. 139
Il est évident que le point M', qui a pour coordonnées a:^=-7^= — asin^^^,
appartient à l'ellipse; d'ailleurs le rayon êW est parallèle à la tangente en M, c'est-à-dire à la vitesse; on a donc t;=OM' X V^. Ainsi la vitesse au point M est proportionnelle au rayon OM' conjugué de OM.
116. Dixième question. Mouvement dans un milieu résistant. Lorsqu'un point matériel se meut dans un milieu résistant, par exemple» dans l'air atmosphérique, il éprouve de la part du milieu une résistance dirigée en sens contraire de la vitesse du mcJbile, et dont la grandeur dépend de cette vitesse. Nous supposerons que cette résistance est une {ftiissanoe de la vitesse, et dous la représenterons par mav'^y n étant un exposant positif, m la masse du mobile et a un coefficient qui dépend de la nature et de la densité du milieu. Nous supposerons, en outre, que le corps, lancé avec une vitesse initiale t?o, à partir du point 0, n'est sollicité par aucune autre force que la résistance du milieu. La force qui sollicite le mobile étant dirigée en sens cootraire de la vitesse, il est clair que le mouvement sera rectiligne et retardé ; Taccélération étant négative et égale à — av*^ on a l'équation
(1) D,t;== — at;*.
Cette équation peut être mise sous la forme
en prenant les fonctions primitives des deux membres, on ,en déduit
On déterminera la constante C par la condition que, pour t =0, on ait v = v^, ce qui donne
On obtient ainsi l'équation
(2) v'--==Vo''-^-^(i—n)at,
qui détermine la vitesse à chaque instant.
Cherchons maintenant l'espace parcouru. De l'équation (2), on déduit •
et, en prenant les fonctions primitives,
On déterminera la constante G par la condition que, pour ^=0, on ait a: = o; on arrive ainsi à Téquation
(3) ^ v,^'-^\v,^'--(i-n)atf-
En examinant l'équation (2), on voit qu'il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que l'exposant n est inférieur, égal ou supérieur à lunité.
I. Lorsque l'exposant n est inférieur k l'unité, la vitesse, qui va en diminuant, s'annule pour
alors le corps s'arrête et reste en repos indéfiniment, après avoir parcouru l'espace
II. L'équation (2) ne s'applique pas au cas où l'exposant n est égal à Tunité. Dans ce cas, l'équation (1) devient
on en déduit,
en prenant la fonction primitive,
Lv=>—at + C,
et par suite
ou
v=sVoe~^.
En prenant une seconde fois la fonction primitive, on déduit de cette équation
et par suite
L'équation (4) montre que la vitesse ne devient jamais
142 LIVRE n. DYNAMIQUE.
nulle ; elle tend vers zéro quand le temps augmenta indéfiniment; ainsi le corps marche toujours, mais l'espace parcouru n'augmente pas indéfiniment ; il tend vers udc
limite égale à — . Le mobile tend vers un point déterminé, w
sans jamais l'atteindre.
III. Lorsque Texposant n est plus grand que 1 , Téqua* tion (2) se met sous la forme
^. = :^. + {n-i)at.
La vitesse ne s'annule pas ; elle tend vers zéro, quaod t augmente indéfiniment. En examinant l'équation (3), on voit que ce cas se subdivise en plusieurs autres, suivant que l'exposant n est inférieur, égal ou supérieur à 2.
1° Quand n est plus petit que 2, Téquation (3) s'écrit
Le temps t augmentant indéfiniment, l'espace parcouru augmente et tend vers une limite égale à
2° L'équation (3) ne s'applique pas au cas où 71=^=2; dans ce cas, l'équation (2) donne
Vo
et, en prenant les fonctions primitives, (6) ^=îlU±Mf).
MOUYEMENT PROt)Urr PAR 0MB FORGE TARIABLE. 145
Quand t augmente indéfiniment, x augmente aussi indéfiniment.
3^ Enfin, lorsque l'exposant w est plus grand que 2, l'équation (3) s'écrit
X augmente indéfiniment avec t.
En résumé, lorsque l'exposant n est inférieur à l'unité, le corps s'arrête après avoir parcouru un certain espace dans le milieu résistant; lorsque l'exposant est égal ou supérieur à l'unité, mais plus petit que 2, le mobile tend vers un point déterminé; lorsque l'exposant est égal ou supérieur à 2, l'espace parcouru augmente indéfiniment.
On a reconnu par l'expérience que, pour les grandes vitesses, la résistance est à peu près proportionnelle au carré de la vitesse, c'est-à-dire que n = 2; mais que, pour les très-petites vitesses, la résistance est à peu près proportionnelle à la vitesse.
117. Onzième question. '— Chute des corps dans Fair. Nous supposerons la résistance proportionnelle au carré
de la vitesse, et nous la représenterons par -m^> ^ étant
une constante donnée par l'expérience; c'est la vitesse que devrait avoir le mobile pour que la résistance de l'air fût égale au poids du corps. Si on lançait le corps verticalement, et de haut en bas, avec une vitesse initiale égale à ky les deux forces qui sollicitent le corps, savoir le poids du corps et la résistance de l'air, étant égales et opposées,
le mouvement serait uniforme. Mais, quand on abandonne le corps à lui-même, sans vitesse initiale, le poids étant plus grand que la résistance, la vitesse augmente ; la résistance augmentant avec la vitesse, Taccélération diminue de plus en plus, et la vitesse tend vers une limite égale k k :le mouvement tend ainsi à devenir uniforme On a l'équation
DtV g
ou y. a =M-
En vertu de l'égalité
k^—v^~I+v'^Tr^'
cette équation devient
k+v k — V k* On en déduit, en prenant les fonctions primitives,
Si la vitesse initiale est nulle, la constante C est nulle, et Ton a
k+v ngt
MOUyEMENT PRODUIT PAR UNE FORGE YARURLE. 145
et par suite,
v=kX
On voit que, lorsque t augmente indéfiniment, v augmente et tend vers une limite égale à k.
L'équation précédente peut s'écrire :
On en déduit (3)
Fig. 79.
118. Douzième question. — Mouvement des projectiles dans tair. Nous avons étudié le mouvement des projectiles (liv. Il, chap. Il), en négligeant la résistance de l'air. Pour donner une idée des modifications qui en résultent, il nous suffira de traiter le cas très-simple où la résistance est proportionnelle à la vitesse.
Prenonspouraxes des coordonnées, comme au numéro 80, rhorizontale OX menée par la position initiale du mobile, et la verticale OY dirigée de bas en haut {p.g. 79). Si Ton appelle 9 l'angle que fait la vitesse avec l'horizon, la résistance, qui est dirigée en sens
146 ufRE n. mKàmÊvm.
contraire de la vitesse, a pour projections «— maocosO, -^rnav sin 6, c'est-à-dire — inaDiX, — mdùiy. On a ainsi les deux équations
Si Ton pose D,a:=x\ D,y =y', les deux équations précédentes deviennent
La première de ces équations montre que la fonction x' se reproduit elle-même, à un facteur constant près, par la dérivation. On a donc
a:'=Ac— ' ou D,x=Atf-^.
En prenant la fonction primitive, on en déduit
On détermine les deux constantes A et B par la condition que, pour / = o, on ait x=o et D^r=t?. cos a, ce qui donne
(4) Drr=roCOSaXc'^.
Là seconde des équations (2 ) peut s'écrire
îA Ton potse y'+^=js, elle devient
et prend la même forme que la première. On a donc et par suite
on en déduit
y= — ^ hB'.
On délermitiera les deux constantes A' et B' par la condition que, pour t=Oy on ait y=^o, et D,y = i)oSin a, ce qui donne a + v^ sin a, et par suite
(5) y=-L^-£li^(,e-«),
(6) Ddr=-2f+^M^fl±£^'.
En vertu de l'équation (5), l'abscisse x tend vers une valeur égale à -^ ^, quand t augmente indéfiniment ; on
en conclut que la courbe décrite par le mobile est asymptote à une droite verticale AB menée à une distance
de Torigioe égale à ^ -. La composante horizontale de
la vitesse, donnée par l'équation (4), tend vers zéro, tandis que la composante verticale, donnée par l'équation (6),
tend vers une limite égale à — ^^ Cette limite est la vi-
tesse pour laquelle la résistance de l'air serait égale au poids du corps. Ainsi, le mouvement tend à devenir rectiîigne et uniforme. Dans la figure, la ligne ponctuée représente la parabole que décrirait le projectile dans le vide; la ligne pleine, la trajectoire qu'il décrit dans l'air.
