T=:=PH

De cette manière , le travail nécessaire pour élever un poids à une certaine hauteur est égal au produit du poids par la hauteur.

En général, lorsque la force est constante et le déplacement du mobile dans la direction de la force, on appelle travail de la force, pour un certain déplacement, le produit de la force par le déplacement. Il faut bien se rappeler que la force est estimée en kilogramme», le déplacement en mètres, et le travail en kilogrammètres.

Soit AX la direction de la force F, ÀB le déplacement du point d'application. Il y a deux cas à distinguer, suivant que le déplacement a lieu dans la direction même de la force {fig. 80), ou en sens inverse {/ig. 81), Dans le Fig. 80. premier cas, on dit que la

F force est ihouvante, et Ton

^ * ^ donne au travail le nom de

Fig- 81. travail moteur ; dans le se-

-1^ . 1 — j. cond cas, on dit que la force

est résistante, et l'on donne au travail le nom de travail résistant. A&n de distinguer ces deujt cas, on est convenu de donner un signe au déplacement AB du point d'application; on l'affecte du signet, quand il a lieu dans la direction même de la force F; du

TRATâllt m FUffiSANCtti ^IVE. 151

stgm-«^) quand il a lieu en sens inverse. Le travail est alors positif dans le premier cas, négatif dans le second ; on r^arde ainsi un travail moteur comme un travail positîi^ un travail résistant comme un travail négatif; de sorte que, A Ton désigne par x le déplacement affecté du signe convenable, on a^ dans les deux cas, T = F X ^. Au lieu de faire porter le signe sur le déplacement, on pourrait le Éadre porter sur la force ; ce qui revient à regarder la force comme positive ou négative, suivant qu'elle agit dans le sens du déplacement ou en sens inverse.

Dans l'exemple que nous avons choisi plus haut, afin de donner une première idée du travail, deux forces agissent sur te corps, son poids qui le sollicite de haut en bas^ et une force F qui le tire de bas en haut ; la première est une force résistante, la seconde une force motrice. Le travail de la force F est un travail moteur, représenté par F K H; le travail du poids P est un travail résistant,' représenté par — P X H, Supposons qu après avoir donné au corps une certaine vitesse initiale, dirigée de bas en haut, on veuille l'élever à la hauteur H d'un mouvement uniforme, il faudra que la force motrice F soit égale au poids P; le travail moteur et le travail résistant seront égaux et de signes contraires.

Gaa dû 1* ft»roe est oonsteiito et le déplacement reotiligne , mais dany une direction différente de celle de la fbroe.

120. Supposons qu'un mobile solliciter, par différentes forces décrive la droite AB {fig ^ 82) . Parmi les forces qui sollicitent le mobile se trouve une force constante F, dont la

UVRE 11. DnfAMNyJE.

direction faitavec ledéplaceméntÂB un angle a. Rien ne sera changé dans le phénomène, si nous assojeilissons le mobile à se mouvoir sur une droite rigide ÂB, parfaitement polie. Décomposons la force F en deux forces. Tune A6 égale en valeur absolue à Fcosa, dirigée suivant la droite AB ; Tautre ÂH égale à F sin a, perpendiculaire à cette droite. Cette seconde composante, ne faisant qu'ap» puyer le mobile contre la droite rigide AB, est détruite par la résistance de cette droite. Elle ne produit aucun travail ; on peut donc la négliger et remplacer la force proposée F par la force AG. On est ainsi ramené au cas précédent ; le travail de la force AG est égal au produit de cette force par le déplacement ABdu point d'application, affecté du signe + ou du signe — , suivant que la force AG agit dans le sens du déplacement ou en sens inverse. Lorsque l'angle a est aigu {fig. 82), la composante AG est dirigée dans le sens du déplacement, et la force F est dite motrice comme la force AG. Lorsque l'angle a est obtus {fig. 83), la composante AG est dirigée en sens contraire «t Fig. 83. la force F est dite résistante.

B Le produit Fcos a donne cette composante avec le signe convenable, et l'on a, dans tous les cas, pour expression du travail, Fcos a X AB. Ainsi, on dira que le travail de la force F, pour le déplacement AB du point d'application, est égal au produit du déplacement par la projection de la force sur la direction du déplacement.

- On peut écrire aussi le travail sous la forme F x AB cos «, ce qui revient à considérer le travail comme étant égal au

TRÂYiUlL ET PUISSANCE VIVE.

Fig. 84.

produit de la force F par la projection du déplacement sur là direction de la force.

Afin d^éclairer ceci par un exemple, supposons que Ton veuille élever un corps entre deux montants verticaux parfaitement polis, en le tirant avec une force F qui fait avec la verticale un angle a [fig. 84). Décomposons cette force en d^ux forces, l'une verticale F cos a, Tautre horizontale F sin a ; la force horizontale est détruite parla résistance du montant contre lequel elle appuie le corps ; pour que la force verticale puisse faire monter le corps uniformément, il faut qu'elle soit égale au poids P du corps ; ainsi tout se passe comme si le corps était sollicité directement de bas en haut par la force verticale F cos a ; le travail moteur est F cos a X AA', et est au travail résistant P X AA'.

121 . Nous avons dit que le travail est positif ou négatif, c'est-à-dirè moteur ou résistant, suivant que l'angle a est aigu ou obtus. Quand la force est perpendiculaire au déplacement, l'angle a est droit, et le travail, tel que nous l'avons défini, devient nul.

Dans le transport horizontal des fardeaux, le poids étant vertical et le déplacement horizontal, il résulte de la définition précédente que le travail dû au poids du corps est nul. Ceci semble en contradiction avec l'expérience, mais il est facile d'expliquer cette contradiction apparente. Supposons que l'on fasse glisser un corps sur un plan horizontal en le tirant avec une force horizontale F; la force motrice F doit être égale, non pas au poids du corps, mais .au frottement que ce corps exerce contre le plan. Ce frot-

uvBB a. DTiunQtni.

tement est la résistance à vaincre ; c^est elle qui nécessite un travail moteur. Pour évaluer le travail, on multipliera la force horizontale F par le déplacement. Ce travail dépend de Tétat du plan : quand le plan est bien poli, le frottement étant très^faible, le travail nécessaire pour transporter horizontalement le corps à une distance donnée devient très-petit.

Cas Qù la force e«t Tariable et le dépUoement reolUigne et amWalkt la même droite qne la forée.

122. Supposons que le point d'application M se meuve sur la droite X'X, et que la force variable F agisse suivant cette même droite {fig. 85). Nous voulons évaluer lê tra- Fig. «5. vail de cette force pour le dépla-

cement âB du point d'application. Partageons la longueur ÂB en un grand nombre de parties, et désignons par h Tune des parties MM' ; soit F la valeur de la force au point M ; considérons le produit F X MM' qui se rapporte- à rélément MM% et faisons la somme des produits qui se rapportent aux divers éléments de la ligne ÂB, somme que nous désignons par l'expression

S(FXA).

Si Ton augmente indéfiniment le nombre des divisions, de manière que chacune des parties tende vers zéro, cette somme tendra vers une limite déterminée ; c'est cette limite que nous appellerons travail de la force variable F pour k déplacement ÂB.

^ TRAVAIL ET POISSAttGfi VIVE. 155

Il est aisé de voir que la somme tend efifectivement vers une limite déterminée. Au point M, élevons une perpendiculaire MN égale à la valeur F de la force au point M. Si Ton considère le chemin parcouru AM comme une abscisse variable Xy et la force F ou l'ordonnée MN comme une fonction de x^ le lieu du point N est une certaine courbe CD. Par le point N, menons une parallèle NE à la droite AB, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée voisine MTNf'; le produit F X A sera représenté par l'aire du rectangle MNEM', et la somme des produits par la somme des rectangles. Or, quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions de Ib droite AB, il est clair que la somme des rectangles tend vers une limite déterminée qui est l'aire comprise entre la droite AB, la courbe CD et les deux ordonnées extrêmes AG, BD.

On a vu, en géométrie analytique, que Taire comprise entre une courbe, Taxe des x, une ordonnée fixe AC et une ordonnée mobile MN, est une fonction primitive de Tordonnée MN, considérée comme une fonction de l'abscisse AM. Il en résulte que le travail relatif au déplacement AM est une fonction primitive de la force, considérée comme une fonction du chemin parcouru.

Nous avons défini le travail T de la force variable F pour le déplacement AB. On appelle effort moyen la force constante qui produirait le même travail pour le même dé-

placement. Cet effort moyen a pour valeur le quotient ^b.

Exemples.

135. Pour montrer une application de ce qui précède, cherchons le travail nécessaire pour. comprimer un ressort d'une quantité donnée. On sait que la force élastique d'un

156 LIVRE n. DYNAMIQUE.

ressort est sensiblement proportionnelle à la compression. Supposons qu'il s'agisse d'un ressort à boudin dont Textrétnité A soit fixe, et que Ton comprime par une force verticale appliqué^ à l'extrémité supérieure {fig. 86). Fig. 86. Soit AB (a longueur du ressort, quand aucune force ne s'exerce sur lui ; pour abaisser graduellement l'extrémité supérieure de B en C, il faudra appliquer au ressort une force verticale croissante. Si l'on désigne par a la compression exercée par une force de un kilogramme, et par x le déplacement BM, la force au

point M sera -• La fonction — , ayant pour dérivée

- et s' annulant pour x = o, représente le travail relatif au déplacement BM. Pour le déplacement BC, le travail

est — . Par exemple , si a est égal à 1 millimètre, le travail nécessaire pour comprimer.le ressort de 4 centimètres est de 0,8 kilogrammètre.

124. Proposons-nous encore d'évaluer le travail développé par la vapeur dans les machines à détente. La vapeur agit à pleine pression pendant que le piston parcourt Fig. 87. une partie AC du corps de pompe {fig. 87).

B B A ce moment, la communication entre la

chaudière et lé cylindre est interrompue, et la vapeur agit par sa détente pendant que le piston parcourt la seconde partie GB de sa course. Appelons a la course entière du piston , b la première partie kC, x le déplacement CM, S la surface du piston, P la

pression atmosphérique par mètre carré, n le nombre d'atmosphères par lequel on évalue la tension de la vapeur dans la chaudière. La pression que la vapeur exerce contre le piston pendant la première partie de sa course est une force constante nPS ; le travail correspondant est rîPSb. Ensuite la force diminue ; quand le piston est en MM, la vapeur, qui occupait le volume AC, occupe alors le volume AM, et, d'après la loi de Mariotte, la force devient

nPS X 1 . Cette fonction de x admet comme fonction

primitive

nPSbh{b + x) + C;

il faut déterminer la constante G, de manière que la fonction soit nulle pour x=o, ce qui donne C=— wPSôLd,

et, par suite, le travail pour le déplacement CM a pour expression

nVSbh^.

Le travail relatif à la détente CB est •

nPSiL|,

et le travail total pour chaque coup de piston

wPSi[l+L|J.

Nous avons négligé la tension de la vapeur dans le condenseur.

Cas général.

125. Proposons-nous maintenant de chercher le travail d'une force quelconque, quand le point d'application dé-

158 UVRE n. AYNAMKrtTË.

critune trajectoire curviligne AB {fig. 88). Ittscrivôns dans la courbe une ligne polygonafed'un *** ' très-grand nombre de côtés très-

petits : soit MM' l*un dès côtés.

Appelons F la valeur de la force proposée au point M, a l'angle qu'elle fait avec la tangente MT, a, l'angle qu'elle fait avec la direction du côté MM'. Considérons

le produit

FxMM'Xcosa,;

ce produit est le travail de la force F supposée ooQ'*stante , pour le déplacement rectiiigne MM' ; formons un produit analogue pour chacun des éléments de la ligne polygonale, et faisons la somme de ces produits , somme que nous désignerons par

S(FxMM'XcosaJ.

Si Ton augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite dans la courbe AB, de manière que chacun d'eux tende vers aéro, la somme précédente tendra vers une limite déterminée ; c'est cette limite qu'on appelle travail de la force F pour le déplacement AB.

Pour abréger le discours , on appelle travail élémentaire le produit F X MM' cos a, , de sorte que le travail de la force F, pour le déplacement AB, est la limite de la somme des travaux élémentaires.

126. Il est aisé de voir que la somme considérée précédemment tend biiBn^iV^rs une limite déterminée^ Sur une droite, ^ partir d'un point iixe A ^ pistons» les mis à la

TRAVAIL trr 1^tllSiAl«6B VIVE.

Fig. 89.

MjM IW 1

suite des autres, lés divers éléments de la ligne bridée ; Télément MM' prendra la. position M,M',, et la ligne brisée, développée, deviendra AB, {fig. 89 ). Au point M, élevons une perpendiculaire M,N, égale à Fcosa, ; le produit F X MM' X cos a. sera représenté par Taire du rectangle NiMiM'iEi, et la somme des produits par une somme de rectangles. Quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions, la longueur AB^ augmente un peu, et tend vers tine Hmîte AB, qui est la longueur de la courbe AB ; de même, si le point M est un point déterminé de la courbe, la longueur AM, tend vers une limite AM, qui est la longueur de l'arc de courbe AM; en même temps, la direction du côté MM' ayant pour limite la tangente en M, l'angle a, a pour limite a, et la quantité F cos a, devient Fcosrt; l'ordonnée M,N, tend donc vers l'ordonnée MN égale à F cos a; le lieu du point N est la courbe CD, qui a pour abscisse AM, Parc de trajectoire AM rectifié, et pour ordonnée F cos a, c'est-à-dire la projection de la force sur la tangente MT. La somme des rectangles a évidemment pour limite Taire comprise entre la courbe CD, la droite AB et les ordonnées extrêmes AG et 6D.

L'aire comprise entre Pordonnée fixe AC et Fordonnée mobile MN étant une fonction primitive de l'ordonnée MN considérée comme une fonction de Tabscisse AM, on peut dire que le travail de la force F, relatif au déplacement curviligne AM, est une fonction primitive de la composante tangentielle F cos a de la force, considérée comme une fonction de l'arc parcouru AM.

160 LIVRE U. DTRAIIIQUE.

Lorsqu'une force est coostarament normale à la trajectoire, sa composante tangentielle ou sa projection sur la tangente étant nulle, le travail est nul.

^^^ ^' 127. Considérons, en particulier, le

travail d'une force F, constante en grandeur et en direction, pour un dé- \- placement quelconque AB (fig. 90).

|\ ^ Soit AX la direction de la force ; le tra-

I ^v-^^j ^ail élémentaire pour rélémeutMM' "] est égal à la force F multipliée par la

projection MP de l'élément MM' sur la direction de la force ; la force étant un facteur constant dans tous les termes, la somme des travaux élémentaires est égale à la force multipliée par la somme des projections des divers éléments de la ligne brisée inscrite dans la courbe AB, c'est-à-dire par la projection AD de cette courbe elle-même sur la direction de la force.

U faut bien remarquer que, lorsque nous cherchons le travail d'une force pour un certain déplacement du point d'application, nous n'entendons pas que le mouvement soit produit par la force considérée ; si plusieurs forces agissent en même temps sur le mobile, on évalue séparément le travail relatif à chaque force.

THÉORÈUE.

128. Le travail de la résultante de pltcsieurs forces, pour un déplacement quelconque du point (F application, est égal à la somme des travaux des forces proposées.

Supposons d'abord les forcesF, F', F'', . . . constantes, elle déplacement MM' rectiligne (fig. 91) ; appelons oL^mWol*^.,,

les angles que font les forces propo- rig. 91.

sées avec la droite MM^ A Tangie que fait la résultante R avec cette même droite. La projection de la résultante R sur la droite MM' étant égale à la somme des projections des forces proposées, on a

RcosA=Fcos«+F'cosa'+F"cosoi"+....

Si Ton multiplie chacun des termes de cette équation par MM', il vient

R.MM'.cosA=F.MM'.cosa+F'.MM'.cosa'+...

Ainsiy le travail de la résultante est égal à la somme des travaux des forces proposées.

Lorsque les forces sont variables et le déplacement curviligne, on décomposera en éléments la courbe décrite par le point d'application ; le travail élémentaire de la résultante étant égal à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, on en conclut le théorème énoncé.

Quand des forces se font équilibre sur un point matériel, la somme de leurs travaux est nulle.

129. On appelle puissance vive d'un corps en mouvement la moitié du produit de la masse par le carré de la vitesse. Si l'on appelle m la masse du mobile, ^ sa vitesse,

, . . , mv*

la puissance vive est — .

Il existe une relation remarquable entre la puissance vive et le travail. Pour mettre cette propriété en évidence, nous commencerons par quelques questions très-simples.

Cherchons d'abord le trava^il nécessaire pour iwprimer

à un mobile de masse m une vitesse v. Supposons Iq mo-

Fig. n. t>np placé au point sans vitesse

, , ipitj^le, ^t sollicité par uQe force

constante F ^a^s la (iir^cUoa OX (fig, 92). Le mouvement est rec^iligRp et uniformément

accéléré ; l'accélération y de ce mouvement est égale à — .

Si Ton appelle v la vitesse au temps ^ et a: l'espace parcouru, on a

v=yt^ a:='— ;

d'où l'op déduit r)*= aya:,

et par suite x= — = — ët-

Après le temps t, quand le mobile possède la vitesse v, la force cesse d'agir; le mouvement devient alors uniforme et le mobile conserve la vitesse v. Pour avoir le travail produit par la force, il faut multiplier la force par le chemin décrit par le mobile pendant que Ig^ force agit sur lui. On a, en désignant par T ce travail positif,

T=Fxa:=^.

Ainsi, pour mettre un corps en mouvement, il faut dépenser une quantité de truvail moteur égaie à la puissance vive que F on veut communiquer au corps.

Inversement, un corps est en mouvement, cherchons le travail nécessaire pour amener cç cçfps^ au repos. Supposons que le mobile p^sse au point 0, au temps f=o, airec

TRkyk% m TOissANes vive . 1 63

une vitesse initiale v^ dans le sens OX; à partir de cet instant, une force constante le sollicite en sens inverse; le mouvement est uniformément retardé, et Ton a

Après le temps ^ = — , la vitesse devient nulle, la force

cesse d'agir et le mobile reste e^ reppsaij point A. L'espace OA parcouru par le mobile est

mvo'