Cherchons maintenant les conditions d'équilibre
de trois forces F, F', F" appliquées, en trois points A, B, G
d'un corps solide libre [/ig. 156). Le corps étant sup-
Fig. 138. posé en repos, il restera en repos.
p- y^ ^ L'équilibre ne sera pas troublé, si
\/^ g -'--^""N^ ^'^° ^^^ ^^"^ points quelconques / c ^:^~ -pNàF' du corps. Fixons le point C et un l / / point quelconque D de la droite F';
Ny...^x^ la force F" est détruite par la ré-
^ sistance du point fixe G ; de même,
la force F', que l'on peut supposer appliquée en D, est détruite par la résistance de ce point. Nous ayons actuellement un corps ayant un axe fix^e CD, et sollicité par la seule force F; pour l'équilibre, comme nous l'avons vu, il est nécessaire que la force F rencontre l'axe GD eu un point E, ou lui soit parallèle. En fixant le point G et un autre point D' de la droite F, nous verrons de même que la force F rencontre la droite GD' w un point £' ou lui est parallèle. Ainsi, la force F rencontre les deux droites CD, CD', ou bien rencontre l'une et est parallèle à l'autre. On en conclut que cette force est située dans le plan CDD', et par conséquent que les deux forces F et F sont
COMPOSmOIt DES FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE. 225
dans un même plan, passant par le point d'application C de la troisième force T\ Mais comme ce point C est nn point quelconque de la droite F*, il en résulte que les trois forées sont dans un même plan. Ainsi, une première condition pour que trois forces se fassent équilibre sur un corps solide libre, c*est que les trois forces soient situées dans un même plan.
Si les trois forces situées dans le même plan ne sont pas parallèles, deux au moins, par exemple F et F (fig. 137), se coupent en un point et admet- ^.^ j,^
tent une résultante R appliquée au point 0. Pour l'équilibre, la force F" doit être égale et opposée à cette résultante R ; elle passera donc aussi par le point 0, et Y on est ramené au cas de y^^^^^K^ trois forces appliquées à un même J/^ ^^^
point matériel (n<* 95).
Si les trois forces sont parallèles, deux au moins, par exemple F et F, seront de même sens et admettront une résultante égale à leur somme ; la troisième force F' doit être égale et opposée à cette résultante.
175. On démontre par des considérations analogues que, lOTsque quatre forces F, F, F*, F" (flg. 138), appliquées à un corps solide, se font équilibre, ces quatre forces sont situées sur une surface réglée du second ordre. Menons une droite MN qui rencontre les trois premières forces, et fixons cette droite. Les trois premières forces étant détruites par la résistance de la droite, il faut, pour l'équi-
296 ufRi ■• tQiMLitKK fi «wnnEiiiiir vëb inmftMs.
libre, que la force P' rencontra l'axe en un point fi ott ini soit parallMe. Si l'on fait glisser la droite MN sur les trois forces F, F, F', cette droite engendre une surface du seh eond ordre ; la force P\ rencontrant la droite mobile dans chacune de ses positions, est située sur la même surftkoe. La surface du secopd ordre est^ en général, un fayperboloïde à une nappe; les quatre forces P, F» F", F* appartiepinent à un même sjrstènie de génératrices. Si les trois première^ forces sont parallèles à un mèmt plan, la sur*face est un paraboloifde hyperi>olif ue, et k tfaatrièœeferee est aussi parallèle à ce màmeplan*
176. On déduit de ce qui précède plusieurs conséquences importantes. Et d'abord, deux fnrces F et F {fif. ISfk), appliquées à un cwps soKde lil»i) et non situées dans le même pUt», n'admettent pas de résultante unique ; car, si les deux forces F et F admettaient une résultante R, elles seraient tenues M équilibre par la force *^R égale et opposée à R, ce qui egt impossible, puisque les deux forces F et F ne sont pas dans un même plan (nt 474^.
177. Deux forces F et — P, égales, {narallèl^ et de sens Fig. 140. contraires, mais non opposées, ô-^ad-
^g/ mettent pas non plus de résultante
unique. En effet, si les deux forces F et — P étaient tenues en équilibre par une force •— R {fig. 14(^, ces trois forces seraient situées daniS un même plan. Supposons que la force — R ne
GOMPOSntHm DES FORGES APPLIQUÉES A Ulf CORPS SOLIDE. 227
soit pas parallèle aux deux autres forces, les deux forces F et — R se coupant en D, admettent unerésuitante S qui fait un certain angle avec la force F. Cette résultante S rencontre la force — F en un point E, et donne avec elle une résultante S' qui n'est pas nulle; donc if n'y a pas équilibre. Supposons maintenant que la force — R ^it parallèle aux forces proposées; combinée avec la force parallèle de même sens, par exemple avec — F, elle donnera une résultante égale à — (R+F) ; cette résultante, combinée avec la force parallèle F, de sens contraire, mais différente , donnera une résultante — R qui n^est pas nulle; il n*y aurait donc paâ équilibre. Ainsi, deux forces ^ates, pa;raUèles et de sens contraires, mais non directenaent opposées, ne peuvent être tenues en équilibre par uûe seule force; en d'autres termes, elles n admettent pas de résultante unique. On a appelé couple Tensemble de eei^ deux forces (n® 139).
GomposHlMi d'an «ystémcr ^elooimite de ferceii.
178. Après avoir établi ces préliminaires, considérons un système quelconqoe tig. tu.
de forces F, F*, P, P', ... appliquées en différents points A, R, G, D, ... d'un coi^ solide {/Ig. 141). Nous ferons Toit-que l'on peut réduire ces forces, d'abord à trois, puis à rfeui.
Prenons dans le corps trois points arbitraires, non en ligne droite, 0, 0,, 0^, que nous joindrons à chacun des points A, By Ct ... par des lignes droites. Décomposons la
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force F en trois forces, dirigées respectivement suivant les droites OA, O^Â, 0,A. Il suffît pour cela de construire un parallélipipède ayant la force F pour diagonale et ses arêtes dans les directions indiquées ; puis, déplaçant le point d'application de chaque force sur sa direction, transportons ces composantes, la première au point 0, la deuxième au point 0,, la troisième au point 0^. Décomposons de même la force F en trois forces, dirigées suivant les droites OB, 0,B, OJB, et transportons ces forces en 0, 0,, 0,, et ainsi de suite. Nous obtiendrons ainsi trois faisceaux de forces appliquées, les premières au point 0, les deuxièmes en 0,, les troisièmes en 0.. Les forces appliquées en ont une résultante B^ , les forces appliquées en 0, ont une résultante B,, et de même les forces appliquées en 0, ont une résultante B,. Le système des forces proposées est ainsi remplacé par le système des trois forces B,, B,, B,, appliquées en trois points arbitraires 0, 0,, 0, du corps solide.
Nous avons décomposé la force F en trois forces, dirigées suivant les droites OA, O^A, 0,A; cette décomposition est possible toutes les fois que le point A n'est pas situé dans le plan des trois points 0, 0^, 0,; car alors les trois droites forment un trièdre, et Ton peut construire le parallélipipède dont la diagonale est F. Si le point A était situé dans le plan 00,0,, sans que la force F y fût elle-même, on déplacerait le point d'application de la force F sur sa direction, de manière à l'amener hors du plan. Si la force F était située dans le plan, on la décomposerait en deux fnrces dirigées suivant les droites OA, O^A, à l'aide d'un parallélogramme.
