COMPOSITION DES FORGES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE

forces R„ R„ R„ appliquées en trois points arbitraires 0, 0^, 0,. Voyons maintenant comment on réduit ces trois forces à deux. Soit OL (fig. 142) la droite d'intersection dti plan mené par le point ^ ^^^ et la force R,, et du plan mené ^ par le point et la force R,. Pre- / nons un point 0' arbitrairement sur cette droite. La force R., située dans le premier plan, peut être . décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites 00^ ,0'0., à Taide d'un parallélogramme ; nous transporteronsces deux composantes, Tune au point 0, l'autre au point 0'. De même, la force R,, située dans le second plan, peut être décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites 00^, O'O,, et nous transporterons ces deux composantes, Tune en 0, l'autre en 0'. Nous avons maintenant trois forces appliquées au point 0, et deux appliquées en 0'; les trois premières ont une résultante R, les deux autres une résultante R'. De cette manière, le système des trois forces R^, R,, R,, et par conséquent le système des forces proposées, est remplacé par le système des deux forces R, R'. Si les deux forces R,, R, étaient situées dans un même plan avec le point 0, on mènerait par le point une droite quelconque ÔL dans ce plan.

180. Il y a une infinité de manières de réduire le système des forces proposées à deux résultantes. Nous remarquons d'abord que, sans déplacer les points d'application et 0' des deux résultantes, on peut faire varier ces deux résultantes. Concevons, en effet, que l'on appliqueaux deux

230 LIVBE lU, ÉQUILIBRS ET VOUYfillENT DES STSltlIfiS.

extrémités de la droite 00' {fig. 143) deux forces %ales et

Fig. la. opposées /et— /"/ les deux forces R

j:^^ et /, appliquées en 0, donnent une

->*' réjBultante S j le« deux forces R' et

— f^ appliquées en 0', donnent une

résultante S' ; le système des deux

forces R, R' est ainsi remplacé par

le système équivalent des deux

forces S, S'. La résultante S' est

située dans un plan déterminé, le plan mené par le point

et la force R'.

Le point d'application de la première résultante est un poiiit arbitraire du corps solide; laissant ce point fixe, on peut déplacer le point 0' à volonté sur la droite O'S', et par conséquent danp le plan OO'R'.

'^81. En général, les deux résultantes R et R', auxquelles on ramène toutes les forces proposées, ne sont pas situées dans un même plan ; dans ce cas, comme nous l'avons vu n** 176, ces deux forces n'admettent pas de résultante unique ; en d'autres termes, îl est impossible de tenif en équilibre, avec une seule force, ces deux résultantes ou le système des forces proposées. Ainsi, de quelque manière qu'on s'y prenne pour opérer la réduction des Iforces, on n'arrivera jamais à une résultatifte unique. Examinons le cas oii les deux résultantes R et R', auxquelles on ramène les forces proposées, $ont situées dans un même plan. Si ces deux forces ne sont pas parallèles, elles se rencontrent en un point I {fig. 144), et donnent une résultanteunique S appliquée au point L

Fig. 144.

G01IFOfi|llONi>B8f'(HM2«SAVPMQ«ÉSiAimQ^^ S31

Si ld6 deux ré»Ut«nte9 soBt parallèle, mm étt» égaies et de âe»s contraires, elks admetteal aussi une résultatite unique. Lorsque les deux r^sultaates sont parallèles, éga« las et de sens contraires, elles n'admettent pas de résul* tante unique et elles forment un couple* Eafin,^quand les deui^ résultantes sont égales et directement opposées, ell^ se font équilibre.

Telles sont les diverses ciroonstanœs qui se présentent dans la composition des forces appliquées à un torps so*^ tide.

182. Â Taide de ce qui précède, il nous est facile de trouver les conditions d'équilibre d'uû système de forces appliquées à un corps solide.

Supposons d'abord le corps solide libre dans l'espace. Si fon r&mètw lés forées proposées à deux résultantes, eomfnô nous l'avons expUqué, la condition nécessaire et suffisante pmxr que tes forces proposées se fassent équi-^ UAré sur le corps solide libre, if est que ks deux réml-- Êontes êoient émules et opposées (n^ 1 75).

Supposons maintenant le corps solide assujetti à tourner autour d'un point flxe« Si Ton prend ce point fixe pour point d'application de l'une des résultantes R, cette force R étant détruite par la résistance du point fixe, il est né« eesstireet ilsuffit^ pour l'équilibre, que l'autre résultante R'.pfissé ausdi par ce point {n^ 172). Les deux résultantes étant appliquées au point fixe admettent une résultante unique passant en ce point. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps solide ayant un point fixe^ c'est que ces forces se réduiseM à une résultante unique passant en ce point. Cette

252 LIYSE m. ÉQUILIBRE ET MOOTEMimT DES STSRÈBfiS.

résultante unique est la pression que supporte le point fixe. Enfin, lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, on peut prendre un point de Taxe pour point d'application de Tune des résultantes. Cette pre^ mière résultante étant détruite par la résultante du point fixe, il est nécessaire et il suffit pour l'équilibre que l'autre résultante soit située dans un même plan avec l'axe (n® 172). Ainsi, la condition nécessaire et suçante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps ayant un axe fixe, c'est qit elles se réduisent à deux résultantes, tum appliquée en un point de taxe, fanUre située dans un même plan avec taxe.

Komeat d*nne fotoe par rapport à nu «la.

183. Les conditions d'équilibre, que nous venons de donner, nécessitent la détermination deà deux résultantes; on pourrait y arriver par une construction synthétique ; mais, en général, il pst plus commode de traduire ces constructions géométriques par des équatioos analyti-^ ques. Quelques notions nouvelles nous sont nécessaires pour cela.

Lorsque plusieurs forces sont situées dans un même plan, on appelle mormnt de chacune.des forces par uapport à un point du plan le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée du point sur la force. Ainsi, le moment de la force F par rapport au point est le pro-r duit de cette force par la perpepdiculfiire OD,abftispée du point sur la direction de la force (fig. 145)* Le ipomeal est égal au double de l'aire du triangle OMA, lequel a pour sommet le point et pour base la droite MA qui représente la force. Si l'on prend OM pour base, le double.de

G(MiPOSlTION DES FORGES APHJQUÉES A UN CWPS SOLU». ^5

l'aire de ce triangle a aussi pour me^ Pig. us.

sure le produit de la bsuse OM par la hauteur du triangle, qui est égale à la projection MA' de la droite MA sur une droite MX perpendiculaire à OM. Ainsi, on peut dire que le moment de la force F appliquée en M, par rapport au point 0, est le produit de la distance OM par la projection MA' de la force sur une droite perpendiculaire à OM.

Lorsque plusieurs forces appliquées au point M sont situées dans le même plan, il convient de donner des signes aux moments. Si l'on regarde le point comme un point fixe» chacune <ies forces tendra à faire tourner le plan autour du point dans un sens ou dans l'autre. Menons par le point M une droite X'X perpendiculaire à OM et projetons les forces sur cette droite, il est clair que les forces qui se projettent dans la direction MX font tourner dans un sens, et que celles qui se projettent dans la direction MX' font tourner en sens contraire. Si l'on regarde les premières projections comme positives, les autres comme négatives, on conviendra de donner au moment de chaque force le signe de sa projection. D'après cela, le moment de chaque force est égal, en grandeur et en signe, au produit de sa projection par la distance OM.

184. Cela posé, considérons deux forces F et F' appliquées à un même point matériel M (/?y. 146) ; leur résultante R est représentée par la diagonale MG du parallélogramme construit sur les longueurs MA et MB qui représentent les deux forces proposées. Le moment de chacune de ces forces par rapport à un point quelconque 0,

S34 LIVRE nu ÉgOIUBRB «f WHfVSMmf DM SI«lilliB9»

Fig. 146. pp jg j^2is Id plan du pai^allélçgraoame» est égal,^ cpmme noue {'jalons vu, au produit dô la projection de la force mr 4e droite X'Xperpendi6Ulair« à OM parla distance OM. Mais on sait que kt projeo^ lion de la résultante R est égale à la Somme algébrique des protections des deux forces F et F' ; on en conclut que k moment de la résultante est égal à la somme algébrique iks mopnents des deux composantes.

Lorsque le point est situé sur la résultante, la résultante ayant son moment nul, les moments des deux forces F et F' sont égau^t et de signes contraires.

185. On appelle moment d'une force par rempart à une droite ou axe quelconque le produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à Taxe par la plus courte distance entre la force et l'axe. Soit F uqe force appliquée au point M; OZ, un axe quelconque {fig. 147) :

par le point M menons un plan P perpendiculaire à Taxe; projetons la force F sur le plan P, et du point 0, où le plan P coupe Taxe, abaissons une perpendiculaire OC sur la force F, , projection de la force F ; cette droite OC est qgale et parallèle à la perpendiculaire cpmmune KB entre la force F et Taxe 0Z> et mesure la plus courte distance de ces deux droites. Le moment de la force F par rapport à Taxe OZ est le produit et sa projection F, sur le plan P par la plus courte distance OC ; on voit que le moment est le lûèmeque celui delà projectionF.par rapport au point 0.

GOMPÔSinOIl DfiS F^RCE» APPLIQUÉfiS A 9N CORPS SOUDE. S^

Il convient de donner uneigne^au moment. Imaginons que Taxe OZ et le point d application M de la force fassent partie d'un corps solide assujetti à tourner autour de l'axe: on regardera comme positives les forces, qui tendent à faire tourner le corps dans un sens ; coipme ni^a- ItveSy celles qui. tendent à le faire tourner en sens contraire* Si Ton décompose la force F en deux forces^ Tune F, perpeadiculaire à l'axe, l'autre F^ parallèle à l'axe, cette dernière tendant simplement à faire glisser le corps le long de l'axe, et étant détruite par la résistance de Taxe, on n'aura à tenir compte que de la force F» ; ainsi la force F produit la même rotation autour de l'axe OZ que sa projection F, sur un plaii perpendiculaire. D'après cela, nous pourrons affecter les moments des forces autour de l'axe OZ des mêmes signes que les moments de leurs projections par rapport.au point 0.

Nous reniarquons que le moment de la force F par rapport à Taxe OZ ne peut être nul que de deux manié* res, soit que la projection F, soit nulle, ce qui a lieu quand la force est {)arallèle à l'axe» soit que la plus courte distance soit nulle, ce qui a lieu quanti la force rencontre Taxe ; en un mot, le moment d*ûne force par rapport à un axe est nul, quand la force est dans un même plan avec Tax^.

1 86. Considérons deux forces F et t' agissant sur un point matériel M, et appelons R leur résultante. La projection R, de la résultante sur le plan P perpendiculaire à l'axe OZ est la résultante des projections F, et F\ des deux forces proposées. Mais nous avons démontré (n® 184) que^ dans le pian P, et par rapport au point 0, le motnent de la résultante R, çst égal à la somme algébrique des mo-

236 LIVRE lU. ÉQUILIBRE El MOUVEMENT DES STSliafES.

ments des deux forces F. et V\; on en conclut que, par rapport à Taxe OZ, le moment de la résultante R est ^al à la somme algébrique des moments des deux forces proposées F et F'.

Ce théorème peut être étendu à un n(»nbre quelconque de forces appliquées à un même point matériel, et nous dirons que le moment de la résidante, par rapport à un axe quelconque, est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

187. Considérons maintenant un système de forces F, F', F", ... appliquées en différents points d'un corps solide. Nou$ avons expliqué (n^ 178) comment on ramène dV bord toutes ces forces à trois résultantes R,, R^^, R„ appliquées en trois points arbitraires 0, 0^ 0» du corps. Pour cela, nous aTons décom^posé la force F, appliquée en A, en trois forces dirigées suivant les droites OA, O^A,0,A. Nous remarquons que la projection de la force F sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections de ses trois composantes, et que le moment de cette force, par rapport au même axe, est égal à la somme algébrique des moments de ses trois composantes. Nous avons transporté ces composantes sur leurs directions. Tune en 0, l'autre en 0,, la troisième en 0,; il est clair que, quand on 'déplace le point d'application d'utie force sur sa direction, sa projection, ou son moment par rapport à un axe quelconque, ne changent pas. Nous avons ensuite cherché la résultante R^ des forces appliquées en 0, la résultante Rj. des forces appliquées en 0,, et la résultante R, des forces appliquées en 0, ; la projection de chacune de ces résultantes sur un axe quelconque est égale à la somme des prajections de ses composantes, et de même

GOMPOSmON MSS FimCES APPLIQUÉES A UM CORPS SOLIDE. 237

le moment de chacune de ces résultantes, par rapport au même aie, est égal à somme des moments de ses composantes. U résulte de là, !• que la somme des projections des trois résultantes R,, R^, R^ sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces proposées ; 2^ que la somme des moments des trois résultantes, par rapport au m^e axe^ est égale à la somme des moments des forces proposées.

Nous avons ramené ensuite (n** 179^) les trois forces R,, Rj, R, à deux résultantes R, R'. Pour cela, nous avons décomposé chacune des forces R, et R^ en deux composantes, dans le plan passant par cette force et le point 0, déplacé ces deux composantes sur leurs directions pour les amener, l'une en 0, l'autre en 0', puis composé les trois foifces appliquées en et les deux forcés appliquées en 0', ce qui donne les deux résultantes R et R'. Or, ces opératicms, oomme nous l'avons vu, ne changent, ni la somme des projections, ni la somme d^ moments. De là, on coi^clut les deux théorèmes suivants :

Théorème I. Quand un sy^ème de forces appliquées à un corps solide a été réduit à deux résultantes, la somme des projections des deux résultantes sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces proposées.

THÉ(»tiiE II. La somme des moments de ces deux résultantes, par rapport à un axe quelconque, est égale à la somme des mmnents des forces proposées.

188. Voyons ce queileviennent ces théorèmes, quand les forces proposées se font équilibre sur le corps solide (n« 182). Si le corps solide est libre, les deux résultantes étant égales et opposées, leurs projections sur un axe

$38 ilf RE m. ÉQUILIBll£ ET ltO0VBll£Nt IHfS SYSTÈMES.

qoelcoïKiue sont égales et de signes contraires; leurs moments, par rapport au même axe, sont aussi égaux et de signes contraires. Ainsi :

GoRoujjRi; I. Lorsque cks forces se, fat^t équilibra, m un corps solide libre dans f espace, 1® la somrm de lew^ projections sur un aa^e gMelco^ue est 'mile; ^'^ la somm de leurs moments, par rapport à un ax^ qmlçQnqw, iM

Lorsque le corps solide a nn point fixe, les forées admettent une résultante uni(|ue passant en ce point; te moment de cette résultante, par rapport à un axe quelconque mené par ce point, est nul, car la plus courle distance de la force à Taxe est nulle. Il en résulte :

GoB<>i>LAiilt U* Léorsiqu^, des forces se fotd éfuiHbfe ^tr tmQ(Mrps9aHd/^a$f(mtunpoiH$^e,hsom^ d4s force^^pw rappoTl à un axe quokonfue passtmipm le point fixe, e»t nuU»*

Loraque le corpa solide a od axe fixa, tes fonee» m réduisent À deux résultan tea, l'iliie appliquée m un point de l'axe, l'autre située dant un même plan aveo l'uxe^ Le momoDt de la première résultante, par rapport à Taxe fixe^ est nul ; le moment de la seconde résultante est oui aussi. Cela est évident, quand elle rencontre Taxe ; lorsqu'elle est parallèle à Taxe, sa projection sur un plan perpendiculaire à Faxe étant nulle, son moment est encore nul. Ainsi :

GoRoUiàiRE ni. Quand des forces se font équîHbre sur un eeirps solide ayantun axe fixe, la somme de leurs moment», par rapport è Faxe fixe, est mdk.

COÊkêmO^ tE9 FORCES APlk.IQUÊfiâ A UM CORPS SOUDE. !i39 ÀimUosm d*éqai]ibre.

189. Nous pouvons maintenant, à l'aide de ce qui précède, établir par des équations les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre des forces appliquées à un corps solide. Supposons d'abord le corps solide libre dans respàce.Par lin point arbitraire de l'espace, menons trois axes rectangulaires Oœ, Oy, Oz (fi>g. 148). Appelons «, h, c les angles que la force F fait avec Fig. m.

les axes, x, y y z les coordonnées de son ' point d'application, p, q, r les plus courtes distances de cette fjprce aux axes. Appelons de même a', b\ c' les angles que la fbrce F' fait avee les axei^ etc. Si les forces se font équilibre, la somme des projections sur chacun des axes étant nulle, ainsi que la somme des moments^ par rapport à chacun d'eux, on a les six équations

!2;(Fcosa)=o, ( S(FsinflX/>) = o,

S(Fcosô)=o, (2) j s(Fsin*X5^i=o, S(Fcosc)=o, ( 2(FsincXr)=o,

en dennant à chaque mmoentle signe convenable.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissant sur un eorpB solide libre, vérifient ces six équations, il y a équilibre . En «ffèl, on peut réduire toute» ces forces à deux résultantes R et R\ dont l'une soit appliquée au point 0. Appelons A, B, C les angles que fait la première résultante avee lei^axes, A', B^ Coeux que fait la seconde résultante. La sémme des projeotions des deux résultantes sur chacun des trois axes est égale à la somme des projections

940 LIVRE m. ÉQUIUBRE ET MOUVEMENT DBS SYSTÈMES.

des forces proposées. Ces dernières sommes étant nulles par hypothèse, on a

R cos A + R' cos A'= o , RcosB + R'cosB'=o, RcosC + R'cosC'=o;

on en déduit

cosA cosB cosC R^

cosA' cosB' cosC ""ï*

Le nouveau rapport

J^cos* A H- cos* É -h cos* C

±|/^cos* A'+ cos'B'+cos*C'

formé avec les trois premiers, est égal à chacun d'eux;

•Dr

on prendra — 1 , puisque le quatrième rapport — ^ est

négatif. On a ainsi

R'=R, cosA'=— cosA, cosB'=— cosB, cosC'= — cosC,

ce qui apprend que les deux résultantes sont égaies et de sens contraires.

La somme des moments des deux résultantes, par rapport à chacun des axes, est égaie aussi à la somme des moments des forces proposées ; ces dernières sommes étant nulles par hypothèse, les premières le sont également. La résultante R passant par le point 0, son moment par rapport à chacun des axes est nul ; il en résulte que le moment de la seconde résultante R', par rapport à chacun des axes, est nul. Mais on sait que, lorsque le moment d'une force par rapport à un axe est nul, cette force rencontre Taxe ou lui est parallèle ; il peut arriver que la force R' soit pa-

GOMPOSmOll DES FORCES APPLIQUEES A ON CORPS SOUDE. '241

ralièle à l'un des trois axes ; mais alors elle rencontrera les deux autres, et passera par leur point d'intersection 0. Les deux résultantes R et R', qui sont égales et de sens contraires, étant appliquées au même point 0, se font équilibre. Ainsi, quand des forces, agissant sur un corps solide libre, vérifient les six équations (1), ces forces se font équilibre.

190. Supposons actuellement que le corps solide ait un point fixe 0. Menons par ce point trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz. Si les forces proposées se font équilibre, la somme de leurs moments, par rapport à chacun des axes, est nulle, et Ton a les trois équations

S(Fsin«X/>) = 0,

(2) S(FsinôXy) = 0,

. S(FsincX/') = 0.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissant sur un corps solide ayant un point fixe 0, vérifient les trois équations (2), il y a équilibre. En effet, on peut réduire ces forces à deux résultantes, dont Tune R soit appliquée au point 0. En vertu des équations (2), le moment de la seconde résultante R% par rapport à chacun des trois axes, étant nul, cette force R' passe par le point ; les deux forces R et R' se réduisent ainsi à une résultante unique appliquée au point fixe 0, et il y a équilibre.

191 . Considérons enfin le cas où le corps solide a un axe fixe. Prenons un point quelconque de cet ?Lxe pour origine des coordonnées, et cet<axe lui-même pour axe des z. Si les forces proposées se font équilibre , la somme de

M9 UYRS m. ÉeOltIBRE fit lfO0VEIIBIfr DES StffrilltÉâ.

leurs moments, par rapport à Taxe fixe, est nulle, et roii A réquatioD

(3) S(FsincXr)=0.

Réciproquement, quand l'équation (5) est Vérifiée, il y a équilibre ; car si Ton téduit les forces proposées â deux résultantes, dont l'une R soit appliquée au point de Taxe fixe , en vertu de l'équation (3), le moment de l'autre résultante R', par rapport à Taxe O2, étant nul , cette force sera située dans uti même plan avec Taxe, et par conséquent il y aura équilibre.

En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre des forces appliquées à un corps solide, s'expriment par six équations, quand le corps solide est libre; par trois équations, quand le corps solide a un point fixe; et enfin par une seule équation, quand le corps solide fit un axe fixe.

19â< Les équations (9) des moméms tmfBrïnéûi les plus courtes distances des forces à chacun des trois axes ; inftis il est clair que chaque force est définie complètement par les coordonnées X, y, z de sou point d'application M(figA 49), sagrandeurF, et les angles a, b, t qu'elle fait avec les axes; on doit donc pouvoir exprimer les moments de chaque force à Taidedes quantités que nous venotis d'énumérer.

Il est nécessaire de faire une convention sur les signes à donner aux moments. Par rapport à Faxe Qx^ neus re-

Pig. 149.

GOiit»osnloJir dëhI forcés appliquées a ua toups solide. 243

garderons comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour de cet axe de Oy vers Oz; cottime négatifs, les moments des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire. Par rapport à l'axe Oy, notls regarderons comme positifs les moments des forces qui tendent à faiï*e tournet* le corps autour de cet axe de 0^ vers Ox. Par rapport à Taxe Oz^ nous regarderons conime positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour de cet axe de Ox vers Oy.

Construisons le parailélipipède rectangle dont la diagonale est OM; les trois arêtes OA, OB, OC de ce parailélipipède, affectées des sigties convenables,, sont les coordonnées du point M. Décomposons la force F en trois composantes F^ =Fcosû, Fa=Fcosô, F3=Fcosc, parallèles aux axes; le moment de la force F, par rapport à cbacun des axes, est égal à la somme des moments de ses trois composantes. Évaluons les moments par rapport à Taxe Ox, Laforce F, étant parallèle à Taxe, son moment est nul. La fbi'ce F^ est perpendiculaire à l'axe Ox; la perpendiculaire commune entre celte force et Taxe est la droite AL, qui, afffectée d'un signe convenable, est la coordonnée y; la valeur absolue du moment est donc celle du produit F, X y. Bi la force F^ et la coordonnée y sont positives, comme Tindique la ligure, on voit que la force tend à faire tourner le corps autour de Taxe Ox de Oy vers Oz; le moment est positif, et égal à F< Xy ou Fycosc. Il est clair que, si la force F, change de signe, elle tend à tare tourner le corps en sens contraire, et que par conséquent le signe du moment change également. De même, si la coordonnée y change de signe, la force tendant à faire tourner le dorps autour de Taxe en sens contraire, le moment change de signe. On en conclut que le moment de

244 LITRE in. ÉQUILIBRE ET HODVEHENT DES STSflSHES«

la force F„ par rapport à Taxe Ox, est exprimé dans tous les cas parFy cos c, avec le signe convenable. La force F, est perpendiculaire à l'axe Ox; sa plus courte distance est âK ou z. Quand la force F, et la coordonnée z sont positives, on voit que la force tend à faire tourner le corps autour de Taxe Ox de Oz vers Oy; le moment est n%atif ; il a pour valeur, dans tous les cas, — Fz cos b. Ainsi, le moment de la force F, par rapport à Taxe Ox, a pour expression F (y cos c—z cos 6). On verrait de même que le moment, par rapport à Taxe Oy, est F {z cos a — x cos c), et par rapport à Taxe Oz , F ( a: cos 6 — y cos a ), De cette manière, les trois équations (2) s'écrivent sous. la forme

/ SF(ycosc — zcosôy=:0,

(4) I sF(zcos« — a:cosc)=0,

( lF(xcosb — ycosa)=0.

TravaU vlrtael.

193. Nous avons démontré directement (n® 187) que, lorsqu'on réduit à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide^ la somme des projections des forces proposées sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des deux résultantes, et que de même la somme des moments des forces proposées, par rapport au même axe, est égale à la somme des moments des deux résultantes. Ceci est pour ainsi dire évident, et c'est à Taide de ces deux théorèmes fondamentaux que nous avons établi les équations d'équilibre. On a coutume de déduire ces deux théorèmes de la considération du mouvement virtuel, et du travail correspondant des forces.

Lorsque les points d'un système sont liés entre eux d'une certaine manière, on appelle mouvement virtuel tout dé-