COMPOSITION DES FORCES APPLIQUEES A UN CORPS SOLIDE

placement possible, c'est-à-dire compatible avec les liaisons du système. Considérons, par exemple, un seul point matériel ; si ce point est libre, tout déplacement dans une direction quelconque est un moment virtuel. Si le point matériel est assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe donnée, tout déplacement sur la surface ou sur la ôourbe est un moment virtuel.

194. Dans ce qui suit, nous supposerons les déplacements ou les mouvements virtuels très-petits, et nous prendrons les travaux élémentaires des forces pour ces déplacements très-petits. Reprenons la définition du travail dans le cas général (n® 125), c'est-à-dire lorsque la force est variable et que le point d'application décrit une courbe AB (fig. 150). Nous avons inscrit dans la courbe une ligne polygonale d'un très-grand nom- rig. no.

bre de côtés très-petits : soit MM' l'un des côtés, F la valeur de la force au point M, a l'angle qu'elle fait avec la tangente MT, a, l'angle qu'elle fait avec la direction du côté MM' ; nous avons appelé travail élémentaire de la force F, pour le déplacement très-petit MM', le produit

FxMM'Xcosa,,

et travail de la force , pour le déplacement AB, la limite de la somme des travaux élémentaires.

Afin de donner aux théorèmes un sens plus précis, il convient de modifier la définition du travail élémentaire : en désignant par A^ le temps, que le mobile met à parcourir l'arc MM ', et par v la vitesse du mobile au point M,

246 LIVRE III. ÉQUILIBRE ET MÛUVBMEEfT DBS STSTiMES,

vitesse dirigée suivant la tangente MT, nous appellerons travail élémentaire de la force F, pendant le temps trèspetit A^^ le produit

Fvcosa.A^.

C'est le travail qui aurait lieu si^ pendant la temps àh la force était constante et le mouvement rectiligne et uni^^ forme ; car, si le mobile se mouvait d'un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse v qu'il a au point M* il décrirait sur la tangente MT une longueur MM\ égale à vHt : à ce déplacement correspond un travail FvAt cos a, la force étant supposée constante. Cette modification dans la définition du travail élémentaire n'apporte aucun changement dans la définition du travail total ; on peut dire encore que le travail de la force F, pour le déplacement AB, est égal à la limite de la somme des travaux élémentaires.

195. Pour le faire voir, nous nous serviroiis d'un théorème qui est d'un usage fréquent en mathématiques, c'est que la limite de la somme d'un nombre très-grand de quantités très-petites, dont chacune tend vers zéro et dont le nombre augmente indéfiniment, ne change pas quand on remplace chacune de ces quantités par une a«tre dont le rapport à la première a pour limit0 l'unité. Soient

deux suites de quantités positives qui se Qorresponilent deux à deux. On sait que la valeur de la fraction

GOMPpfiriOIl PSS fOf^BU APPUQPI^ES ▲ UN CORPS SQI4QE. 347

e8t uae moyenne entre les valeurs des fractions a a' cf

c'est-à-dire est comprise entre la plus petite et la plus grande de ces fractions. Nous supposons que, lorsque les quantités a, a', é y... b. II, W tendent vers zéro, tandis que leur nombre augmente à l'infini, chacun des rapports (2) tend vers Tunilé; il est clair quale rapport (1), qui est compris entre le plus grand et le plus petit des préeédentp, t^nd aussi vers l'unité. Si dona l'une de» deux sommes

a une limite, l'autre aura la même limite.

Nous avons déflqi le travail de la force F, pour le déplacement âB du point d'application, la limite de la somme

S(F.MM'cosa,).

Considérons la somme

S(Fwcosa.A#).

l»e rapport d'un terma de la première somme au terme correspondant de la seconde eet

i^ MM^ cos«, ^ V ' A/ ' eosa '

quand bkt tend yers aéro, pe rapport a pour limite l'unité. Les deux gommçs ont dope la même limite.