BB

Ton aura BE, = -r- , c'est-à-dire que la droite BE, représentera la vitesse moyenne du point B. Faisons maintenanl tendre At vers zéro : les droites AC, et BD,, égales et parallèles, ont pour limite des droites AC et BD égales et parallèles {/tç. 153); l'angle A'B^B' devenwt droit, la droite D^E^ a pour limite une droite DE Fig. isa.

perpendiculaire à AB. Les droites AC etBE b^ représentent les vitesses v et v' des points A etB; la projection de la droite BE sur la droite BA est égale à la projection de la ^k^ droite BD, plus la projection de la droite j \ DE. Cette dernière projection étant nulle, ^^ ^ puisque la droite DE est perpendiculaire à BA, Il en résulte que la projection de la droite BE est égale à celle de BD, et par conséquent à celle de la droite AC. On conclut de là que, lorsqu'une droite se meut d'une manière quelconque dans FespacCy les prçjections des vitesses de deux points quelconques A etB de la droite sur la droite elle^-même sont égales.

Supposons qu'une force F, agissantsuivant la droite BA, soit appliquée en A ou en B ; appelons a et « le3 angles

250 uvuE m. Cquiupre prr moovkiient pes «Tsrlbies.

que font avec la droite BA les vitesses AC et BE des points A et B, les projêctiong de ees vitesses sur la droite BA étant égales, op a

t7cosa=t;'cosa'; si Ton multiplie ces deux quantités égales par FAl^ on a les deux produits égaux

Fucosûç . A/=:Ft^'cos«'. A^.

Aiofd, le tmvail élémentaire de la force F reste le même, que la force soit appliquée en A ou en B^

198. Pour réduire à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide, nous avons décomposé chacune des forces proposées ei^ trois autres, dirigées suivant les droite^ qui joigaent le point d'application à trois points 0, 0,, 0, pris à volonté dans le corps solide, puis déplacé le point d'appficatioQ dp chacune des composantes sur sa direction, et réuni les composâtes appliquées en chacun des points 0, 0,, 0,; nous avons ensuite réduit ces trois résultantes à deux par des opérations analogues. Imaginons que Ton imprime au corps solide un déplace* ment quelconque dans l'espace ; les opérations précédentes n altèrept pas la somme des travaux élémentaires; on ei^ conclut :

Thé5rème m. Lorsquon réduit à deux résidantes un système de forces appliquées à un corps soHde, la somme des travaux élémentaires de ces deux résultantes est égaie à la somme des trmaax élémentaires des forces proposéesy quel que soit le déplacement du corps solide dans tespaœ.

199* Ce théorème comprend, comme cas particuliers, les deux théorèmes let II {n^ 187). Godcevons d'abord que

GOMPOSmON PES FORCES APPtiWP» A UN GOBPS SOUDfi. 251

Top doûue au corps solide un mouvement de translation rectiligne et uniforme, parallèlement à une droite ou axe quelconque; tous les points du corps auront la même vitesse V parallèle à cette droite; si l'on appelle a, d, é ..* les angles que font avec Taxe les forces proposées F, F', F'^ ..., A et A' ceux que font les résultantes R et R' avec cette même droite, et si Ton écrit que la somme des travaux élémentaires des deux résultantes est égale à la somme des travaux élémentaires, des forces proposées,. on aura

RcosA.uA^+R'cosA'.t;A^=SFcos<ï.t)A^,

ou, en divisant tous les termes par vbi^

Rcos A + R' cos ^'s=SFcos a.

Ainsi, la gomme des projections des deux résultantes sur une droite quelconque, est égale à la somme des projections des forces proposées.

200. Concevons maintenant que Ton fasse tourner le corps solide autour d'un axe fixe OZ [fig . 1 54) , d'un mouvement uniforme, avec la vitesse an- ^^^ gulaire w. Le point d'application M de la force F décrivant un cercle de rayon OM dans le plan P perpendiculaire à Taxe, sa vitesse est per- / pendipulairç à OM dans cjb plan P. y j '^'' ./ Décomposons la force F en deux Ij forces , Tune F, parallèle à Taxe, l'autre JF, perpendiculaire.; le travail élémentaire de la fopceF0çtégi^l à la somme des travaux élémentaires de ses deux composantes ; la force F, étant perpendiculaire à la vitesse, sop travail egt nul : il reste à évaluer le travail, de la force F,. Abaissons du point une perpendiculaire OC

253 LIVRE tu. ÉQUiLrbnE :et' MotiYEMemr des stsièmes.

sur la force F,, et supposons celte force appliquée en (î ; la vitesse du point G étant dirigée suivant GF, et égale à ®X OC, le travail élémentaire de la force F.est F.wXOCx A^ ou F,xOCX«A^ Ainsi, le travail élémentaire de la force F pendant le temps A^ est égal à Tangle de rotation toA^, multiplié par le moment de la force par rapport à Taxe.

On regarde la vitesse angulaire de rotation « comme positive ou négative, suivant que le corps tourne autour de Taxe dans un sens ou dans l'autre ; pour que la relation précédente entre le travail élémentaire et le moment subsiste dans tous les cas, on adoptera la même convention pour le signe du moment.

Si Ton écrit maintenant que la somme des travaux élémentaires des deux résultantes est égaie à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, et si l'on supprime le facteur commun <a^t, on en conclut que la somme des moments des deux résultantes est égale à la somme des moments des forces proposées.

201 . La considération des mouvements virtuels permet de comprendre dans un seul énoncé les conditions d'équilibre d'un corps solide, que ce corps soit libre, ou qu'il soit assujetti à tourner autour d'un point tixe ou d'iin axe fixe. Lorsque le corps solide est libre dans l'espace, s'il y a équilibre, les deux résultantes sont égales et opposées; on peut les supposer appliquées au même point ; alors il est évident tjue leurs travaux élémentaires sont égaux et de signes contraires, quel que soit le déplacemaitdu corps solide; donc la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un point fixe, les forces proposées^ pour se faire équilibre* doivent se réduire à une résultaate

COWÛSmm BS8 FORCES AfBUQUÉES A. UN CORPS SOUDE, 253

unique appliquée au point fixe; le travail de cette réâul-tante ^étant nul pour tout déplacement du corps autour du point fixe, on en conclut que la somme des travaux élémentaires des forces proposées est. nulle. Enfin, lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, les forces doivent se réduire à deux résultantes, Tune appliquée en un point de l'axe, l'autre située dans un même plan avec l'axe. Le seul mouvementvirtuel ou possible est une rotatioa autour de Taxe, dans un sens ou dans l'autre : la premièrerésultante, appliquée à un point fixe, a un travail nul ; la seconde, rencontrant Taxe ou étant parallèle à Taxe, a aussi un travail nul ; donc la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Ainsi, on peut énonoer dans tous les cas le théorème suivant :

Théorème IY. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide^ librCy ou assujetti à tourner autour dunpointou dun axe fixe y la somme des travaux élémentaires des forces est nulle pour tout mouvement virtuel dun corps solide.

â02. La réciproque est vraie : lorsque la somme des travaux élémentaires est nulle pour tout mouvement.vir^ tuai, les forces se font équilibre sur \% corps solide. Considérons d'abord le cas où le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe : il n'y a qu'un mouvement Tirtuel, la rotation du cor|)6 solide autour de l'axe fixe, dans un sens ou dans l'autre; si l'on réduit les forces proposées à deux résultantes, dont l'une soit appliquée en * un point pris à volonté sur l'axe, la somme des travaux élémentaires de ces deux résultantes étant nulle, ainsi que le travail de la résultante R appliquée au point fixe 0, le travail de la seconde résultante R' e$t nul aussi. Pour

354 ttVRB m. ÉQUILIBRE lit MDTJTÉnËm' DEâ STëTÈHES.

cela, il faut que la force R' soit perpendiculaire à là vitesse virtuelle de Son point d'application 0\ et par conséquent soit située dans le plan normal au ôercle que décrit le point 0'. Ce plan normal passant par Taxe fixe, on voit que la résultante R' est dans un même plan avec Taxe; ainsi, il y a équilibre. ,

Supposons maintenant que le corps solide ait uti Çoifll file ; réduisons les forces proposées à deux résultantes dont Tune R soit appliquée au point 0, le tratVail élémetltaire de TàTître résultante R' sera nul pour tout déplacement du corps solide autour du point 0. Le point d'àppiitîation 0' de cette seconde force se meut feur la sphère décrite du point comme Centre avec 00' pour rêiyon, mais dans une direction quelconque, et il y a utié iilflmté de mouvements virtuels. La force R', ayant un travail élémentaire tiul, est normale à toutes les courbes tVacées par le point 0' sur la sphère; elle est donc nôrtîiàlé à celte sphère et pat consé(iuent dirigée suivant le râyôri 00' ; ainsi il y a équilibre.

Lorsque le corps solide est libre dans l'espace, tous les déplacements sont possibles. Après avoir réduit leë fdfces à deux résultantes R et R^ imaginons que Ton fasse tourner le corps autoiif du point d'application de h première résultante d'une manière quelconque, norus en conclurons, comme précédemment, que la seconde réâttltanle R' passe aussi par le point 0/ Je dis maintenant que ces deux résultantes sont égales et opposées ; autremfèût, elles admettraient une résultante unique ety ^ dépla^nt le point sur cette résultante, on aurait un triiVail diffirent de zéro. Ainsi,

Théorème V . Lorsque des forces agissent sur un cèrps so-

GOKPOdinON DES f cm€£8 hV^UQTOÈÉÛ à ^ GèRP6 S9LIDE. S55

Ude, libre^ ou assujetti à tourner autour d'un point ou atim axe fixe y et que la somme de leurs travauoù élémentaires est nulle pour tout mouvement birtuel du torps solide^ il y a équilibre.

Équilibra d'an corps solide «'appuyant contre un plan fixe.

203. Lors(ju'im corps fiolide* eoUicité par différentes forces F, F', ..i, s'appUie par tiû point A qôntré ufl plaû très-résistant et parfaitement poli, le plan exercé contre le corps une réaction normale appliquée feu point A ; si cette réaction normale, que nous déiignferons par N,, tient en équilibre les forces F^ F', * ^ *, <5es forcée admettroât une résultante unique R, égale el opposèa à la force N. Quand - dette Condition est remplie, la réeultantô R est détmite par la résistance du plan, et il y à équilibre. Ainsi) la condition nécessaire et suffi^smte poi^ que deê forées se fttômit équilibre iurun eorpM solide qui s'appuie pair un point contre tm plan rigide et parfaitement poli, e'est que ces forces ne déduisent à urie tésultante unique^ passant pur le point d appui ^ normak aùplari^ et appuyant le corps contre le plan.

GonsidéVons, par eiëmple, un corpspesant reposant par un point A sur un plan horizontal (fiq. 155)* Ce corps est sollicité par son poids P appliqué» en ^^ ^^^ .

sap centre de gravité; la condition d'é- j,

, quilibre, o'est que la terticale abaissée ^,|^

du centre de gravité G passe par le /^ ^1 >.

-pcdnt d'appui A. Quand cette condition vT ] y^

est Templie^ la force P, passant par le — — ^^ ]j^

point A et normale au plan, est dé- ^^

truite par la résistance du plan. Il est clair que le corps exerce sur le plan une pression égale à son poids P.

256 LiYRB 111. AlOnJBRC ET MOmTEMElTr DES STSitifES.

204. Ceci nous doDDe l'occasion de distinguer deux sortes d'équilibre, l'équilibre stable et l'équilibre instable. On dit que l'équilibre est stable, lorsque le corps, dérangé très-peu de sa position d'équilibre, tend à y revenir. Dans le cas contraire, on dit que l'équilibre est instable. Pour en montrer un exemple, considérons un cylindre elliptique homogène, reposant par une arête latérale sur un plan 'horizontal. Le centre de gravité G du cylindre coïncide avec le centre de l'ellipse qu'on obtient en coupant le cylindre en deux parties égales par un pian perpendiculaire aux arêtes. On peut se borner à considérer cette eUipse reposant par un point A sur une droite horizontale. Le rayon GA devant être vertical et par conséquent perpendiculaire à la tangente en A qui est horizontale^ le point de contact A est l'un des quatre sommets de Tellipse. Nous ferons voir que, lorsque le point de contact est l'un des sommets du petit axe AA' [fig. 155), l'équilibre est stable ; mais que, si, au contraire, le point de contact est l'un des sommets du grand axe, l'équilibre est instable. Supposons d'abord que l'ellipse repose sur le plan par un des sommets du petit axe. Quand on dérange l'ellipse de sa position d'équilibre, la perpendiculaire GH {fig. 156)^ Fig. 156. abaissée du centre de gravité sur le

pian horizontal, étant plus grande que le fayon GM, qui est lui-même plus grand que la moitié GA du petit axe, le centre de gravité G s'élève. Si Ton abandonne ensuite le corps à luimême, le centre de gravité tend à redescendre, et le corps revient à sa position primitive, qu'il dépasse en vertu de la vitesse acquise, et de part et d'autre de laquelle il oscille. Donc l'équilibre est^stable.

GOHPOSlTKm DES FORGES APPLIQUÉES A U» CORPS SOLIDE. 257*

SuppQSOQS maintenant que Tellipse repose sur le plan horizontal par une des extrémités B de son grand axe {fig. 157), Quand on dérange le corps de sa position d'équilibre, la perpendiculaire GH Fig. is?.

étant plus petite que le rayon 6M qui va du centre au point de cont£^ct, et ce rayon étant plus petit que la moitié GB du graad axe, le centre de gravité 6 s'abaisse. Si Ton abandonne ensuite le corps à luimême, le centre de gravité tendant à descendre, le corps ne reviendra pas à sa première position ; il s'éloignera encore davantage, et se rapprochera d'une position d'équilibre stable. Ainsi, quand l'ellipse repose par le sommet Bt il y a équilibre instable.

. 205. Lorsqu'un corps solide s'appuie par deux points A et B contre un plan [fig. 158), le plan exerce sur le corps deux réactions normales JN,N', appli- Fig. i58.

quées en A et en B; ces deux réactions parallèles ont une résultante N +N' appliquée en.un point I de la droite AB.

Si la force N+N' tient en éqpiiUbre les autres forces qui agissent sur le corps solide, ces dernières forces admettront une résultante unique, égale et opposée à la force N + N'. Par exemple , un corps pesant, qui repose par deux points A et B sur un plan horizontal, sera en équilibre, si la verticale abaissée du centre de gravité G rencontre la droite AB en un point I situé entre les deux points A et B. Il est facile de calculer les pressions partielles que le corps exerce contre le plan, en A et B; il suffit de décomposer le poids P du corps en

358 iivic m* fiODiuBRs b? Hoovimrr im sntkaÊM.

deux forces parallèles appliquées, l'une en A, l'autre en B. On a

ib"^ia"ab-

206. Lorsqu'un corps solide s*appuie par trois poinU A, Bf G contre un plan (fig^ 159). le plan exerce sur le Fig. 1S9. ^^''P^ ^^^^ réactions xiormales N, K , N"

^c appliquées en ces trois points; ces réy'7 \ actions ont une résultante égale à leur /'' ^l/^""^\ somme N + N' + N" a(^liquée en un ^£'rjr-I-----IV::4i po^^* ^ situé à Tintérieur du triangle ^ ABC. Pour Téquilibre, il faut donc

que les autres forces qui agissent sur le corps selido aient une résultante unique, normale au plan, passant par un poin tlintérieurau triangle ABC, et appuyant le corps contre le plan. Par exemple, un corps pesant, reposant par trois points A, B, G sur un plan horizontal, sera en équilibre, si la verticale abaissée du centre de gravité tombe à l'inté* rieur du triangle ABC. Voyons comment ae réparti! Im pression aux trois points d'appui. Prolongeons la droite AI jusqu'à sa rencontre en K avec le côté BC ; décomposons la pression totale P appliquée en I en deux forces parallèles, 1 une N appliquée eo A, l'antre N, appliquée enK , à Taide des relationa

IK~Al'^AK"

Nous décomposerons ensuite la force N^ en deux forces parallèles W etW appliquées en B et G. Nous remarquons

COHPOSntON DES fORCCS APPLIQUÉES A UR CORPS SOLIDE. 259

quer les deux longueurs IK et AK Èoni proportionnelles aux aires des triangles BIC, BAC/ce qui donne

Ji P^