THÉORÈME I

La dérivée de la somme des projections sur un axe queliO^nque des qt4(mtités de mouvement des différents points du système est égale à la somme des projections des forces extérieures sur ce même axe.

212. Lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force extérieure, et, par conséquent, ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, les seconds membres

264 i.IViUS m. ÉOUIUBRE et MOUVJSIIfiHT IMES 6YffirÈlfEfi«

des équations (3) sont nuls; les sommes des projections des quantités de mouvement, ayant leurs dérivées nulles, sont constantes, et Ton a les trois équations

dans lesquelles les lettres A, B, G désignent des quantités constantes. Ainsi,

Corollaire. Lorsque les points du système ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque est constante.

213. Le théorème précédent acquiert une signification très-simple à Taide du centre de gravité. Si Ton considère le centre de gravité du système dans la position qu'il occupe à chaque instant, on obtient un point géométrique G, qui ne coïncide pas avec un point physique déterminé du système, à cause de la déformation de ce système, mais qui occupe successivement diverses positions dans Tespace. On conçoit très-nettement le mouvement de ce point G; nous lui supposerons une masse M égale à la somme des masses des différents points du système, et nous appellerons X, T, Z ses coordonnées.

En appliquant aux masses des diverses molécules du système le théorème des moments des forces parallèles par rapporta chacun des plans des coordonnées (n® 147), on a les trois équations

yDL=^J,mx,

(5) MY=Smy,

l MZ=S»iz,

PRWRlMS GÊNfRALBS DH MOCVEBIENT DES STSTÈMBS. 265

qui déterminent les coordonnées du centre de gravité. Si Ton prend les dérivées par rapport au temps, on en déduit les équations

MD|Z=SmD,2,

qui donnent à chaque instant la vitesse du centre de gravité, en grandeur et en direction. En prenant une seconde fois les dérivées, on obtient de nouvelles équations

(7) j md;y=swiD,v.

f MD/Z=SmD;^,

qui donnent l'accélération du centre de gravité.

En vertu des équations (7), les équations (2) se mettent sous la forme

MD;X=2Fcosa, (g) / MD,*Y=2Fcosô,

MD|'Z = 2Fcosc.

Ces équations déterminent le mouvement d'un point matériel de masse M, placé au centre de gravité du système. D'après la remarque faite précédemment, les seconds membres sont indépendants des forces intérieures ; on en déduit :

THÉORÈME n.

Le nwtwement du centre de gravité dun système est le même qu/e si toute la masse y était concentrée, et que si toutes les forces extérieures y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes.

IlIfttB ni* ÉQUILIBRE Bf MOl^EinSKT OEfl STSlftVBS.

314. Il résulte de là que les actions des points du système les unes sur les autres n'ôirt pas d'influence sur le mouvement du centre de gravité. Loi^sque les points du système ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme ; si la vitesse initiale est nulle, il resrte en repos.

Cette loi s'étend aux êtres vivants. La volonté fait nali tre des actions mutuelles entre les diverses parties de Torganisme, elle met enjeu les forces musculaires; mais ces forces, comme toutes les forces de la nature, sont deux à deux égales et opposées, et par conséquent n'ont pas d'influence sur le mouvement du centre de gravité. Aussi, n'esirce qu'en réagissant sur les corps extérieurs qu'un être vivant peut modifier le mouvement de son centre de gravité.

215. Dans le chapitre d du livre II, nous avons étudié te mouvement d'un point matériel soumis à l'action de la pesanteur, et nous avons vu que, si l'on néglige la résistance de Tair, le point décrit une parabole. Tout ce que nous avons dit à cet égard s'applique au mouvement du centre de gravité d*un corps soumis à l'action de ja pesanteur ; car les forces qui sollicitent les molécules, c'est-àdite les poids des molécules, transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, donnent le poids total P du corps. Ainsi, le mouvement du centre de gravité est le même que celui d'un point matériel de masse M sollicité par une force verticale P égale à iig. Considérons, par exemple, le mouvement d'une bombe lancée avec une certaine vitesse initiale ; le centre de gravité décrit une parabole; ai, à un cettoîn instant, la bomba éclate, les forces iptérieures qui produisent Texplosion n'ayant pas d'influence sur le mouvement du centtft àê gr»viléy c«

point géométrique continuera son mouvement parabolique, comme si rien n'était survenut tandis que les fragments iront de différents côtés.

316. On peut expliquer de la même manière le recul des canons, et, en général, des armes à feu. Âûn de sim* plifier le raisonnement, supposons le canon placé sur un plan de glace parfaitement poli. Spit M le poids du canon et de son affût, m celui du boulet, la Pig. m.

masse totale est M + m; le centre de m ^ w

gravité G de tout le système est immo* bile. Quand on enflamme la poudre, le boulet est lancé vers la droite avec une vitesse horizontale v; le centre de gravité G de tout le système devant continuer à rester immobile, il faut que le canon et son affût parcourent en sens inverse une longueur proportionnelle. Si x est le chemin Gm décrit par le boulet pendant un certain temps, x' le chemin GM décrit en sens inverse par le centre de gravité du canon et de son affût, on doit avoir

mx — Wx' = o; A'oxi x' :=r^x. De même, si v' est la vitesse du canon après l'explosion, on aura mv — Uv'=Oy A*o\i t>' = jr|-t;. La vitesse de recul du canon est très-petite par rapport à là vitesse du boulet, parce que la masse du canon est très-grande par rapport à celle du boulet.

217. Quand un homme marche sur un plan horizontal, le sol exerce sur la plante des pieds une réaction normale rïf et| en outre, un frottement horijsontal F dans le sens de la marche; c'est cette force horizontale F qui, transportée au eentre de gravité, produit le mouvement de

268 LIVRE m. ÉQUILDEE ET MOUYEMENT DES STSIÊMES.

translation horizontal. SiThomme était placé sur un plan de glace parfaitement poli, la force horizontale de frottement F étant nulle, et le centre de grayité n'étant plus sollicité que par les deux forces verticales P et N de sens contraires, il pourrait bien abaisser ou élever son centre de gravité, mais il lui serait impossible de le déplacer horizon* talement; s'il avançait une partie de son corps d'un c6té, une autre partie reculerait de l'autre côté, de manière que le centre de gravité restât toujours sur la même verticale.

Théorteoia des ]

nls àom qoantltés de «ouTement.

218. Reprenons les équations (1) qui déterminent le mouvement d'un point quelconque du système,

imD|'a:=SFcosa, mD,'y=sFcos6, ^ mD,'^ = SFcosc.

Si l'on multiplie la première par y, la seconde par x, et qu'on retranche la première de la seconde, on a l'équation

m(arD|'y— yD,'a;)=sF(a;cos6— ycosa),

que Ton peut écrire sous la forme

D| [w(a;D,y — yD^^)] = S F (a: cos è — y cos a) .

En ajoutant les équations de cette sorte, qui se rapportent aux différents points du système, on obtient l'équation

D,[Sm(a;D,y— yD|a?)]=2F(a;cosô — ycosa).

En combinant de la même manière la seconde des équa-

PROPRIÉTÉS GÊHrâlALES DU HOUVEUENT DES SYSTÈ&IES. 269

lions {\) avec la troisième, la troisième avec la première, et ajoutant^ on obtient les trois équations

iD,[S*m {xD^ — yDiX)] ==^ F {x cos b— y cos a), lit[Sm(yDtZ — zD^y)] =^ F{y cos c— z cos 6), D,[Sm(zD|a;— a;D|Z)]=2F(j5C0sa— arcosc)*

Le signe V, dans le second membre, s'étend à toutes les

forces qui agissent sur les différents points du système.

La quantité F (â: cos 6 — y cos a) représente le moment, par rapport à Taxe oz, de la force F appliquée à la molécule m, dont lescoordonnées sont or^ y, z (n^ 192). Il est clair que les moments par rapport à une même droite de deux forces égales et opposées sont égaux et de signes contraires ; les forces intérieures, qui sont deux à deux égales et opposées,disparaissent donc des seconds membresdeséquatioQS précédentes. De même, la quantité m(xDty — yDtx) représente le moment, par rapport à l'axe oz, de la quantité de imouvement de la molécule m. Ainsi :

THÉORÈME m.

La dérivée de la somme des moments y par rapport à un axe quelconque y des quantités de motcvement des différents points du système, est égale à la somme des moments des forces extérieures, par rapport au mèrm Qxe.

219. 11 résulte des théorèmes I et III ique les actions des points du système les unes sqr les autres ne peuvent modifier^ ni la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque , ni la somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport au même axe. Lorsque les points du système ne sont sol-

370 LIVRE ni. fioniLimE et mouvement des sîstèmes.

licites par aucune force extérieure, les seconds membres des équations (9) sont nuls ; les sommes' des moments des quantités de mouvement, ayant leurs dérivées nulles, sont constantes, et Ton a les trois équations

I ïm(xD,y — yDia:)=L, (iO) Sm(yD^-zD,y) = I,

dans lesquelles les lettres I, K, L désignent trois quantités constantes. Ainsi,

Corollaire I. Lorsque les points dustfstème ne sont smimis qu'à leurs actions mutuelles, la somme des moments des quantités de mouvetnent, par rapport à tm axe qmlconque, est constante ^

320. Pour montrer une application de ces principes, considérons on corps solide tournant autour d'an aie fixe avec la vitesse angulaire ». La vitesse de chaque molécule est égale à oût, r désignant la perpendiculaire abaissée de la molécule sur Taxe; elle est perpendiculaire à Taxe et à une distance r de Taxe ; le moment de la quantité de mouvementde cette molécule, par rapporta l'axe de rotation, est égale au produit de cette quantité de mouvement muir par sa distance r à Taxe^ ce qui donne mvti^. Si Ym fait la somme des mommUs des quantités de mouTemei^ de toutes le$ molécules du corps solide, conmie la vitesse angulaire ei est facteur constant dans tous les termes, on aura Texpression &> X£mi^* La quantité Smr*, c*est<À-dire la somme des produits que Ton obtient en multipliant la masse de chaque molécule par le carré de sa distance à Taxe, s'appelle moment dinertie du corps solide par rapport à Taxe. Âinsr» quand un corps solide tourne

> Cette ptopriélé Qsl aussi coaDve soasIenooidetkéortoedesMres.

pROvpiÊrta ojShéruis dv voDvunm ras tn&îÈâu. 271

autour d'un axe fixe» la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à cet axe^ est égale à la vitesse angulaire de rotation, multipliée par le moment d'inertie du corps solide relatif à Taxe de rotation.

Supposons qu'aucune force extérieure n'agisse sur le corps solide, ou, s'il y a des forces extérieures, que ces forces se fassent équilibre autour de Taxe, c'est-à-dire que la somme de leurs moments par rapport à Taxe soit nulle (n® 191). Les réactions que les diflFérents points de l'axe fixe exercent sur le corps étant des forces appliquées à l'axe et ayant par conséquent leurs moments nuls, il résulte du théorème précédent que la somme des moments desi quantités de mouvement par rapport à l'axe est constante. Cette somme ayant pour expression o) X Smr*, et le moment d'inertie Hmr^ du corps solide étant invariable, on en conclut que la vitesse angulaire de rotation &> reste constante. Ainsi,

Corollaire II. Quand un corps solide tourne autour if un axe Jixe^ si les forces extérieures se font équilibre^ le mouvement de rotation est uniforme.

Si, par suite d'actions intérieures, le corps solide se contractait, chaque molécule se rapprochant de Taxe, le moment d'inertie diminuerait; la somme des moments des quantités de mouvement wX Smr^ devant rester constante, la vitesse angulaire w augmenterait. C'est ce qui arriverait, par exemple, si, par le refroidissement, le volumede Id terre diminuait ; sa vitesse de rotation autour de l'axe augmenterait et par conséquent la durée du jour, ou le temps qu'elle met à faire un tour entier, diminuerait.

Ces propriétés s'appliquent aux êtres vivants, ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer^ à propos du mouvement

272 LIVRE lU. ÉOUIIilBRE ET MOUYEMENT DES STfilàKES.

du centre de gravité (n® 214). Un être vivant, en repos et isolé dans l'espace, ne peut, par ses actions intérieures, imprimer à tout son corps un mouvement de rotation autour d'une droite ; s'il fait tourner une partie de son corps autour d'un aie dans un sens, il faudra qu'une autre partie tourne en même temps en sens inverse, afin que la somme des moments des quantités de mouvement reste nulle.

Théorème des pidsMnees Tivee.

221 . En étudiant le mouvement d'un point matériel (n^ 130), nous avons démontré que la variation de la puissance vive d'un point matériel, pendant un temps quelconque, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant le même temps ; on a ainsi, pour chaque point d'un système,

le signe S s'étendant à toutes les forces qui agissent sur ce point. Si l'on ajoute membre à membre les équations qui se rapportent aux différents points du système, on a l'équation

le éigne V , dans le second membre, s'étendant à toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur les différents points du système. On en conclut :

THÉORÈBIE IV.

La variation de la somme des puissances vives de tous les points dunsystème matériel pendant un temps quelconque,