LITRE IV. DES MACHINES
La grandeur de la force F varie avec l'angle |3; l'équation (4) montre que celte force est minimum quand t*angle j3 est égal à f . Ainsi, la force motrice F, capable de faire monter le corps sur le plan incliné, est la plus petite possible, quand elle fait avec le plan, et au-dessus, un angle égal à Tangle de frottement.
Le travail moteur est ici F/cos/B, et Ton a
1\, sing cos(/3 — y)
sin(aH-9)^ cos/3
La fraction — ^^ ^ ^ ', ayant pour dérivée — Xvsr rapcos/3 ' -^ ^ cos'^^ ^
port à p, croît avec /3; ainsi le travail absorbé par le frottement est d'autant moindre que l'angle ^ est plus grand.
243. On peut traiter la question précédente par une méthode synthétique. Le corps montant sur le plan incliné, la réaction totale exercée par le plan sur le corps . est, comme nous l'avons vu au numéro 236, une force oblique R^ qui fait avec la normale 6E' et du côté opposé au mouvement un angle égal à l'angle de frottement {/ig. 168). Pour l'équilibre, c'est-à-dire pour le mouvement uniforme, il faut que le« deux forces P et F aient une résultante R égale et contraire à la réaction R', et, par conséquent, dirigée suivant la droite GH qui fait avec la normalç GJE, du côté du mouvement, l'angle 9. Supposons d'abord la force F parallèle au plan; par le point D menons DH parallèle à AB, la droite DH représentera la force F. Du point D menons la droite DL perpendiculaire à GH; les deux angles EGH,
Fig. 168.
PLAN IHGLINÉ. 395
LDH, ayant leurs côlés perpendiculaires chacun à chacun, sont égaux; l'angle DHL, complémentaire de l'angle LDH,
est égal à — -- 9 ; d'ailleurs, l'angle DGH est égal à a+ 9.
Dans le triangle DGH, on a
F DH sin(«-hy) P~GD~ C0S9 '
d'où ' E„pïï!lifi±i).
C'est la relation (2) trouvée précédemment. *
Supposons maintenant que la force motrice F fasse un angle /3 avec la ligne de plus grande pente. Une parallèle DK à cette direction représentera la force. L'angle KDH est égal à /3, l'angle KDL à /3 — 9, et l'angle DKH complémentaÏTe de ce dernier ; dans le triangle GDK, on a
F DK sin(g4-9)
P~5D~cos(^ — 9)'
d'où F = p^^^^t9l,
cos(p — 9)
Puisque la force motrice est représentée par une droite DK, allant du point D à la droite GH, on voit que la force est minimum, quand elle est dirigée suivant la perpendiculaire DL, c'est-à-dire quand elle fait avec la direction DH du plan un angle égal à 9. Plus la force s'écarte de la direction DL, plus elle est grande.
Corps defOQttda^t ênr on plan inclina*
244. Supposons qu'un corps descende sur un plan incliné, sans être sollicité par aucune autre force que son poids et la réaction du plan. Décomposons encore le poids P en deux forces, Tune normale P cos a, l'autre Psin a
UVRE ly. DES MÂGHUfES.
parallèle à la ligne de plus grande pente BA {fig. i&i).. La pression normale P cos a 'détermine un frottement /P cos « dirigé en spns contraire du mouvement, c'est-à-dire dans le sens AB ; la composante parallèle du poids et le frottement, étant dirigés en sens contraires, se retranchent. Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant que Tangle a est égal, supérieur, ou inférieur à Tangle de frottement 9.
1^ Lorsque Tangle oc est ^al à 9, les deux' forces parallèles au plan P sin a et /P cos a sont égales et se font équilibre ; le corps, animé d'une certaine vitesse initiale dans le sens BA» et abandonné à lui-même, descendra d'un mouvement uniforme.
2<> Lorsque l'angle a est supérieur à 9, la force P sin a est plus grande que le frottement; la résultante de ces
deux forces P sin « — /P cos a, ou P — if^ZIIi^ est dirigée
dans le sens BA; Si l'on place le corps sur le plan incliné, avec une vitesse initiale dans le sens BA, et qu'on l'abandonne à lui-même, il descendra d'un mouvement uniformément accéléré, avec l'accélération
'sin(« — 9) '^ ^ COS9
On empêchera le mouvement de s'accélérer» en retenant le corps avec une force parallèle au plan et égalé à p sin (g— 9) COS9 3® Lorsque l'angle a est plus petit que 9, la force de frottement est plus grande que la composante parallèle du
poids, et la résultante /Pcosa— Psina, ou P — ^- — -,
de ces deux fprces est dirigée dans le sens AB. Si le corps
PLAN IMGUEIÉ.
est placé sur le pian 'incliné avec une vitesse initiale, dirigée dans lé sens BA, il desèendra d'un mouvement unifoi'mément relardé, avec Une accélération négative égale à
sin(a — ( cosç
Après un certain temps, la vitesse deviendra nulle ; le corps s'arrêtera, et restera en repos sur le plan incliné. On ferait descendre le corps d'un mouvement uniforme, en le
tirant dans le sens BÀ avec une force égale à P j~^\
245. Lorsque l'inclinaison -a du plan est plus grande que l'angle ç, nous avons vu que le corps descend d'un mouvement uniforme, s'il est retenu par une force parallèle au plan et égale à P — ^-. Supposons que
la force F qui retient le corps soit située dans le plan vertical passant par la ligue de plus grande pente, et fasse avec cette ligne, au-dessous du plan, un angle égal à /3 {fig. 169), Décomposons la force F, comme le poids, en deux forces, Tune normale Fsin /3, l'autre Fcos^jS parallèle au plan; les deux forces normales s'ajoutent et produisent une pression égale à Pcosa-+-Fsin/3; cette pression donne naissance à un frottement /(Pcosa+Fsin/3), dirigé en sens contraire du mouvement, c'est-à- ^ dire dans le sens AB. Pour le mouvement uniforme, il faut que la force Psin a, qui fait descendre le corps, soit
298 LIVRE l¥. 0GS MACHINES.
égale a la somme des deux forces qui le retiêDoent, ce qui donne l'équation
P sin a=¥ cos 13+ /[P cos a+F sin /3);
d'où l'on déduit
(a\ p n Si^«— /'<^QSa p Sin(«— 9)
^^^ ^~^cos^+/einf3~*^cos(/3— f)'
La force F est minimum quand /3=9.
Une construction synthétique, analogue à celle du numéro 343, conduit au même résultat. La réaction totale R' que le plan exerce sur le corps fait avec la normale GE' un angle égal à 9, du côté opposé au mouvement; pour l'équilibre, la résultante R des deux forces P et F doit être dirigée en sens contraire. Une droite DK, menée par le point D parallèlement à la force F, représentera la gi'andeur de cette force; l'angle D6K est égal à a — 9, l'angle DKG est compléqientaire de l'angle KDL qui est égal à |3 — 9 ; dans le triangle GDK, on a
. P GD cos(/3— 9)'
On voit aussi que la force F eêt minimum quand elle est perpendiculaire à GK, c'est-à-dire quand elle fait avec le plan, et en dessous, un angle égal à 9.
246. Il importe de remarquer que le sens du frottement change quand le sens du mouvement change. Lorsque le corps monte sur le plan inclifié, le frottement est dirigé de haut en bas, et s'ajoute à la composante du poids. Supposons qu'on lance le corps suc le plan incliné {fig, 170), avec une vitesse initiale v^ dirigée de bas en haut, suivant la li-
PLAI9 mCLINÊ. 299
gne de plus grande pente» puis qu'on v\g, no.
l'abandonne à lui-même; la résultante
P(sin<.+/oo««),ouP?i^^±^\ des
deux forces qui le sollicitent dans le sens BA, produira une accélération ^
néffative — a — HilîJ; le mouvement sera uniformément
retardé, et l'on aura
' eosç
|i CÛS Q^
La vitesse deviendra nulle au temps ^= — t^ — a-~,
le corps ayant parcouru sur le plan la longueur
^j__Vços9 a^sin(a+ç)'
Arrivé au point I, le corps y restera en repos, si a est pluspetit que 9; mais si a est plus grand que 9, le corps redjescendra d'un mouvement uniformément accéléré, avec
une accélération égale à g — \^ ?/ , En comptant le
temps à partir de l'instant où le mobile arrive en I, et les distances à partir de ce point I, on a, pour cette seconde partie du mouvement,
