LEVIER

247. On appelle levier^ d'une manière générale, un corps solide assujetti à tourner autour d'un point fixe. Pour que des forces se fassent équilibre sur le levier, il est nécessaire et il suffît que ces forces admettent une résultante unique passant par le point fixe (n^.l82); cette résultante est la pression supportée par le point fixe. On traduit analytiquement cette condition d'équilibre par trois équations; si par le point fixe on mène trois axes rectangulaires, on écrira que la somme des moments des forces, par rapport à chacun des axes, est nulle (n^ 190).

248. Considérons, en particulier, le cas oii le levier n'est sollicité que par deux forces» une puissance P et une résistance Q {fig. 171). Pour que ces deux forces admettent une résultante, il faut qu'elles soient ^. ^^^

dans un même plan (n* 1 76); cette résultante devant passer par le point 0, il faut, en outre, que ce plan contienne le point 0. Ainsi, une première condition (féquilibre, c'est qrze la puissance et la résistance soient dans un même plan avec le point fixe.

Supposons cette condition remplie; du point abaissons des perpendiculaires OC et OD sur les forces, et désignons par a et d les longueurs de ces perpendiculaires; les moments des forces par rapport au point 0, dans le plan de

302 LIVRB rr. DBS KàCHINBS..

ces forces, cmt poui: valeurs absolues Va et Qb ; on sait que le moment de la résultante est égal à la somme algébrique des moments des deux forces proposées (n« 184); si la résultante passe par le point O, son moment est nul, et, par conséquent, les moments des deux forces sont égaux et de signes contraires. Réciproquement, Quand cette condition est remplie, la résultante, ayant son mo^ ment nul, passe par le point 0. Ainsi, une tecùnde condition d équilibre, ^eBt que ia puissance et la résistance aient ^ par rapport au point fixe^ des moments égaux et de signes contraignes.

Les perpendiculaires OC et OD, abaissées du point sur les forces, i^'appetlent les bras du letier. De U relation

on déduit ?:=-•

La puissance et la résistance sont entre elles en raison inverse des bras dui levier^

249. U est aisé de vérifier ici le. théorème du travail Supposons que le levier tourne autour du point d*ua ai^le très^petit et dans le sens de la puissance. Imaginons l'angle CGD rigide et lié invariablement au levier, ^t concevons que les deux forces soiept appliquées, l'une en G, l'autre en D ; le levier coudé COD a tourpé d'ua angl« très-petit, pour venir dans la position C'OD\ Appelons A^ l'intervalle de temps pendant lequel s'accomplit le mouvement, et (ù la vitesse angulaire de rotation; les vitesses des points C et D sont wa et wè; la première est dirigée dans la direction de la force P, la seconde en sens cpntraire de la force Q ; en portant dans ces directions les dé-

unin.

plàcemMU cû<&A^ et cùbàt^ on a les travaux ^émfiiUaires FoiaAt et — Q(«)6 A^ (n« 194). Puisque Pa— Q6=»^, on a

Pa)éiAl*^QM6A^»=€f.

Âkisi, la sofi(un€i algébrique de^ travaux éltoieetaire^ «st nuUd ; eu df autres termes, Je travail moteur egt ^at a» traTiui rési&taut.

Ge^ue U0U8 veuous de dire peut être appliqué au €a8 rà lotttes leâ forces qui agissent dur le levier sontsituées daos un même plan avec le point 0. Pour que la résultante de ces forces passe psr le point 0^ il est nécessaire et il suffit que la «somme algébrique des tnosaents des ibrces» par rapport au point 0, soit nulle, et on verra de la môme manière que la somme algébrique des travaux élémentaires est nulle.

SÎ50. On distingue ei*dinalr«Baônt trois espèces de levier : dans le levier de première espèce {fig. 172), la purssanee et larésistance sont situées de part ^ et d'autre du point fixe î dans les deux autres espèces de levier, la puissance et la résistance sont placées d'un même côté du point fixe ; on dit que le levier est de seconde espèce (yï^,173), torsque .

la résistance est plus près du point fixe que là puissance; de troisième espèce (/?^. 174), quand au contraire la puissance est plus près du point fixe que la ' résistance. Dans les deu3^ premiers leviers, la résistance cfst plus grande que

Fîg. 172.

Fig. 17l

Fig. 114.

ir^

304 UVRE Vf. DBS MACHINES.

la puissance ; elle .est, au contraire, plus petite dans le troisième.

251. Jusqu'à présent nous avons négligé le poids du levier; on Tiotroduira comme une nouvelle forçe^ ap* pliquée au centre de gravité. Considérons en particulier le levier de seconde eapèoe, dans? lequel .Bdus^^roppii^ serons la puissance et la résistance verticales; le poids /? du levier est appliqué au ceatre de gravité G, à une pig. 17». distance c du point {/ig. 175). Les

trois forces qiii agissent sur le levier sont dans un même plan avec le point fixe 0; en prenant les moments par rapport au point Ô, on a l'équation d'équilibre

d-où p=^Q*±£f.

Q^And on néglige le poids do levier, la puissanae ca"^ pable de faire équilibre à la résistance Q est d'autant phi& faible que son bns de levier tf est plus long. Il n'en est plus de même quand on tient eompte du poids du levier ;^ son moment J9C augmente aveo la longueur du levier, il en résulte une augmentation de la puissance P. On peut se demander quelle longueur il faut donner au levier pour que la puissance ait la plus petite valeur possible. Supposons le levier formé avec une barre homogène; désignons par p^ le poids de l'unité. Nous auronfs p=pfi,

c=-, et réquation des moments devient

DU LEYIER.

On en déduit

P±/P^~aQjP,6

Le minimum de la puissance est P=j/2Qjo,6, et la longueur correspondante du levier a^=\X -^.

atUanoM.

252. hà balance est un levier de première espèce. Le levier AB (fig. 176 ), que Ton nomme fléau de la. balance, tourne autour de son milieu. A cet effet, un prisme triangulaire, appelé couteau, implanté perpendiculairement au jQéau, repose par son arête inférieure, de chaque côté, sur un plan d'acier poli ou de pierre dure. Cette arête du prisme détermine Taxe de rotation. Le fléau porte à ses extrémités deux autres prismes plus petits A et B, placés en sens inverse du précédent ; sur les arêtes supérieures de €^s prismes s'appuient les crochets auxquels sont attaohées les cordes ou les tiges qui portent les deux plateaux Ce( D de labalance. D^ns 1 un des pkteaux, on met le corps que Ton veut peser, dans l'autre des poids gradués.

306 LIVRE îf. 0C6 HéCHINES.

Les conditions que doit remplir une bonne bAkoèe sont : 1^ que les trois points A, 0, B soient en ligne droite, c'est-à-dire que les deux points de suspension A et B soient en ligne droite avec le centre de rotation 0; 2* que les deux bras du levier OA et OB soient égaux entne eut ; 3^ que le centre de gravité G du fléau soit sur une droite OG perpendiculaire à AB, et aune distance très-petite OG au-dessous du centre de rotation (/îy. 177).

Appelons P et Q les poids placés dans les plateaux G ^t D, en y comprenant les poids des plateaux, des cordes, et des crochets qui les supportent ; ces forces peuvent être considérées comme appliquées en À et en B. Suppeso&s le fléau horizontal : la droite OG sera vertii^ale ;, le poids J9 du fléau, appliqué au point G, pouvant être transpcMrté en 0, sera détruit par la résistance du plan fixe; si les deux bras du levier, OA et OB, sont égaus entre eux, il y aura équilibre, quand les deux forces parallèles P et Q seront égales. Mais, dans la pratique. « quand il s'agit de pesées délicates, on n'admet pas cette égalité rigoureuse des 4eux bras du levier qu'il est trèsnlifûcile d obtenir ; on applique la méthode des doubler pesées. Oa. met le corps que Ion veut peser dans un des plqiteaux; on lui fait équilibre avec de la grenaille de plomb placée dans Tautre plateau ; on enlève ensuite le corps et on le remplace par des poids gradués, de manière à rétablir Téquilibre. Les poids gradués, étant placés dans les mêmes conditions que le corps, indiquent exactement son poids, quelles que soient les longueurs des bras du levier,

253. Nous avons dit que le centre de gravité G du fléau doit être placé sur une droite OG perpendiculaire à AB , au-dessousetà une très-petitedistance du pointO {figAll)-

nu MI9IBK. '307

Rwir bien fidre compreiMire l'importance d« cette disposition dans la Goastruetion de la balance, ilous supposerons les deux bras du levier, OA et OB, parfaitement égsu% entre eux. Il résulte de ce qui précède que le fléau «st en équilibre dans- la position horizontale AB, lorsque lesr deux forces P et sont égales. Mais on n'arrive pas immédiatement à cette égalité des forées ; il faut, pour que la balance soit bonne, que lefléau ^ s'incline du côté delà plus grande force P, pour arrivei* ^ une posilioD d'équilibre oblique A'B', qui fasse ayecTborizontale un angle d'autant plus graïkl que la diffé* retiee des forces est plus grande, Décomposoas la force P en deux, Tune Q, l'autre P — Q : l^sdeux foroe^Q 6tyant leijr résultante appliquée en et détruite par la résistance du plan fixe, on peut m faire fibitractito ; il reste à considérer' la force P ~(J appliquée en A', et )e poids/? du Qéau appliqué au centre de gravité G'. Ces deux forces tendent à faire tourner le fléau en sens contraires. Appelons S/ la longueur du fléau AB, a h distance OG, 9 l'angle variable AOA'. La perpendiculaire OE, abaissée du centre de rotation sur la force P, a pour Tâleuf /cos 9, et diminue à mesure que Tangle 6 augmente. L^ centre de gravité G' décrit un arc de cercle GG'; la perpendiculaiife OK, abaissée du point sur la forcé p,^ pour valeur aainô et augmente avec l'angle Q, Il résulte de là que , lorsque l'angle S augmente de zéro à 90 degrés, le moment de la force P — Q diminue jusqu'à zéro, tandis que le moment de la force je? augmente à partir de zéro ; il y a donc une position pour laquelle lies deux moments sont égaux et de signes contraires, et

308 UTRE !▼. BB8 IttClIllfES.

alors les foixes se font équilibre sur le levier. Cette posi* lion d'équilibre est donnée par Téquatioft

(P— Q)/cose=/wsine; d'où

Il est aisé de reconnaître que la position d'équilibre que nous venons de déterminer est stable; car si Tangle est plus petit que celui qui convient à l'équilibre, la force P — Q, ayant son moment supérieur à celui de la force p, remporte sur celle-ci, et fait marcher le fléau vers la position d'équilibre Â'B'; si, au contraire, l'angle est plus grand, la force jd^ ayant son moment plus grand que celui de la force P — Q, ramène le fléau à la position d'équilibre A'B'.

L'angle 9, donné par la formule (1), est d'autant pkis grande que la diÉfêre^ce P— <} dés poids est pkis grande. On dit qu^une balance est sensible, lorsqu'elle s^incliïre d*un angle 9 appréciable pour une dîflerence de poids trèspetite. Afin d'augmenter la sensibilité de la balance, on construit te fléau de manière que boû centre dé gravité G soit très-près du point d'appui 0; on voit, en effets que, pour une différence de poids donnée, l'angle serad'tfutant plus grand que la distance OG ou « sera plus petite. On augmente aussi la sensibilité d'une balance eu rendant / très-grand, e'test-à*dire en faitontle fléau très^long ; tnais, pour que le poidsp du fiéatf n'augmente pas dans le même rapport, et afin de lui laisi^r une rigidité suffîêantie, on a soin de révider. : • . •

Tout ce que nous venons de dire suppose que le centre

d^ graTÎté G du fléau est situié au-desaous du point d'appui 0. S'il était placé au-dessus, tes deux ip^oesP—Q et/? tendraient à faire tourner le fléau autour du point dans le même sens, et, si petite que soit la différence des poids, le fléau s'éloignerait de plus en plus de la position bori* zontaleel chavirerait complètement ; on dit que la balance serait /o//e. Il en serait de môme, si le centre de gravité coïncidait avec le point 0.

254.. INous avons supposé jusqu'à, présent les trois points A, Q, B en ligne droite. Voy.pqs ce qui arriverait si ces \xQi\^ points n'étaient pas en ligne droite (/îy. 178 ). Supposons que la droite .AB, dans la position horizontale, passe s^UTdiesspus du point d'Pippui, à une distance 01, que nous désignerons par 6, les deux bras du leyier là Qt 13 étant to^ui- . .

joufis égaux. entre eux. Là position horizontale est €inc(H*e une position d'équilibre, qua»d les dtox forcçs P et Q sont égal^s.Si la force P est plus grande .que la force Q, I^ balance s'inclinera du? côté de la plus grande force, et arrivera à une position d'équilibre oblique A'B' ; mais la sensibilité de la balance sera altérée. En effet, décomposons comme préeéd«mn!i$nt la fo^ ce P en deux. Tune Q, l'autre P— ^Q; les deux farce§ Q ont leur résultante SQ appliquée au point r, milieu de k'^'\ cett^ résultante, dont le n)ûment.est aQfeginô, agit dans le même sens que la force /> appliquée en 6'. Cherchons le moment dte la force P—Q appliquée en A' : son bms de levier est la projection de la droite OA' sur l'horizontale, ou la projeclionn^de la lignabrisée Ol'A', c'estrà-dire ^b sin /Ô+Aîos &\ le

310 LIVRE IV. DK8 MACHIUES.

moment de la force P—Q est donc (P— Q) (/cos 9— isifi^* La position d'équilibre sera donnée par l'équation

(P— Q) (/ cos e— 6 sin 6) —pa sin 6+ 2Q* sin fl ;

d'dù l'on déduit

On voit que Tangle 9, et par suite la sensibilité de la balance, est diminué d'autant plus que le poids que l'on veut évaluer est plus considérable,

Momalne.

255. La balance dite romaine se compose d'un levier dô première espèce, assujetti à tourner autour d'un point fixe (fig, 179 ). Au poiiit B, par le moyen d'un crochet, eèt attaché le fardeau Q que l'on veut peser; on lui feit équîhbre par un poids constant P, que Ton fait glisser le long du bras AC. Appelons b la distance constante OB, c la di^ tance OG du point au centre de gravité G du levier, p le poids du levier. On a Téquation d'équilibre