POULIE

poids de la poulie. Ce poids, que nous désignons par p, est appliqué at centre dé gravité o àe la poulie. Le toomeùt de cette îorce par rapport au ipointo éfaiit ndl, t'équation (7) des moments n'est pas changée ; mais ori à Ri=iP -h Q-+-/>. et l'équation (7) devient

Pr— Qr — (P -h Q+i») p siii ?=o.

d'où

Q4-(Q+/>)^sin9

On en déduit (10)

(^Q-+-iP)^sinç

•2W. Considérons maintenant le cas générai {fig. 190), ^1 négligeant toutefois le poid^ de ng. ,90.

}a potiiie, et supposons toujours que la poulie tourne d'un mouVement uniforme du côté de là puis^ sancé. Sôit ï le point de rencontre des deux cordons prolongés; la ré- *^sùltkntedes deuxforces P et Q passe parle point I; la réaction exercée par l'axe rigide sur la poulie, devant fafre équilibre à ces deux forces, passera aussi par le point 1. Si le frottement était nul, cette réaction, étant normale et par conséquent passant par le centre, serait dirigée suivant la droite ol ; le point de contact serait en a. Mais, quand il y a frottement, la réaction R doit faire

336 LIVRE Vf. DV9 MACHINES.

1 angle <f avec la normale mn, du côté opposé au mouvement, et le point de contact se transporte de a ^en m, Appelons aa Tangle AIB ; la réaction R étant égale et opposée à la résultante des deux forces P et Q, on a

(10) R=KP« + Q»H.aPQco8aa,

Décomposons maintenant la force R en deux forces, Tune* Rcosç dirigée suivant la normale ww, l'autre Rsin xf dirigée suivant la tangente m^• en exprimant que la somme algébrique des moments des forces, par rapport au centre o de la poulie, est nulle, nous retrouverons Téquation

(7) Pr— Qr— Rpsin9=o,

à laquelle nous sommes arri^s précédemment. En divisant par r et remplaçant R par sa valeur, on obtient la relation

(H) p Q — esin(pJ/^P*-hO"+3PQcosîi«,

entre la puissance et la résistance.

Proposons-nous de déterminer la puissance, connaissant la résistance. L'équaUon(ll),par Télévation au carré, donne une équation du second degré

i-|-^sm*9cosaa

P*-^PO — ; +Q*=^o,

I— ^sin*9

dont les deux racines sont réelles et positives ; le produit étant égal à Q', Tune d'elles est plus grande que Q, l'autre plus petite ; on prendra la première. Mais il est plus simple

BouuE. 327

de la calculer approximativement, On a, en vertu de l'équatiofl (11),

(12) P= Q + 1 sin ç |/P'+ Q«+ aPQ cos ia.

Le facteur -sin (pétant très-petit, si l'on néglige d'abord

le second terme, on a la valeur approchée P=Q; si l'on remplace ensuite dans ce terme P par sa valeur approchée Q, on commet une erreur du second ordre, et Ton a une valeur beaucoup plus approchée

(12) P=Q/i4-a-sinçcosaj.

La déterminaj^on du point de contact m revient à la construction du triangle mol, dans lequel on connaît les deux côtés ol et om, et l'angle obtus oml opposé au premier côté.

CHAMTRE VI.

TREUIL

fig,t9t4

266. Du point de vue le plus général, le treuil est un corps solide assujetti ^ tourner autour d'un axe fixe. La condition d'équilibre est que la comme algébrique des moments des forces qui agissent sur le treuil, par rapport à Taxe du treuil, soil nulle (n*^ 188). Quand cette ccùiditioa est remplie, le treuil rçs|e en repps, pu se meut d'un mouvement uniforme (n® 220). ^

Le treuil se compose eu général d'un cylindre en bois {fiff, 191), sur leqviel est eiwulée une corte à laquelle est

, appliquée la résistance Q, par exemple un ppids que Ton. veut soulever. Le cylindre se termine à ses deux extrémités car deux cyliï^di*es en fer d'un raypfl j^us petit, placés sur le proibàgement de l'axe intérieur ; ces deux cylindçeg enfer, qiiie Vo^ nomi^ ta^rfUms,^ reppspa^ ,^t deuxj supports concaves «ppdqs.cpw^î??^/*. 4^ çy^içdie^ en bois porte une roue en bois d'un tsi^y^ H^^^WVB^ grand; en un point A de cette roue» et tangentiellement, est appliquée la puissaueerp. On peut supposer la résistance Q appliquée en B au point où la corde quitte le cyliadre. Si Ton appeHe?' lerayon OAde 4a roue^f^ lerayoB^

TREUIL. 529

CB du cylindre, le moment de la résistance est P X ^, celui de la résistance Q X r\Xê^nf(ûm^ éf équilibre est

Pr=Or' ; d'où

Là puissance est à là résùtatice comme le ràt/on du cy- ItTiareestaumyohjîeHarouéi , - ' '

tie tliéôrëme du travail se vérifie aisénîient. Si Ton appelle'^ Sangle décrit par le treuil, le travail moteur est Pflr, le travail résistant Qftr'; on voit que ces deux travaux sont égaux entre eux.

' 2i67. PrôpOson^nbus d'évaluer les pressions supportées par les deux coussinets. Considérons d'abord le cas où la piiiàsânce est verïicate comme la résistance ; les rayons OD ei CB, qui aboutissent aux points d'application D et B de ces deux forces, sont Horizontaux; ils sont par conséquent parallèles et situés dans un même plan avec raxc. Soit E le point où la droite BB rencontre Taxe; à cause des triangles semblables DOE, BCE, on a