AG AB

la distance GE est le tiers de AG, ou le quart de AE.

163. On peut remarquer que le centre de gravité d’un tétraèdre coïncide avec celui de quatre masses égales placées aux quatre sommets. En effet, nous avons vu déjà que le centre de gravité de trois masses égales placées aux trois sommets du triangle BCD coïncide avec le centre de gravité E de ce triangle. Pour trouver le point d’application de la force simple appliquée en A et de la force triple appliquée en E, il faut diviser la droite AE dans le rapport de 3 à 1, ce qui donne bien le point G, centre de gravité du tétraèdre.

Centre de gravité d’une pyramide.

164. Une pyramide quelconque peut être décomposée en pyramides triangulaires par des plans diagonaux. Divisons l’arête SA (fig. 126) en quatre parties égales, et par le premier point de division A,, à partir de la base, menons un plan parallèle au plan de la base; ce plan coupera la pyramide suivant un polygone A.B.C.D.E,, semblable au polygone de base ABCDE., Le centre de gravité de la pyramide triangulaire SABE est situé sur la droite qui joint

210 LIVRE in. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

le sommet S au centre de gravité de la base ABE, et au quart à partir dé la base ; il coïncide donc avec le centre de gravité G, du triangle semblable A.BJî,. De même, les centres de gravité des pyramides triangulaires SBCE, SGDE coïncident avec les centres de gravité G s , G 3 des triangles B.C.E,. C,D,E ( . Il faut, en ces points G,, G,, G s , appliquer des forces égales aux poids des pyramides triangulaires; mais ces poids sont proportionnels aux volumes et par suite aux surfaces des bases, puisque la hauteur est la même, ou encore aux surfaces des triangles A,B,E,, B ( G,E,, C.D^,. On en conclut que le centre de gravité de la pyramide proposée coïncide avec le centre de gravité G du polygone A^.C^E,.

Soit G’ le centre de gravité du polygone ABCDE. En vertu de la similitude, le centre de gravité G du polygone A,B,C,D,E, est sur la droite SG', au quart à partir de la base. On dira donc, d’une manière générale, que le centre <le tjravité dune pyramide homogène quelconque est situé sur la droite qui joint le sommet au centre de yraoité de la hase , et au quart à partir de la base.

Ce théorème s’étend évidemment à un cône.

Il est facile maintenant de trouver le centre de gravité d’un solide homogène quelconque. On décomposera le solide eu pyramides; on déterminera le centre de gravité de chacune d’elles, et on y supposera appliquée une force égale au poids de la pyramide. Il suffira ensuite de trouver le point d’application de la résultante d’autant dê forces parallèles qu’il y a de pyramides.

Centre de gravité d'un trône de pyramido.

165. Si l’on coupe une pyramide per un plan parallèle à la hase, ou obtient un tronc de pyramide (fig. 127).

CENTRES DE GRAVITÉ

La droite qui joint le sommet S au centre de gravité G 7 de la base supérieure, passe par le centra de gravité G ' 7 de la base supérieure. Le centre de gravité G, de la pyramide totale est situé sur cette droite, ainsi que le centre de gravité G, de la pyramide supérieure ; le poids de la pyramide totale étant la résultante du poids de la pyramide supérieure et du poids du tronc de pyramide, le centre de gravité G du tronc devra être situé sur la droite G,G„ ou G 'G 7 . On voit par là que le centre de gravité G du tronc de pyramide esL situé sur la droite G'G" qui joint les centres de gravité des deux bases parallèles.

Pour déterminer dans quel rapport le point G divise la droite CG', nous appliquerons le théorème des moments des forces parallèles. Appelons S la surface de la base supérieure, S' celle de la base intérieure, x et y les distances du centre de gravité Gaux deux bases; nous désignerons, en outre, par H la hauteur de la pyramide totale, et par H' celle de la pyramide supérieure. Les volumes des deux pyramides étant proportionnels à H 3 et H' 3 , et les poids étant proportionnels aux volumes, on peut représenter les poids des deux pyramides par H 3 et H *. Prenons les momen ts par rapport au plan de la base, et écrivons que le moment du poids de la pyramide totale appliqué en G, est égal à la somme des moments du poids du tronc et du poids de la pyramide supérieure appliqués en G et G„ nous aurons .

212 LIVRE III. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES, d’où

(1) 4 (H 5 — H> = H 4 -4HH' , -t-3H' k .

Prenons maintenant les moments par rapport au plan de la base supérieure ; les deux points d’application G et G, sont situés d’un côté de ce plan, le point G, de l’autre côté ; pour appliquer le théorème, nous regarderons les distances des deux premiers points au plan comme positives, celle du troisième point comme négative, ce qui nous donnera l’équation

d’où

Le second membre de l’équation (1) est divisible une première fois par H — H', et l’on a

IP— 4 HH' * -f- 3 H' ‘ = (H — H' ) (H 5 -+- H ! H'-+- HH " — 3 H' s ) ;

le quotient étant divisible une seconde fois par H— H', il vient