H*— 4I1H 311'*= (H H')* (H*+ 2 HH'+ 3 H

Si l’on remarque que le second membre de l’équation (2) se déduit du prertiier membre de l’équation (1) par la permutation des lettres H et H', on écrira de suite

H"— 4 H'H*4- 5 H 4 = (H'— H)’ (H rt + 2 H 'H+ 3H ! ).

Les deux équations (1) et (2) deviennent ainsi

4 (H 5 - H ”) x = (H - H (H* + 2 HH '+ 3H ”) ,

4 (H* — Il rj )y = (H — II') , (H'*-t-2HH'+5H 4 ).

On en déduit

CENTliKS DE GIIAVITÉ.

x H’+xHH'-t- 3H” y H'*+ a HH'-h 3 H 5 ’

Les surfaces S et S' des bases étant proportionnelles à H’ et à H”, et par suite les longueurs H et H' étant proportionnelles à /S et à /S', la formule précédente s’écrira

. .. x S -H iV SS' +3 S'

' S'4-al/SS ; -h3S‘

On déterminera, par exemple, le centre de gravité d’un tronc de cône à base circulaire, à l’aide de la formule

x r'-h irr’+ 3;' 1 y r^+arr’-t- 3r*’

dans laquelle r et r' désignent les rayons des bases.

Centre de parité d’une sono.

Fig. 128 .

166. Considérons la zone engendrée par l’arc AB tournant autour du diamètre OD (fig. 128). La portion CD du diamètre comprise entre les plans des circonférences décrites par les extrémités de l’arc AB est la hauteur*de la zone. Si par le diamètre OD on mène deux plans quelconques , ces plans étant des plans de symétrie, le centre de gravité de la zone sera situé dans chacun d’eux , et par conséquent sur le diamètre OD, qui est leur intersection. 11 tombe, en outre, entre les points C et D ; car il est évident que, lorsqu’un corps est placé tout entier d’un même côté d’un

rte

plan , son centre de gravité est placé aussi de ce côté du plan ; la zone étant comprise entre les deux plans CA, DB, sod centre de gravité sera compris entre les points C et D. Je dis qu'il est au milieu de la droite CD. En effet, divisons la droite CD en un certain nombre de parties égales, et par les points de division E, E\ E r ,... menons des plans perpendiculaires à CD, ces plans diviseront la zone en un même nombre de parties égales. Le centre de gravité de la zone engendrée par l’arc AF est situé sur la droite CE, entre les points C et E ; de même, le ceutre de gravité de la zone FF' est en un point de la droite EE', et aiusi de suite.

11 faut regarder les poids des zones partielles comme des forces égales appliquées, une à chaque division de la droite CD. Il est clair que, si l’on déplace tous les points d'application sur la droite CD, dans un même sens, on déplacera aussi le point d’application de la résultante dans le même sens. Amenons en C le point d’application qui est entre C et E, en E celui qui est entre E et E', en E' celui qui est entre E' et E", et enfin en E" celui qui est entre E" et D: après ce déplacement, le point d’application de la résultante sera en i, au milieu de la droite CE"; il en résulte que le centre de gravité cherché est à droite du point i. Amenons de même eu*E le point d’application qui est entre C et E, en E' celui qui est entre E et E', en E’ celui qui est entre E' et E", et enfin en D celui qui est entre E" et D ; après ce second déplacement, le point d’application sera en i', au milieu de la droite DE; il en résulte que le centre de gravité est à gauche du point i \ Le centre de gravité est donc entre les deux points i et i', qui sont situés de part et d’autre du milieu de la droite CD et dont la distance »' est égale à une division. Si main-

cumuls de üUAvrrÉ.

tenant l’on augmente indéfiniment le nombre des divisions, l’intervalle ii' se resserrant de plus en plus, on en conclut que le centre de la zone coïncide, avec le milieu de sa hauteur CD.

Par exemple, le centre de gravité de la surface d’un hémisphère est au milieu du rayon.

Centre de gravité d’un secteur sphérique.

167. Comme dernier exemple, cherchons le centre de gravité du volume engendré par le secteur AOC tournant autour d’un diamètre OC ( fig . 129); il est évident d’abord que le diamètre OC , étant un axe de symétrie , ou l’intersection de deux plans de symétrie, contient le centre degravité. Du point O comme centre, avec un rayon égal aux trois quarts du rayon OA, décrivons une sphère; le cône AOB détachera sur celte sphère une zone A ( C f B,. Décomposons la zone ACB en un grand nombre de parties équivalentes; les surfaces coniques, ayant pour sommet le centre O de la sphère et pour bases ces portions équivalentes delà zone, diviseront aussi la zone A,C,B, eu parties équivalentes, et décomposeront le secteur sphérique en petits vol urnes équivalents.

Afin de préciser le raisonnement, nous désignerons par « l’un des éléments de la zone ACB, par a, l’élément correspondant de la zone A,C,B, et par v le petit volume qui a pour base a. Menons un plan tangent en un point de la petite surface a, et sur le contour de cette surface prenons trois points tels, que le plan passant par ces trois points

Fig. 129.

216 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

laisse toute la surface a à l’extérieur; si l’on remplace la surface a par le premier plan, on augmente le volume v et on éloigne son centre de gravité du centre de la sphère; si on la remplace, au contraire, par le second plan, on diminue le volume v et on rapproche son centre de gravité du centre de la sphère; on a ainsi deux petits cônes à base plane comprenant le volume v ; les centres de gravité de ces deux cônes sont situés très-près de la surface a,, l’un à l'extérieur, l’autre à l’intérieur. Et quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la zone ACB, les centres de gravité des deux cônes tendent vers un meme point limite situé sur la zone A,C,B,. En concentrant la masse de chacun des volumes v en son centre de gravité, on a autant de molécules égales distribuées uniformément sur la surface de la zone A,C,B, ; on en conclut que le centre de gravité du secteur sphérique coïncide avec celui de la zoDe A,C,B,, et par conséquent est situé au milieu de la hauteur C,D, de la zone.

Théorème* de Gnldin.

Fig. 130.

168. Proposons-nous d’évaluer la surface décrite par une ligue plane AB tournant autour d'une droite X'X située dans son plan (fig. 130). Inscrivons une ligne brisée dans la ligne courbe. Soit MN l’un des éléments de la ligne brisée; la droite MN engendre la surface latérale d’un tronc de cône; cette surface a pour mesure la circonférence engendrée par le milieu 1 de MN, multipliée par le côté MN du tronc.

CEWTRES DE GRAVITÉ. 2i7

La surface engendrée par la ligne brisée a donc pour expression

ait I (MNx ÏK),

le signe S s'étendant à tous les éléments de la ligne brisée. Imaginons que la courbe AB et la ligne brisée soient des lignes matérielles homogènes, dont le poids de l’unité de longueur est égal à l’unité ; désignons par l et /, les longueurs de ces lignes, et par y et y, les distances de leurs centres de gravité à l’axe X'X. Le centre de gravité de la droite MN coïncidant avec son milieu I, le produit MN xIKest le moment de cette droite par rapport à l’axe X’X; la somme des moments des divers éléments étant égale au moment du poids total de cette ligne appliquée en son centre de gravité , on a

ï (MN X IK) = / 1 y l ,

et par suite la surface engendrée par la ligne brisée a pour expression ait l t y, ou /, X ait y t . Concevons maintenant que l’ou augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée, de manière que chacun d’eux tende vers zéro, l’expression précédente aura pour limite l X air y. Ainsi, la surface engendrée par une ligne plane tournant autour et un axe situé dans son plan est égale à la longueur de cette ligne multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Comme application, cherchons la surface du tore engendré par un cercle de rayon r tournant autour d’un axe situé dans son plan, à une distance a du centre du cercle plus grande que le rayon. D’après le théorème précédent, la surface de ce solide a pour mesure la circonfé-

218 LIVRE in. ÉQUILIBRE ET MOIIVEMBNT DES SYSTÈMES.

rence airr du cercle mobile, multipliée par la circonférence aira décrite par son centre, c’est-à-dire 4 irVn\

109. Proposons-nous maintenant d évaluer le volume engendré par une aire plane tournant autour d'un axe X'X situé dans son plan [fUj . 131). L’aire plane est comprise Fig- •»». entre deux ordonnées AB et CD

perpendiculaires à l’axe; divisons la [droite BD en un certain nombre de parties égales, et par les points de division menons des ordonnées perpendiculaires. Par les points M et N, où l’une des ordonnées rencontre le contour de l’aire, menons des droites MM', NN\ jusqu’à l’ordonnée suivante ; le volume engendré par le rectangle MNN'M', étant égal à la différence des cylindres engendrés par les deux rectangles MPP'.M', NPP'N', a |iour mesure

ou

ir( MP — NP ) X PP', ir(MP-NP) (MP + NP)XPP'.

La distance 1K. du centre de gravité 1 du rectangle