MP - 4 - NP

MNN'M' à l’axe X'X est égale à — - . la quantité

précédente devient donc

airMN.IK.PP',

ou air MNN'M- 'X 1K.

4 ’J<rt Oi l.W; (M)t * <5cfr#rl lli WW W

et le volume engendré par la somme des rectangles a pour expression

airS(MNN'M'XlK).

OESTRES DE GRAVITÉ.

Appelons S l’aire plane proposée, y la distance de son cenfre de gravité à l’axe, S, la somme des rectangles, y, la distance du centre de gravité de cette somme à l’axe, on a, d’après le théorème des moments,

S,y, = ï(MNN'M'XlK),

et le volume engendré par la somme des rectangles a pour mesure arc S,y ( ou S, X airy,. Si l’on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite BD, la somme S, des rectangles a pour limite l’aire proposée S, et le volume engendré a pour limite S X a ny. Ainsi, le volume enyendrè par une aire plane tournant autour (T un are situé dans son plan est égal à Caire multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Le volume du tore a pour mesure nr* X ait a ou ait Va.

Centre de gravité de* manei fluides.

170. Nous avons défini le centre de gravité d’un corps solide : c’est le point d’application de la résultante des poids des divers points matériels qui composent le corps; afin de trouver cette résultante, il est nécessaire de supposer les points matériels liés invariablement les uns aux autres, c’est-à-dire le corps solide ; le centre de gravité est un point parfaitement déterminé du corps Solide et indépendant de la position du corps. Considérons maintenant une masse fluide, liquide ou gazeuse ; concevons la masse solidifiée dans la forme quelle occupe à un certain moment et cherchons le centre de gravité du corps solide ainsi obtenu, nous aurons ce qu’on peut appeler le centre de gravité de la masse fluide à ce moment. Si la masse fluide change de forme, le centre de gravité se déplace luimême à l’intérieur.

Travail de U pesanteur.

171. Proposons-nous d’évaluer le travail de la pesanteur, quand un corps vient d’une position A à une position A' (fig. 132). Appelons p le poids d’une molécule quelconque m, z sa distance à un plan horizontal fixe MN, P le poids total du corps, et Z la distance de son centre de gravité à ce plan. En appliquant le théorème des moments des forces parallèles, nous aurons

(1) PZ = 'Lps,

le signe 2 s étendant à toutes les molécules du corps. Après le déplacement du corps, la molécule m vient en m'; soit G' le centre de gravité du corps dans sa nouvelle position ; appelons z’ la distance du point m 1 au plan MN, V celle du centre de gravité G', nous aurons de même

(2) PZ'=2/>z'.

Si l’on retranche, membre à membre, l’équation (2) de l’équation (1), en ôtant de chaque produit pz le produit pz’ qui correspond à la même molécule, il vient

(3) P (Z — Z ')=Ip(z-z').

La longueur z — s'étant l’abaissement de la molécule m, le produit p (z — s') est le travail du poids de cette molécule: le second membre est la somme des travaux des poids de toutes les molécules; c’est le travail total développé par la pesanteur. On voit donc que, dans le déplacement

Fig. 132.

CENTRES DE GRAVITÉ

<F un corps quelconque, lu somme des travaux dus aux poids des différentes molécules qui composent le corps est égale au poids total multiplié par le déplacement vertical du centre de gravité.

Le travail total est positif ou négatif, suivant que le centre de gravité s’abaisse ou s’élève; certaines molécules peuvent s’abaisser, d’autres s’élever; le travail de la pesanteur est positif pour les premières, négatif pour les dernières. Lorsque le centre de gravité reste dans le même plan horizontal, le travail total est nul ; il y a. en quelque sorte, compensation entre les travaux positifs et les travaux négatifs des diverses molécules.