CHAPITRE III

172. Dans le premier chapitre de ce livre, nous nous sommes occupés de la com position des forces concourantes et des forces parallèles; nous nous occuperons maintenant de la composition d'un système quelconque de forces appliquées à un corps solide et des conditions d'équilibre. Mais auparavant nous établirons quelques principes qui nous seront utiles.

Nous dirons qu’un corps solide ést libre, lorsqu’on peut le déplacer d’une manière quelconque dans l’espace. Il est évident que, si une seule force agit sur un corps solide libre en repos, elle le fera mouvoir d’une certaine manière.

Lorsqu’on fixe un point O d’un corps solide (fig. 135), le corps ne peut que tourner autour de ce point. Supposons qu'une seule force F agisse sur le corps en repos.

Si la droite suivant laquelle agit la force passe par le point O, on pourra transporter la force au point O ; alors elle sera détruite par la résistance du point fixe, et le corps restera en repos. Mais, si la direction de la force ne passe pas par le point 0, la force fera tourner le corps autour de ce point d’une certaine manière.

Lorsqu’on fixe deux points 0 et 0' d’un corps solide (fig. 134), on fixe par là même la droite 00', et le corps ne peut que tourner autour de cette droite, dans un sens ou dans l’autre. Supposons qu’une seule force F agisse sur

Kig. 133.

le corps en repos. Si la direction de la force rencontre l’axe en un point 1, la force, transportée au point I, sera détruite par la résistance de ce point fixe, et le corps restera en repos. Si la force F est parallèle à l’ax e 00 ' , com me i I n ’ y a pas de raison pour que le corps tourne dans un sens plutôt que dans l’autre, le corps restera encore eu repos ; la force teud simplement à faire glisser le corps le long de l’axe, mouvement qui est empêché par la résistance de Faxe. Dans les deux cas précédents, la force est dans un même plan avec l’axe; mais, si la force F n’est pas dans un même plan avec l’axe, c’est-à-dire n’est pas située dans le plan mené par sou point d’application A et l’axe 00', il est clair qu’elle fera tourner le corps autour de l’axe, du côté vers lequel elle est dirigée.

175. Cherchons les conditions d'équilibrcde deux forces F et F' appliquées en deux points A et D d'un corps solide (/iif. 135). Nous supposerons le corps en repos; dire que les forces se fout équilibre, c’est dire que le corps restera en repos. Le corps étant en repos, si l’on lixe un ou plusieurs de ses points, il est clair que le repos ne sera pas troublé et que, par conséquent, l’équilibre subsistera. Fixons le point A, la force F sera détruite par la résistance de ce point lixe ; nous avons maintenant un corps solide ayant un point lixe A et sollicité par une seule force F'; d’après ce que nous avons dit, pour que le corps reste en repos, il est nécessaire que cette force F' passe par

Fig. 135.

Fig. 134.

le point A. Les deux forces F et F', étant appliquées au même point A, ont une résultante R ; si l’on rend de nouveau le corps libre, cette force unique R, qui remplace les deux forces proposées, fera mouvoir le corps et il n’y aura pas équilibre. Il est donc nécessaire, pour l’équilibre, que cette résultante soit nulle, c’est-à-dire que les deux forces F et F' soient égales et opposées. Ainsi, pour que deux forces se fassent équilibre sur un corps solide libre, il faut que ces deux forces soient égales et opposées.

174. Cherchons maintenant les conditions d’équilibre de trois forces F, F', F" appliquées en trois points A, B, C d’un corps solide libre ( fig . 136). Le corps étant supfig. im. posé en repos , il restera en repos.

L’équilibre ne sera pas troublé, si l’on fixe deux points quelconques du corps. Fixons le point C et un • point quelconque D de la droite F'; la force F" est détruite par la résistance du point fixe C ; de même, la force F', que l’on peut supposer appliquée en D, est détruite par la résistance de ce point. Nous avons actuellement un corps ayant un axe fixe CD, et sollicité par la seule force F; pour l’équilibre, comme nous l’avons vu, il est nécessaire que la force F rencontre l’axe CD en un point E, ou lui soit parallèle. En fixant le point C et un autre point D ' de la droite F, nous verrons de même que la force F rencontre la droite CD' en un point E' ou lui est parallèle. Ainsi, la force F rencontre les deux droites CD, CD', ou bien rencontre l’une et est parallèle à l’autre. On en conclut que cette force est située dans le plan CDD’, et par conséquent que les deux forces F et F sont

Fi*. 137.

dans' un même plan, passant par le point d’application C delà troisième force F'. Mais comme ce point C est un point quelconque de la droite F"., il en résulte que les trois forces sofit dans un même [dan. Ainsi, «ne première condition pour (rue trois forces se fussent équilibre sur un corps solide libre, c’est que les trois forces soient situées, dmis un infinie plcni.

Si lès trois forces situées dans le même plan ne sont pas pîirallèlés.'deux au moins, par exemple F et F' (fuj. 157)*, se coupent en uii point O et admettent une résultante H appliquéé au point 0. Pour l’équilibre, la force F" doit être égale et opposée, à cette résultante R; elle passera donc aussi par le point 0, et Ton est ramené au cas de trois forces appliquées à un même point matériel 0 (n° 05).

Si les trois forces sont parallèles, deux au moins,, par exemple F et F', seront de .même sens et admettront une résuTtanté'égaléa leur somme; la troisième force F' doit être égale et opposée à cette résultante.

. ait ,

wx iio'Si

Fig. I3S.

175. On démontre par dès considérations analogues que, iorsque quatre forces F, F , F", F ' (/>//. 158), appliquées à un corps solide, se font équilibre, ces quatre forces sont situées sur une surface 'réglée du second ordre. Menons une droite MN qui rencontre les trois premières forces, et fixons cette droite. Les trois premières forces étant détruites par la résistance de fa droite, il faut, pour l’équi-

Eig. i3».

libre, que la force F"' rencontre Taxe en im point E ou lui soit parallèle. Si l'on fait glisser la droite MN sur les trois forces F, F', F", cette droite engendre une surface (lu second ordre; Ja force F", rencontrant la droite mobile dans chacune de ses positions, est située sur la mémo surface. La surface du second ordre est, en général, un hyperbolonbï à une nappe; les quatre forces F. F', F”, F 7 appartiennent à un même système de génératrices. Si les trois premières forces sont parallèles à un même plan, la surface est unparaboloïde hyperbolique, cl la quatrièmoforce est aussi parallèle à ce même plan.

176. On déduit de ce qui précède plusieurs conséquences importantes. Et d'abord, deux forces F et F (fig. 139),

appliquées à un corps solide libre et non situées dans le même plan, n’admettent pas de résultante unique ; car, si les deux forces F et F' admettaient une résultante II, elles seraient tenues en équilibre par la forco — R égale et opposée à R, ce qui est impossiblo, puisque 1^ deux forces F et F' ue sont pas dans un même ' plan (n 4 174).

177. Deux forces F et — F 1 , égales, parallèles et de sens iig. Mo. contraires, mais non opposées, n'ad-

metteut pas non plus de résultante “ r unique. En effet, si les deux forées ( F et — F étaient tenues en équilibre par une force —R (fig. 140), ces trois forces seraient situées dans un même plan. Supposons que la force — R ne

soit pas parallèle aux deux autres forces, les' deux forces F et — R se coupant en D, admettent une résultante S qui fait un .certain angle avec la force F. Celte résultante S rencontre la. force — F eu un point E, et donne avec elle une résultante S’ .qui n'est pas nulle; donc il n’y a pas équilibre. Supposons maintenant que la force — R suit parallèle aux forces proposées; combinée avec la force parallèle de même sens, par exemple avec — F, elle donnera une résultante égale à — (R 4- F) ; cette résultante, combinée avec la force parallèle F, de sens contraire, mais différente, donnera une résultante — R qui n’est pas nulle; il n’y aurait donc pas équilibre. Ainsi, deux forces égales, parallèles et de sens contraires, mais non directe ment opposées, ne peuvent être tenues en équilibre par une seule force; en d’autres termes, elles n’admettent pas de résultante unique. On a appelé couple l’ensemble .de ces deux forces (n° 139).

Composition d’un système quelconque de forces.

178. Après avoir établi ces préliminaires, considérons un système quelconque de forces F, F', F", F'", ...appliquées en différents points A, R, C, D, ... d’un corps Solide 141). Nous ferons voir que l’on peut réduire ces forces, d’abord à trois, puis deux.

Prenons dans le corps trois points arbitraires, non en ligne droite, 0, 0,, 0 2 , que nous joindrons à chacun des points A, B, C, ... par des lignes droites. Décomposons la

Fij. 141.

force F en trois forces, dirigées respectivement suivant les droites OA, 0,A, 0 S A. Il suffit pour cela de construire un parallélépipède ayant la force F pour diagonale et ses arêtes dans les directions indiquées; puis, déplaçant le point d’application de chaque force sur sa direction, transportons ces composantes, la première au point 0, la deuxième au point 0,, la troisième au point O,. Décomposons de même la force F' en trois forces, dirigées suivant les droites OB, 0,B; 0 a B. et transportons ces forces en 0, 0,,0 t , et ainsi de suite. Nous obtiendrons ainsi trois faisceaux de forces appliquées, les premières au point 0, les deuxièmes en 0,, les troisièmes en 0,. Les • forces appliquées en O ont une résultante B |t les forces appliquées en 0, ont une résultante B,, et de même les forces appliquées en 0 4 ‘ont une résultante R.. Le système des forces proposées est ainsi remplacé par le système des tf-ois forces R,, R t , R s , appliquées en trois points arbitraires 0. 0,, 0, du corps solide.

Nous avons décomposé la force F en trois forces, dirigées suivant les droites OA, 0,A, 0 9 A ; cette décomposition est possible toutes les fois que le point A n’est pas situé dans le plan des trois points O, 0,, 0 4 ; car alors les trois droites forment un trièdre, et l’on peut construire le parallélipi- (iéde dont la diagonale est F. Si le point A était situé dans le plan ‘00,0,, sans que la force F y fût elle-même, on déplacerait le point d’application de la force F sur sa direction, de manière à l’amorier hors du plan. Si la force F était située dans le plan, on la décomposerait en deux forces dirigées suivant les droites OA, 0,A, à l’aide d’uu parai-.,, lélogrammc.

1 79. Nous avons remplacé- les forces proposées par trois

forces R,, R s , R 3 , appliquées en trois points arbitraires O, O,, O,. Voyons maintenant comment on réduit ces trois forces à deux. Soit (JL (//'</. 142) la droite d'intersection du plan mené par le point O et la force R„ et du plan mené par le point O et la force R 3 . Prenons un point O’ arbitrairement sur cette droite. La force R a , située dans le premier plan, peut être décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites 00,,0'0,, à l’aide d’un parallélogramme ; nous transporteronsces deux composantes, l’une au point O, l’autre au point O'. De même, la force Rj, située dans le second plan, peut être décomposée en deux forces, dirigées suivant les droites O0 a ,O'O a , et nous transporterons ces deux composante^ l’une en O, l’autre en O’. Nous avons maintenant trois forces appliquées au point O, et deux appliquées en 0’; les trois premières ont une résultante R, les deux autres une résultante R'. De cette manière, le système des trois forces R„ R,, R„, et par conséquent le système des forces proposées, est remplacé par le système des deux forces R, R'. Si les deux forces R a , R. étaient situées dans un même plan avec le point 0, on mènerait par le point 0 une droite quelconque OL dans ce plan.

{ 180. Il y a une iulïnité de manières de réduire le système des forces proposées à deux résultantes. Nous remarquons d’abord que, sans déplacer les points d’application O et 0' des deux résultantes, on peut faire varier ces deux résultan tes. Concevons, en effet, que l’on appliqueaux deux

extrémités de la droite 00' (flj. 143) deux forces égales et Ki g . MJ . opposées f et — f ; les deux forces R

- . et /, appliquées eu 0, donnent une

f -> s ' résultante S; les deux forces R’ et

/ ' /'« — f, appliquées en 0’, donnent une

résultante S'; le système des deux forces R. R' est ainsi remplace par R le système équivalent des deux

s forces S, S'. La résultante S' est

située dans un plan déterminé, le plan mené par le point 0 et la force IV.

Le point d’application 0 de la première résultante est un point arbitraire du corps solide; laissantee pointO fixe, on peuL déplacer le point 0’ à volonté sur la droite O S', et par conséquent dans le plan OO'R'.

181. En général, les deux résultantes R et R', auxquelles ou ramène fautes les forces proposées, ne sont pas situées dans un même plan; dans ce cas, comme nous l’avons vu n° 176, ces deux forces n’admettent pas de résultante unique ; en d’autres termes, il est impossible de tenir en équilibre, avec une seule force, ces deux résultantes ou le système des forces proposées. Ainsi, de quelque manière qu’on s’y prenne pour opérer la réduction des forces, on n’arrivera jamais à une résultante unique, rig. in. Examinons le cas où les deux résultantes .

R et R', auxquelles on ramène les forces proposées, sont situées dans un même

plan. Si ces deux forces ne sont pas parallèles, elles se rencontrent en un point 1

(fig. 144), et donnent une résultante unique

S appliquée au point I.

Si les deux résultantes sont parallèles, sans être égales et île sens contraires, elles admettent aussi une résultante unique. Lorsque les deux résultantes sont parallèles, égales et de sens contraires, elles n'admettent pas de résultante unique et elles forment un couple. Enfin, quand les deux résultantes surit égales et directement opposées, elles se font équilibre.

Telles sont les diverses circonstances qui se présentent dans la composition des forces appliquées à un corps solide.

Conditions d'équilibre d'un corps solide-

182. A l'aide de ce qui précède, il nous est facile de trouver les conditions d'équilibre d'un système de forces appliquées à uu corps solide.

Supposons d’abord le corps solide libre dans l’espace. $i Con ramène les forces proposées à deux résultantes , comme uous l’avons expliqué, la condition nécessaire et suffisante pour que les forces proposées se fussent équi- . libre sur le corps solide libre , c’est que les deux résu/-, tantes soient éyales et opposées (n° 175).

Supposons maintenant le corps solide assujetti à tourner autour d’un point fixe. Si l'on prend ce point lixe pour point d'application de l’une des résultantes H, cette force R étant détruite par la résistance du point fixe, il est nécessaire et il suffit, pour l'équilibre, que l'autre résultante R' passe aussi par ce point (u° 172). Les deux résultantes étant appliquées au point fixe admettent une résultante unique passant en ce point. Ainsi, la condition nécessaire et * suffisante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps solide ayant un point fixe, c’est, que ces forces se réduisent à une. résultante unique passant en ce point. Celte

résultante unique est la pression que supporte le point fixe.

Enfin, lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, on peut prendre un point de l’axe pour point d’application de l’une des résultantes. Cette première résultante étant détruite par la résultante du point fixe, il est nécessaire et il suffit pour l’équilibre que l’autre résultante soit située dans un même plan avec l'axe (n° 172). Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps ayant un tue fixe, c’est qu’elles se réduisent à deux résultantes, /’ une appliquée en un point de l’axe, l’autre située dans un même plan avec l axe.

Moment d’une force per rapport à un axa.

183. Les conditions d’équilibre, que nous venons de donner, nécessitent la détermination des deux résultantes; on pourrait y arriver par une construction synthétique ; mais, en général, il est plus commode de traduire ces constructions géométriques par des équations analyti- • ques. Quelques notions nouvelles nous sont nécessaires pour cela.

Lorsque plusieurs forces sont situées dans un même plan, on appelle moment de chacune des forces par rapport à un point du plan le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée du point sur la force. Ainsi, le moment de la force F par rapport au point 0 est le produit de cette force par la perpendiculaire OD abaissée du point 0 sur la direction de la force {/iy. 145). Le moment est égal au double de faire du triangle OMA, lequel a poursommet le point 0 et pour base la droite MA qui représente la force. Si l’on prend OjM pour base, le double de

l'aire île ce triangle a aussi pour me- fi*, ms. sure le produit de la base OM par la v hauteur du triangle, qui est égale à la "'••• projection MA' de la droite MA sur une droite MX perpendiculaire à OM. Ainsi, on peut dire que le moment de la force /

Fappliquéeen M, par rapport au point O, est le produit de la distance OM par la projection MA' de la force sur uno droite perpendi culaire à OM.

Lorsque plusieurs forces appliquées au point M sont situées dans le même plan, il convient de donner, des signes aux moments. Si I on regarde le point O comme un poiuj, lixe, chacune des forces tendra à faire tourner le plan autour du point O dans un sens ou dans l’autre. Menons par le point M une droite X'X perpendiculaire a OM et projetons les forces sur cette droite, il est clair que les forces qui se projettent dans la direction M X font tourner dans un seus, et que celles qui se projettent dans la direction MX' font tourner en sens contraire. Si l’on regarde les premières projections comme positives, les autres comme négatives, on conviendra de donner au moment de chaque force le signe de sa projection. D’après cela, le moment dt; chaque force est égal, en grandeur et en signe, au produit de sa projection par la distance OM.

•184. Gela posé, considérons deux forces F et F' appliquées à un même point matériel M (/if/. 140) ; leur résultante H est représentée par la diagonale MG du parallélogramme construit sur les longueurs MA et MB qui représentent les deux forces proposées. Le moment de chacune de ces forces par rapport à un .point quelconque 0,

254 LIVRE III. ÉQUILIBRE ET MOUVEMEÎiT UES SYSTÈMES,

Fig. us. pris dans le plan du parallélogramme, N \^ est ég al, comme nous l’avons vu, au pro-

duit de la projection de la force sur la -’oite X'X perpendiculaire à OM parla x distance OM. Mais ou sait que la projection de la résultante R est égale à la somme algébrique des projections «les «leux forces F et F' ; on en conclut que le moment de h résultante est égal à la somme algébrique des moments des deux composantes.

Lorstjue le point 0 est situé sur la résultante, la résultante ayant son moment nul, les moments des deux forces F et F' sont égaux et de signes contraires.

185. On appelle moment d’une force par rapport à une droite ou axe quelconque le produit «le la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l’axe par la plus courte distance entre la force et l’axe. Soit F une force appliquée au point M; OZ. un axe quelconque (fig. 147) : Fig. «47. par le point M menons un plan P

f perpendiculaire à l’axe; projetons la force F sur le plan P, et du point O, où le plan P coupe l’axe, abaissons une perpendiculaire 00 sur la force F, , projection «le la force F ; celte droite OC est égale et parallèle à la perpendiculaire commune AB entre la force F et l’axe OZ, et mesure la plus courte distance de ces deux droites. Le moment de la force F par rapporta l’axe OZ est le produit de sa projection F, sur le plau P par la plus courte distance OC ; on voit que le moment est le mèmeque celui delà projection F, par rapport au poiutO.

COMPOSITION DES FORCES APPLIQUÉES A DS CORPS SOUDE. 2”l5

Il convient de donner un signe mi moment, imaginons que l’axe OZ et le point d'application M de la force 'fassent partie d'un corps solide assujetti à tourner autour de l’axe: ou regardera comme positives les forces qui tendent à faire tourner le corps dans un sens; comme négatives, celles qui tendent à le faire tourner en sens contraire. Si l’on décompose la force F en deux forces, l’une F, perpendiculaire à 1 axe, l’autre F„ parallèle à l'axe, celte dernière teudau U simplement à faire glisser le corps le long de l’axe, et étant détruite par la résistance de l’axe, on n’aura à tenir compte que de la force F, ; ainsi la force F produit la même rotation autour de l’axe OZ que §a projection F, sur un plan perpendiculaire. D’après cela, nous pourrons affecter les moments des forces autour de l’axe OZ des mêmes signes que les moments de leurs projections par rapport au point O.

Nous remarquons que le moment de la force F par rapport à l’axe OZ ne peut être nul que de deux manières, soit que la projection F, soit nulle, ce qui a lieu quand la force est parallèle à l'axe, soit que la plus courte distance- soit nulle, cc’qui a lieu quand la force rencontre l’axe; en un mot, le moment d’une force par rapporta un axe est nul, quand lu force est dans un même plan avec l’axe.

186. Considérons deux forces F et F' agissant sor un point matériel M, et appelons R leur résultante. La projection R, de la résultante sur Je plan P perpendiculaire à l’axe OZ est la résultante des projections F, et F', des deux forces proposées. .Mais nous avons démontré (u° 184) que, dans le plan P, et par rapport au point 0, le moment de la résultante R, est égal à la somme algébrique des mo-.

ments des deux forces F, et F',; on en conclut que, par rapport à l’axe OZ, le moment de la résultante R est égal à la somme algébrique des moments des deux forces proposées F et F'.

Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel, et nous dirons que le moment de la résultante, par rapport à un axe quelconque, est éqal à la somme alqébrique des moments des composantes.

187. Considérons maintenant un système de forces F, F', F", ... appliquées en différents points d’un corps solide. Nous avons expliqué (n° 178) comment on ramène- d’abord toutes ces forces à trois résultantes R,, R,, R Jf appliquées en trois points arbitraires O, 0,, 0, du corps. Pour cela, nous avons décomposé la force F, appliquée en A, en trois forces dirigées suivant les droites OA, (^A.O^A. Nous remarquons que la projection de la force F sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections de ses trois composantes, et que le moment de cette force, par rapport au même axe, est égal à la somme algébrique des moments de ses trois composantes. Nous avons transporté ces composantes sur leurs directions, l’une en 0, l’autre. en 0,, la troisième en 0„; il est clair que, quand on déplace le point d’application d’une force sur sa direction, sa projection, ou son moment par rapport à un axe quelconque, ne changent pas. Nous avons ensuite cherché la résultante R, des forces appliquées en 0, la résultante R, des forces appliquées en 0,, et la résultante R, des forces appliquées eu O s ; la projection de chacune de ces résultantes sur un axe quelconque est égale à la somme des projections de ses composantes, et de même

le moment de chacune de ces résultantes, par rapport au même axe, est égal à somme des moments de ses composantes. Il résulte de là, 1° que la somme des projections des trois résultantes R,, R a , R s sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces proposées ;

2° que la somme des moments des trois résultantes, par rapport au même axe, est égale à la somme des moments des lorces proposées.

Nous avons ramené ensuite (n" 179) les trois forces R,, R a , R. à deux résultantes R, R'. Pour cela, nous avons décomposé chacune des forces R a et R, en deux composantes, dans le plan passant par cette force et le point O, déplacé ces deux composantes sur leurs directions pour les amener, l’une en 0. l’-autre en 0', puis composé les trois forces appliquées en 0 et les deux forces appliquées en 0', ce qui donne les deux résultantes R et R'. Or, ces opérations, comme nous l’avons vu, ne changent, ni la somme des projections, ni la somme des moments. De In, on conclut les deux théorèmes suivants :

Théorème I. Quand un système de forces appliquées à un corps solide a été réduit à deux résultantes, la somme * des projections des deux résultantes sur un axe quelconque est éq ale à la somme des projections des forces proposées.

Théorème II. La somme des moments de ces deux résultantes, par rapport à un axe quelconque, est éyale à la somme des vwifients des forces proposées.

188. Voyons ce que deviennent ces théorèmes, quand les forces proposées se fout équilibre sur le corps solide (n° 182). Si le corps solide est .libre, les deux résultantes étant égales et opposées, leurs projections sur un axe

238 livre m. équilirre et mouvemexT di's ststêmes.

quelconque sont égales et de signes contraires; leurs moinents, par rapport au même axe, sont aussi égaux et de signes contraires. Ainsi ;

Corollaire I. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide libre, dans F espace, 1° lu somme de leurs projections sur un axe quelconque est nulle; 2 : ’ lu somme de leurs moments, par rapport à un are quelconque, est nulle.

Lorsque le corps solide a tin point fixe, les forces admettent une résultante unique- passant en ce point ; le moment de cette résultante, par rapporta un axe quelconque mené par ce point, est nul, car la plus courte distance de la force à l’axe est nulle. Il en résulte :

Corollaire II. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide ayant un point fixe, ht somme des moments des f orces, par rapport à >ru axe quelconque passant par le point .fixe, est nulle.

Lorsque le corps solide a un axe fixe, les forces se ré- * duisent à deux résultantes, l’une appliquée en un point de l’axe, l’autre située dans un même plan avec l’axe. Le moment de la première résultante, par rapport à l’axe fixe, est nul ; le moment de la seconde résultante est nul aussi. Cela est évident, quand elle rencontre l’axe; lorsqu’elle est parallèle à l’axe, sa projection sur un plan perpendiculaire à Taxe étant nulle, son moment est encore nul. Ainsi:

Corollaire III. Quand des forces sb font équilibre sur un corps solide ayant un are fixe, lu somme de leurs mo- , ment s, par rapport à l'axe fixe, est nulle.

Equation* d'équilibre.

189. Nous pouvons maintenant, à l’aide de ce qui précède, établir par des équations les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre des forces appliquées à un corps sçlide. Supposons d’abord le corps solide libre dans l’espace. Par un point arbitraire Ode l’espace, menons trois axes rectangulaires O./, 0 y. Or (fit/. t48). Appelons a, b, c les angles que la force F fait avec Fig. us. les axes, x s y, z les coordonnées de son point d’application', />, y, r les plus courtes distances de cette force aux axes. Appelons de même a', h', r' les angles que la force F' fait avec les axes, etc. Si les forces se font équili- 1 bre, la somme des projections sur chacun des axes étant nulle, ainsi que la somme des moments par rapport à chacun d’eux, on a les six équations

S (F cos«)= o,

é S(Fsin«X/i) = o

S (F cos i)=o,

(2) | s(Fsinéxq)— o

S (F cosc)=o,

( S(FsincXr)=o

en donnant à chaque moment le signe convenable.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissant sur un corps solide libre, vérifient ces six équations, il y a équilibre. En effet, on peut réduire toutes ces forces à deux résultantes R et R . dont l’une soit appliquée au point O. Appelons A , B, C les angles que fait la première résultante avec les axes, A', B', C ceux que fait la seconde résul- . tante. La somme des projections des deux résultantes sur chacun des trois axes est égale a la somme des projections

240 i.ivnf: m. équiurre et mouvement tes ststêmf.s.

des forces proposées. Ces dernières sommes étant n allés par hypothèse, on a

H cos A 4- R' cos A'= o ,

. R cos B 4 - R v cos B'= o ,

R cos C 4~ R ' cos C o i

on en déduit

cos A cos B cosC R' cos A' cos R' cosC' R"

l,c nouveau rapport

V cos' A 4- cos' R 4- cos 1 C ^

± /cos 3 A ' 4- cos 1 B' 4- cos*!?

formé avec les trois premiers, est égal à chacun d’eux;

on prendra — 1, puisque le quatrième rapport — n est

négatif. On a ainsi

R'=rR. cosA’= — cos A, cosB’= — cosB, cos C'= — cosC,

ce qui apprend que les deux résultantes sont égales et dé' sens contraires.

La somme des moments des deux résultantes’, par port à chacun des axes, est égale aussi à la somme dés mn-' ments des forces proposées : ces dernières sommes ètaVit milles par hypothèse, les premières le sont également. La résultante R passant par le point 0, son moment par rapport à chacun des axes est nul ; il on résulte que le moment de la seconde résultante R', par rapporté chacun des axes, est uni. Mais ou sait que, lorsque le moment d’une force par rapport à un axe est nul, cette force rencontre l’axe ou lui est parallèle ; il peut arriver que la force R’ soit pa-

rallèle à l’un des trois axes ; mais alors elle rencontrera les deux autres, et passera par leur point d’intersection O. Les deux résultantes H et R', qui sont égales et de sens contraires, étant appliquées au même point O, se font équilibre. Ainsi, quand des forces, agissant sur un corps solide libre, vérifient les six équations (1), ces forces se font équilibre.

190. Supposons actuellement que le corps solide ait un point fixe O. Menons par ce pointtrois axes rectangulaires Ox, O y, O-. Si les forces proposées se font équilibre, la somme de leurs moments, par rapport à chacun des axes, est nulle, et l’on a les trois équations

2(Fsin«X/>) = 0, S(FsinéXÿ) = 0, 2(Fsinc X r) = 0.

La réciproque est vraie : quand des forces, agissaul sur un corps solide ayant un point fixe 0, vérifient les trois équations (2), il y a équilibre. En effet, on peut réduire ces forces à deux résultantes, dont l’une R soit appliquée au point 0. En vertu des équations (2), le moment de la seconde résultante R', par rapporta chacun des trois axes, étant nul, cette force R' passe par le point 0 ; les deux forces R et R' se réduisent ainsi à une résultante unique appliquée au point fixe O, et il y a équilibre.

191 . Considérons enfin le cas où le corps solide a un axe fixe. Prenons un point quelconque O de cet axe pour origine des coordonnées, et cet axe lui-même pour axe des z. Si les forces proposées se font équilibre, la somme de

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242 LIVRE ni. ÉQUILIBRE El MOUVEMENT DES ST8TÊMES.

leurs moments, par rapport à l’axe fixe, est nulle, et l’on a l'équation

(3) S(FsincXr) = 0.

Réciproquement, quand l’équation (5) est vérifiée, il y a équilibre ; car si l’on réduit les forces proposées à deux résultantes, dont l’une R soit appliquée au point O île l’axe fixe , en vertu de l’équation (3), le moment de l’autre résultante R', par rapport à l’axe Oz, étant nul , celle force sera située dans un même plan avec l’axe, et par conséquent il y aura équilibre.

En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre des forces appliquées à un oorps solide, s’expriment par six équations, quand le corps solide est libre; par trois équations, quand le corps solide a un point fixe; et enfin par une seule équation, quand le corps solide a un axe fixe.

Fig. 119.

192. Les équations (2) des uiomeuts renferment les plus courtes distances des forces à chacun des trois axes ; mais il est clair que chaque force est définie complètement par les coordonnées x, y , z de sou point d’application M [fig . 1 49), sa grandeur F, et les angles a, b, c qu elle fait avec les axes ; on doit donc pouvoir exprimer les moments de chaque force à l’aide des quantités que nous venons d’énumérer.

Il est nécessaire de faire une convention sur les signes à donner aux moments. Par rapport à l’axe Oar, nous re-

TJ

garderons comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour de cet axe de O y vers O z; comme négatifs, les moments des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire. Par rapport à l’axe O y, nous regarderons comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour de cet axe de O- vers Ox. Par rapport à l'axe O z, nous regarderons comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour de cet axe de Ox vers Oy.

Construisons le parallélipipède rectangle dont la diagonale est OM; les trois arêtes OA, OB, OC de ce parallélipipède, affectées des signes convenables, sont les coordonnées du point M. Décomposons la force F en trois composan tes F, = F cos a, F, = F cos b, F s — F cos c, parallèles aux axes; le moment de la force F, par rapport à chacun des axes, est égal à la somme des moments de ses trois composantes. Évaluons les moments par rapport à l’axe Ox. La force F, étant parallèle à l’axe, son moment est nui. La force F 5 est perpendiculaire à l’axe Ox; la perpendiculaire pommunc entre celte force et l’axe est la droite AL, qui, affectée d’un signe convenable, est la coordonnée y; la valeur absolue du moment est donc celle du produit Fj X y- Si la force F 3 et la coordonnée y sont positives, comme l’indique la ligure, on voit que la force tend à faire tourner le corps autour de l’axe Ox de Oy vers O z; le moment est positif, et égal à F, Xy ou Fycosc. 11 est clair que, si la force F s change de signe, elle tend à faire tourner le corps en sens contraire, et que par couséquent le signe du moment change également. De même, si la. coordonnée y change de signe, la force tendau t à faire tourner le corps autour de l’axe en sens contraire, le moment change de signe. On en conclut que le moment de

la force F„ par rapport à l’axe Or, est exprimé dans tons les cas par Fy cos c, avec le signe convenable. La force F, est perpendiculaire à l’axe Ox ; sa plus courte distance est AK ou z. Quand la force F, et la coordonnée z sont positives, on voit que la force tend à faire lourner le corps autour de l’axe Ox de Oz vers Oy; le moment est négatif; il a pour valeur, dans tous les cas, — Fz cos b. Ainsi, le moment de la force F, par rapport à l’axe Ox, a pour expression F ( y cos c — zcosé). On verrait de même que le moment, par rapport à l’axe Oy, est F (z cos a — x cos c), et par rapport à l'axe Oz, F(xcosô — y cos a). De cette manière, les trois équations (2) s'écrivent sous la forme

/ 2F(ycosc — zcos£) = 0,

(4) | zF(zcos« — xcosc) = 0,

( SF(xcosé — yeosa) = 0.

Travail virtuel.

195. Nous avons démontré directement (n° 187) que, lorsqu’on réduit à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide, la somme des projections des forces proposées sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des deux résultantes, et que de même la somme des moments des forces proposées, par rapport au même axe, est égale à la somme des moments des deux résultantes. Ceci est pour ainsi dire évident, et c’est à l’aide de ces deux théorèmes fondamentaux que nous avons établi les équations d’équilibre. On a coutume de déduire ces deux théorèmes de la considération du mouvement virtuel, et du travail correspondant des forces.

Lorsque les points d'un système sont liés entre eux d’ime certaine manière, on appelle mouvement virtuel tout dé-

placement possible, c’est-à-dire compatible avec les liaisons du système. Considérons, par exemple, un seul point matériel: si ce point est libre, tout déplacement dans une direction quelconque est un moment virtuel. Si le point matériel est assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe donnée, tout déplacement sur la surface ou sur la courbe est un moment virtuel.

194. Dans ce qui suit, nous supposerons les déplacements ou les mouvements virtuels très-petits, et nous prendrons les travaux élémentaires des forces pour ces déplacements très-petits. Reprenons la définition du travail dans le cas général (n° 1 25), c’est-à-dire lorsque la force est variable et que le point d’application décrit une courbe AB ( fig . 150). Nous avons inscrit dans la courbe une ligne polygonale d’un très-grand nom- Fig. iso. bre de côtés très-petits : soit MM' l'un des côtés, F la valeur de la force au point M, a l’angle qu’elle fait avec la tangente MT, a, l’angle qu’elle fait avec la direction du côté MM'; nous avons appelé travail élémentaire de la force F, pour le déplacement très-petit MM', le produit

F X MM' X cos«,,

et travail de la force , pour le déplacement AB, la limite de la somme des travaux élémentaires.

Afin de donner aux théorèmes un sens plus précis, il convient de modifier la définition du travail élémentaire : en désignant par A t le temps que le mobile met à parcourir l’arc MM', et par v la vitesse du mobile au point M,

246 LIVRE ni. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES •

vitesse dirigée suivant la tangente MT, nous appellerons travail élémentaire de la force F, pendant le temps trèspetit At, le produit

F wcosa. A t.

C’est le travail qui aurait lieu si, pendant la temps A t, la force était constante et le mouvement rectiligne et uniforme ; car, si le mobile se mouvait d'un mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse v qu’il a au point M, il décrirait sur la tangente MT une longueur MM' ( égale à vAt : à ce déplacement correspond un travail FoA< cos «, la force étant supposée constante. Celte modification dans la définition du travail élémentaire n’apporte aucun changement dans la définition du travail total; on peut dire encore que le travail de la force F, pour le déplacement AB, est égal à la limite de la somme des travaux élémentaires.

195. Pour le faire voir, nous nous servirons d’un théorème qui est d’un usage fréquent en mathématiques, c’est que la limite de la somme d’un nombre très-grand de quantités très-petites, dont chacune tend vers zéro et dont le nombre augmente indéfiniment, ne change pas quand on remplace chacune de ces quantités par une autre dont le rapport à la première a pour limite l’unité. Soient

deux suites de quantités positives qui se correspondent deux à deux. On sait que la valeur de la fraction

,i\ fi + n'+n" ...

est une moyenne entre les valeurs des tractions

a a' ri'

c’est-à-dire est comprise entre la plus petite et la plus grande de ces Tractions. Nous supposons que, lorsque les quantités a, a ', ri ', ... b, b’, b" tendent vers zéro, tandis que leur nombre augmente à l’infini, chacun des rapports (2) tend vers l’unité; il est clair que le rapport (1), qui est compris entre le plus grand et le plus petit des précédents, tend aussi vers l’unité. Si donc l’une des deux sommes

n-\- fl’-fr- ri'b+b'+ b"+...

a une limite, l’autre aura la même limite.

Nous avons défini le travail de la force F, pour le déplacement AB du point d’application, la limite de la somme

Z (F. MM' cos a,) -

Considérons la somme

Z (Focosa.AJ).

Le rapport d’un terme de la première somme au terme correspondant de la seconde est

i MM' cos a, v ' At cosa ’

quand A/ tend vers zéro, ce rapport a pour limite l’unité. Les deux sommes ont donc la même limite.