Revenons aux mouvements virtuels. Nous impri

248 LIVRE Ul. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

mons à un système de points matériels un déplacement virtuel très-petit pendant le temps A/; soit MM' le déplacement du point matériel M [fig. 151 ). La limite du rap-

t'ig. 151.

port

MM'

quand A / tend vers zéro, est la

vitesse virtuelle v du point M, vitesse dirigée M - ^ -* T suivant la tangente MT ; le travail élémen-

taire FvcosaAf, tel que nous venons de le définir, est ce que nous appellerons le travail virtuel de la force F agissant sur le point M ; c’est le travail de la force F supposée constante pour un déplacement MM' ( égal à vHt, suivant la tangente.

Nous avons démontré (n° 128) que, pour un déplacement rectiligne quelconque, le travail de la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point matériel est égal à la somme des travaux des composantes. Ce théorème s’applique évidemment aux travaux virtuels.

197. Nous avons démontré ensuite (n° 136) que l’on peut déplacer le point d’application d’une force sur sa direction. Nous allons faire voir que ceci ne change pas le travail élémentaire de la force. Soit AB(/fy. 152) une droite de longueur invariable, à laquelle on fait éprouver un déplacement quelconque, et que l’on transporte de la position AB à la portion voisine A 'B' pendant le temps A/.

Menons par le point A’ une droite A'B,, ' * égale et parallèle à AB ; on peut con-

cevoir que la droite a été d’abord transportée parallèlement à elle-même, d’un mouvement de translation, de la position AB à la position parallèle AB., et qu’ensuile elle a tourné autour d’un axe meDé par le

Fig. ISJ.

point A' perpendiculairement au plan pour venir

dans la position AB'. Sur la droite BB, prolongée prenons

une longueur BD, égale au rapport 55* ou ^ , c’est-

à-dire à la vitesse moyenne AC, du point A; à partir du point D,, sur une parallèle à la corde B, B', prenons la

longueur D,E, égale au rapport , et joignons BE,.

A cause de la similitude des deux triangles BB,B', BD,E |( la droite BE, sera sur le prolongement de BB', et BB*

l’on aura BE, = — , c’est-à-dire que la droite BE, représentera la vitesse moyenne du point B. Faisons maintenant tendre A t vers zéro : les droites AC, et BD,, égales et parallèles, ont pour limite des droites AC et BD égales et parallèles ( fig . 155); l’angle A’B,B devenant droit, la droite D,E, a pour limite une droite DE Fig. i». perpendiculaire à AB. Les droites AC etBE représentent les vitesses v et v' des points A F \ et B; la projection de la droite BE sur la p — '*£

droite BA est égale à la projection de la A \ droite BD, plus la projection de la droite j . \

DE. Celle dernière projection étant nulle, puisque la droite DE est perpendiculaire à BA, il en résulte que la projection de la droite BE est égale à celle de BD, et par conséquent à celle de la droite AC. On conclut de là que, lorsqu'une droite se meut dune manière quelconque dans f espace, les projections des vitesses de deux points quelconques A et B de la droite sur la droite elle-même sont égales.

Supposons qu’une force F, agissantsuivant ladroiteBA, soit appliquée en À ou en B ; appelons « et a’ les angles

que font avec la droite BA les vitesses AC et BE des points A et B, les projections de ces vitesses sur la droite BA étant égales, on a

ucosoc=t/cos a';

si l’on multiplie ces deux quantités égales par FA/, on a les deux produits égaux

Fvcosa. A/=F«'cosa'. A/.

Ainsi, le travail élémentaire de la force F reste le même, que la force soit appliquée en A ou en B.

198. Pour réduire à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide, nous avons décomposé chacune des forces proposées en trois autres, dirigées suivant les droites qui joignent le point d’application à trois points 0, 0,, 0, pris à volonté dans le corps solide, puis déplacé le point d’application de chacune des composantes sur sa direction, et réuni les composantes appliquées en chacun des points 0, 0,, 0,; nous avons ensuite réduit ces trois résultantes à deux par des opérations analogues. Imaginons que l’on imprime au corps solide un déplacement quelconque dans l’espace : les opérations précédentes n’altèrent pas la somme des travaux élémentaires; on en conclut :

Théorème III. Lorsqu'on réduit à deux résultantes un système de forces appliquées à un corps solide, la somme des travaux élémentaires de ces deux résidtantes est éqale à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, quel que soit le déplacement du corps solide dans F espace.

199. Ce théorème comprend, comme cas particuliers, les deux théorèmes 1 et 11 (uti87). Concevons d’abord que

l'on donne au corps solide un mouvement de translation rectiligne et uniforme, parallèlement à une droite ou axe quelconque; tous les points du corps auront la même vitesse v parallèle à cette droite ; si l’on appelle a, d, d' ... les angles que font avec l’axe les forces proposées F, F',

F" A et A' ceux que font les résultantes R et R’ avec cette même droite, et si l’on écrit que la somme des travaux élémentaires des deux résultantes est égale à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, on aura

R cos A . t'Ar-f-R'cos A'. tA/=S F cos a. rA l, ou, en divisant tous les termes par uA t,,

R cos A -I- R' cos A '= S F cos a.

Ainsi, la somme des projections des deux résultantes sur une droite quelconque, est égale à la somme des projections des forces proposées.

2UU. Concevons maintenant que l'on fasse tourner le corps solide autour d’un axe fixe OZ (/fy . 1 54), d’un mouvement uniforme, avec la vitesse angulaire 6). Le point d’application M de la force F décrivant un cercle de rayon OM dans le plan P perpendiculaire à l’axe, sa vitesse est perpendiculaire à OM dans ce plan P.

Décomposons la force F en deux forces , l’une F, parallèle à l’axe, l’autre F, perpendiculaire ; le travail élémentaire de la force F est égal à la somme des travaux élémentaires de ses deux composantes; la force F, étant perpendiculaire à la vitesse, son travail est nul : il reste à évaluer le travail de la force F,. Abaissons du point O une perpendiculaire OC

sur la force F,, el supposons cette force appliquée en ; la vitesse du point C étant dirigée suivant CF, et égale à «X OC, le travail élémentaire de la force F, est F,wXOCx Af ou F.xOCXwA*. Ainsi, le travail élémentaire de la force F pendant le temps A t, est égal à l'angle de rotatidn &>A/, multiplié par le moment de la force par rapport à l’axe.

On regarde la vitesse angulaire de rotation w comme positive ou négative, suivant que le corps tourne autour de l'axe dans un sens ou dans l’autre; pour que la relation précédente entre le travail élémentaire et le moment subsiste dans tous les cas, on adoptera la môme convention pour le signe du moment.

Si l’on écrit maintenant que la somme des travaux élémentaires des deux résultantes est égale à la somme des travaux élémentaires des forces proposées, et si l’on supprime le facteur commun w A/, on en conclut que la somme des moments des deux résultantes est égale à la somme des moments des forces proposées.

201. La considération des mouvements virtuels permet de comprendre dans un seul énoncé les conditions d’équilibre d’un corps solide, que ce corps soit libre, ou qu'il soit assujetti à tourner autour d’un point fixe ou d'un axe fixe. Lorsque le corps solide est libre daus l'espace, s'il y a équilibre, les deux résultantes sont égales et opposées; on peut les supposer appliquées au même point; alors il est évident que leurs travaux élémentaires sont égaux et de signes contraires, quel que soit le déplacement du corps solide; doue la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d’un point fixe, les forces proposées, pour se faire équilibre, doivent se réduire à une résultante

unique appliquée ai\ point fixe; le travail de cette résultante étant nul pour tout déplacement du corps autour du point fixe, on en conclut que la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Enfin, lorsque le corps solide est assujetti à tourner autour d’un use fixe, les forces doivent se réduire à deux résultantes, l’une appliquée en un point de l'axe, l'autre située dans un même plan avec l’axe. Le seul mouvement virtuel ou possible est une rotation autour de l’axe, dans un sens ou dans l’autre ; la première résultante, appliquée à un point fixe, a un travail nul ; la seconde, rencontrant l'axe ou étant parallèle à l’axe, a aussi un travail nul ; donc la somme des travaux élémentaires des forces proposées est nulle. Ainsi, on peut énoncer dans tous les cas le théorème suivant :

Théorème IV. Lorsque des forces se font équilibre sur un corps solide , libre, ou assujetti à tourner autour et un point ou <t un axe fixe, la sotnme des travaux élémentaires des forces est nulle pour tout mouvement virtuel et un corps solide.

202. La réciproque est vraie : lorsque la somme des travaux élémentaires est nulle pour tout mouvement virtuel, les forces se font équilibre sur le corps solide. Considérons d'abord le cas où le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe ; il n’y a qu’un mouvemeul virtuel, la rotation du corps solicite autour de l’axe fixe, dans un sens ou dans l'autre; si l’on réduit les forces proposées à deux résultantes, dont l'une soit appliquée en un point O pris à volonté sur l’axe, la somme des travaux élémentaires de ces deux résultantes étaut nulle, aiosi que le travail de la résultante R appliquée au point fixe O, le travail de la seconde résultante R' est nul aussi. Pour

• 254 LIVRE m. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.

cela, il faut que la force IV soit perpendiculaire à la vitesse virtuelle de son point d’application O', et par conséquent soit située dans le plan normal au cercle que décrit le point O'. Ce plan normal passant par l'axe fixe, ou voit que la. résultante R' est dans un même plan avec l’axe; ainsi, il y a équilibre.

Supposons maintenant que le corps solide ait un point fixe ü ; réduisons les forces proposées à deux résultantes dont l’une R soit appliquée au poiut 0, le travail élémentaire de l’autre résultante R' sera nul pour tout déplacement du corps solide autour du point 0. Le point d’application 0' de cette seconde force se meut sur la sphère décrite du poiut 0 comme centre avec 00' pour rayon, mais dans une direction quelconque, et il y a une infinité de mouvements virtuels. La force R', ayant un travail élémentaire nul, est normale à toutes les courbes tracées par le point 0' sur la sphère ; elle est donc normale à cette sphère et par conséqueut dirigée suivaut le rayon 00' ; ainsi il y a équilibre.

Lorsque le corps solide est libre dans l’espace, tous les déplacements sont possibles. Après avoir réduit les forces à deux résultantes R et R', imaginons que l’on fasse tourner le corps autour du point d’application 0 de la première résultante d’une manière quelconque, nous en conclurons, comme précédemment, que la seconde résultante R’ passe aussi par le point 0. Je dis maintenant que ces deux résultantes sont égales et opposées; autrement, elles admettraient une résultante unique et, en déplaçant le point 0 sur cette résultante, on aurait un travail différent de zéro. Ainsi,

Théorème V. Lorsque des forces agissent sur un corps so-

lide, libre , ou assujetti à tourner autour d un point ou d’un axe fixe, et que la somme de leurs travaux élémentaires est ■ nulle pour tout mouvement virtuel du corps solide, il y a équilibre.

Équilibre d’un corps solide s'appuyant contre un plan fixe.

203. Lorsqu’un corps solide, sollicité par différentes forces F, F\ ..., s’appuie par un point A contre un plan très-résistant et parfaitement poli, le plan exerce contre le corps une réaction normale appliquée au point A ; si cette réaction normale, que nous désignerons par N, tient en équilibre les forces F, F', . .., ces forces admettront une résultante unique R, égale et opposée à la force N. Quand cette condition est remplie, la résultante R est détruite par la résistance du plan, et il y a équilibre. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que des forces se fassent équilibre sur un corps solide qui s’appuie par un point contre un plan rigide et parfaitement poli , c’est que ces forces se réduisent à une résultante unique, passant par le point d’appui , mo niale au plan, et appuyant le corps contre le plan.

Considérons, par exemple, un corps pesant reposant par un point A sur un plan horizontal (faj. 155). Ce corps est sollicité par son poids F appliqué en son centre de gravité; la condition d’équilibre, c’est que la verticale abaissée du centre de gravité C passe par le point d’appui A. Quand celte condition est remplie, la force P, passant par le point A et normale au plau, est détruite par la résistance du plan. Il est clair que le corps exerce sur le plau une pression égale à son poids P.

204. Ceci nous donne l’occasion de distinguer deux sortes d’équilibre, l’équilibre stable et l'équilibre instable. On dit que l’équilibre est stable , lorsque le corps, dérangé très-peu de sa position d’équilibre, tend à y revenir. Dans le cas contraire, on dit que l’équilibre est instable. Pour en montrer un exemple, considérons un cylindre elliptique homogène, reposant par une arête latérale sur ün plan horizontal. Le centre de gravité G du cylindre coïncide avec le centre de l’ellipse qu’on obtient en coupant le cyliudre en deux parties égales par un plan perpendiculaire aux arêtes. On peut se borner à considérer cette ellipse reposant par un point A sur une droite horizontale. Le rayon GA devant être vertical et par conséquent perpendiculaire à la tangente en A qui est horizontale, le point de contact A est l’un des quatre sommets de l’ellipse.

Nous ferons voir que, lorsque le point de contact est l’un des sommets du petit axe AA' (fig. 155), l’équilibre est stable ; mais que, si, au contïaire, le point de contact est l’un des sommets du grand axe, l’équilibre est instable.

‘Wâ

Supposons d’abord que l’ellipse repose sur le plan par un des sommets du petit axe. Quand on dérange l’ellipse de sa position d’équilibre, la perpendiculaire GH (fig . 156), Kig. iss. abaissée du centre de gravité sur le s — plan horizontal, étant plus grande que i \ le rayon GM, qni est lui-même plus \ A. ] grand que la moitié GA du petit axe, J le centre de gravité G s’élève. Si l'on H abandonne ensuite le corps à luié

même, le centre de gravité tend à redescendre, et le corps revient à sa position primitive, qu’il dépasse en vertu de la vitesse acquise, et de part et d’autre de laquelle il oscille. Donc l’équilibre est stable.

Supposons maintenant que l’ellipse repose sur le plan horizontal par une des extrémités B de son grand axe (fig. 157). Quand on dérange le corps de sa position d’équilibre, la perpendiculaire GH Fig. m.

étant plus petite que le rayon GM qui va du centre au point de contact, et ce rayon étant plus petit que la moitié GB du grand axe, le centre de gravité G s’abaisse. Si l’on abandonne ensuite le corps à luimême, le centre de gravité tendant à descendre, le corps ne reviendra pas à sa première position; il s'éloignera encore davantage, et se rapprochera d’une position d’é- • quilibre stable. Ainsi, quand l’ellipse repose par le sommet B, il y a équilibre instable.

205. Lorsqu’un corps solide s’appuie par deux points A et B contre un plan {fig . 158), le plan exerce sur le corps deux réactions normales N, N', appli- Fig. us.

quées en A et en B ; ces deux réactions parallèles ont une résultante N N' appliquée en un point I de la droite AB.

Si la force N -i-N' tient en équilibre les autres forces qui agissent sur le corps i

solide, ces dernières forces admettront une résultante unique, égale et opposée à la force N •+■ N'. Par exemple, un corps pesant, qui repose par deux points A et B sur un plan horizontal, sera en équilibre, si la verticale abaissée du centre de gravité G rencontre la droite AB en un point I situé entre les deux points A et B. Il est facile de calculer les pressions partielles que le corps exerce contre le plan eu A et B; il suffit de décomposer le poids P du coçps eu

258 livre ni. équilibre et mouvement des systèmes.

deux forces parallèles appliquées, l’une en A, l’autre en B. On a