I.1VRE IV. DtS MACHINES

Lu grandeur de la force F varie avec l’angle (î ; l’équation (4) montre que celte force est minimum quand l’angle /3 est égal à. 9 . Ainsi, la force motrice F, capable de faire monter le corps sur le plan incliné, est la plu» petite possible, quand elle fait avec le plan, et au-dessus, un angle égal à l’angle de.frottement.

Le travail moteur est ici F/cos(3, et l’on a

T„ sin « ’cos (|3 — 9 )

T n sin (2 -(- 9 ) cos |S

La fraction

cos (S — ç) . . ... . sin 9

— ' .. T -, ayant pour derivee — par rapcosp J r * cos’p r 1

port à (3, croît avec (3; ainsi le travail absorbé par le frottement est d’autant moindre que l’angle /3 est plus grand.

245. On peut traiter la question précédente par une méthode synthétique. Le corps rhontant sur le plan incliné, la réaction totale exercée par le plan sur le corps est, comme nous l’avons vu au numéro 236, une force oblique R’, qui fait avec la normale GE' et du côté opposé au mouvement un angle égal à l’angle de frottement (fuj. 168). Pour l’équilibre, c’est-à-dire pour le mouvement uniforme, il faut que "les deux forces P et F aient une résultante R égale et contraire à la réaction R', et, par conséquent, dirigée suivant la droite GH’ qui fait avec Ja normale GE, du côté du mouvement, l’angle 9 . Supposons d’abord la force F parallèle au plan ; par le point D menons ÜH parallèle, à AR, la droite DH représentera la force F. Du point D menons la droite DL perpendiculaire à GH ; les deux angles EGH,

PLAN INCLINÉ

LDH, ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, sont égaux; l’angle DHL, complémentaire de l’angle LDH,

est égal à - 9 ; d’ailleurs, l’angle DGH est égal à a+

Dans le triangle DGH, on a

d’où

F DH • sin (a -t- 9)

P GD cos 9

p p ÿin "P ?)

cos 9

C'est la relation ( 2 ) trouvée précédemment.

Supposons maintenant que la force motrice F fasse un angle /3 avec la ligne de plus grande pente. Une parallèle DK à cette direction représentera la force. L’angle KDII est égal à j 3 , l’angle KDL à j 3 — 9, et l’angle DKH complémentaire de ce dernier; dans le triangle GDK, on a

d’où

F DK sin (a + 9) P~ GD : ~cos(|3-9)’

p p *siu (a -F- 9)

~~ cos(P— 9 )'

Puisque la force motrice est représentée par une droite DK, allant du point D à la droite GH, 011 voit que la force est minimum, quand elle est dirigée suivant la perpendiculaire DL, c’est-à-dire quand elle fait avec la direction DH du plan un angle égal à 9. Plus la force s’écarte de la direction DL, plus elle est grande.

Corps descendant sur un plan incliné.

244 . Supposons qu’un corps descende sur un plan incliné, sans être sollicité par aucune autre force que son poids et la réaction du plan. Décomposons encore le poids P en deux forces, l’une normale P cos a, l’autre P sin a

l.lVItt IV. DKS MACHINES.

parallèle à la ligue de plus grande pente BA (fig. 166 ). La pression normale P cos a détermine un frottement fP cos a dirigé en sens contraire du mouvement, c’est-à-dire dans le sens AB; la composante parallèle du poids et le frottement, étant dirigés en sens contraires, se retranchent. 11 y a plusieurs cas à distinguer, suivant que l’angle a est égal, supérieur, ou inférieur à l’angle de frottement 9.

1 ° Lorsque l’angle a est-égal à 9, les deux forces parallèles au plan Psin a et fP cos a son légales et se font équilibre ; le corps, animé d’une certaine vitesse initiale dans le sens BA, et abandonné à lui-même, descendra d’un mouvement uniforme.

2 ° Lorsque l’angle a est supérieur à 9, la force Psin a est plus grande que le frottement; la résultante de ces

deux forces Psin « — fP cos «, ou P—— — — , est dirigée

' COS9 de-

dans le sens BA. Si l’on place le corps sur le plan incliné, avec une vitesse initiale dans le sens BA, et qu’on l’abandonne à lui-même, il descendra d’un mouvement uniformément accéléré, avec l’accélération

On empêchera le mouvement de s’accélérer, en retenant le corps avec une force parallèle au plan et égale à pSin(a — 9) cos 9

5 ° Lorsque l’angle a est plus petit que 9, la force de frottement est plus grande que la composante parallèle du

poids, et la résultante /P cos a — Psin*, ou P SID ^^ a \

de ces deux forces est dirigée dans le sens AB. Si le corps

PLAN INCLINÉ

est placé sur le plan incliné avec une vitesse initiale, dirigée dans le sens BA, il descendra d’un mouvement uniformément retardé, avec une accélération négative égale à

Après uu certain temps, la vitesse deviendra nulle ; le corps s’arrêtera, et restera en repos sur le plan incliné. On ferait descendre le corps d’un mouvement uniforme, en le

tirant dans le sens BA avec une force égale à P

245. Lorsque l'inclinaison a du plan est plus grande que l'angle <p, nous avons vu que le corps descend d’un mouvement uniforme, s’il est retenu par une force pa-

n i . . i - r.sin(« — a )

rallele au plan et égalé a P — ^ - . Supposons que

la force F qui retient le corps soit située dans le plan vertical passant par la ligne de plus grande pente, et fasse avec cette ligne, au-dessous du plan, un angle égal à (3 . (fi<j. 169). Décomposons la force F, comme le poids, en deux forces, l’une normale F sin (3, Fig. i6s. l’autre F cos /3 parallèle au plan; les deux forces normales s’ajoutent et produisent une pression égale à P cos a -t- F sin (3; cette pression donne naissance à un frottement /"(Pcosa-t-Fsin/3), dirigé en sens contraire du mouvement, c’est-à-

dire dans le sens AB. Pour le 'mouvement uniforme, il

faut que la force Psin a, qui fait descendre le corps, soit