R=4,GH
el par suite
AB
JL Çh
On obtiendra donc l’accélération au point M, en cherchant GH
la limite du rapport — .
Les deux rayons vecteurs FM, FM', prolongés, passent par les points G et U, et les deux longueurs FG et FH sont égales au grand axe -xn de l’ellipse. Du point F comme centre, avec les rayous FM et FG, décrivons les arcs de cercle ME el GH, le rapport de la corde GH à l’arc Gn
étant égal à l’unité, la limite du rapport , 0r ^^ — est la
même que celle du rapport ; le secteur GFH a pour
arcGHxFG , ... ,,
mesure , cest-à-dire arc GH X «y on en dé-
duit
arc GH==
sectGFH
l^es deux secteurs semblables GFH, MFE étant proportionnels aux carrés des rayons, ou a
d’où
sectGFH
spcIMFE r 1 ’
«c. GFH=
1 B'jiünrjftpc
MOUVbHL.M Dbïl PLA>LfEfe.
4«XsectMFE
&i c uH ■ ■ -» •
arc GH 4 a sectMFE.
At
At
D'après la loi des aires, le rapport a pour li-
mite - ; on a donc
GH *ak
et par suite
»• va a*
llm AÏ =
. AB <dc‘. i
>"“ llm Â7“T'V
Si l’on pose, pour abréger,
on a enfin
‘ aie
Ainsi, la force varie en raison inverse du carré de la distance au centre du soleil.
Le calcul précédent s'applique aux trois courbes du second degré. .Car, dans l’hyperbole, le produit des perpendiculaires abaissées des deux loyers sur une tangente quelconque est aussi constant; si l’on représente par/? le
paramètre — de l’ellipse ou de l’hyperbole, on a en gé-
néral
l.IVRfc V. ( OMI'LtMl.M .
C,e résultat convient aussi à la parabole qui est la limite d’une ellipse.
Conséquence de U troisième loi.
274. Revenons aux planètes dont les orbites sont elliptiques. Nous avons représenté par ^ l’aire décrite par le
rayon vecteur dans l’unité de temps. Si l’on considère l’aire entière de l’ellipse wib décrite dans le temps T, on a
k nab
iTT’
d’nii
D'après la troisième loi de Képler, le rapport ^ est constant ; il en résulte que la constante g est la même pour toutes les planètes, c'est-à-dire que le soleil attirerait également l'unité de masse de toutes les planètes à la même distance.
Si l'on appelle m la masse d'une planète, F la force qui la sollicite vers je centre du soleil, on a
F =my-
mit
Tout se passe donc comme si le soleil attirait les planètes proportionnellement à leurs niasses et en raison inverse du carré des distances. Telle est la conclusion remarquable à laquelle est arrivé Newton en suivaut une marche analogue à la précédente.
