MOUVEMENT DES PLANÈTES

Réciproque.

275. Occupons-nous maintenanlde la question inverse : étant donné l’état initial d’un astre sollicité par une force dirigée vers un point fixe O, et variant en raison inverse du carré de la distance, trouver le mouvement de cet astre.

Cherchons d’abord la projection de l’accélération sur une perpendiculaire au rayon vecteur. A partir du point d’intersection I des deux tangentes voisines, portons sur ces tangentes les longueurs IA et IB qui ri*, iss. représentent les vitesses v et »' en M et en M' (fig. 196); appelons <7 et q' les perpendiculaires OQ, OQ' abaissées du point O sur les tangentes ; prolongeons la droite 01, et menons la droite IH perpendiculaire à 01. Si l’on projette sur III la droite AB et la ligne brisée AIB, on a

proj. de AB=t/sinBIL — » sin A1L = ? V '-l- ;

. , AB 1 v'q' — va

P ro l* de Â7=îü >< '

Quand A / tend vers zéro, la droite 01 tend vers le rayon vecteur OM, et l’on a

proj. dey=^D, (vq).

Si la force qui sollicite le mobile est dirigée suivant le rayon vecteur MO, sa projection sur une perpendiculaire au rayon vecteur est nulle, et l’on a

et par suite vq^k, .

TM UVKfc V. COMPLÉMENT.

k désignant une constante. En vertu de l’équation (2; du

numéro 27i , on en déduit la loi des aires D ( A=-,

A=-t. Ainsi, quand lu force est dirigée vers un point fixe,

taire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle an temps.

Fig. 197.

Soit M la position initiale de l’astre, MA sa vitesse initiale [fig. 197); nous désignerons par r 0 la distance initiale FM, par v 0 la vitesse initiale MA, et par </„ la perpendiculaire FQ abaissée du point F sur la droite MA, perpendiculaire qui détermine la direction de la vitesse initiale. La valeur de la constante k est donnée par la formule k= v^/,.