La force pouvant être représentée par la formule

F — l’accélération y est égale à g étant une con-

stante donnée. Déterminons la section conique qui admette pour l’un de ses foyers F, le centre du soleil, qui passe par le point M, qui soit tangente à la droite MA et

dont le paramètre p satisfasse à la relation

. Sur le rayon vecteur MF

prenons une

lon-

gueur MP égale au paramètre p, et par le point P menons une droite PN perpendiculaire au rayon vecteur MF; le point N où cette droite rencontre la normale MN à la courbe, c’est-à-dire la perpendiculaire à la tangente MA, appartient au premier axe de la courbe; car on sait que.

MOLVLMfcM D1.S l'LA.NKlts.

daDs mie section conique, la projection sur le rayon vecteur MF de la portion de normale MN comprise entre la , courbe et le premier axe est égale au paramètre p. La direction FN du premier axe est donc connue. Prolongeons lajperpendiculaire FQ, abaissée du foyer F sur la taügenle MA, d’une longueur QH égale à FQ, et joignons MH ; le point F' où cette droite MH rencontre l’axe FN est le second foyer. Quand les deux foyers sont d’un même cAté de la tangente MA, la courbe est une ellipse {fiy. 197), et la somme des rayons vecteurs MF + MF' donne la longueur ia du grand axe ; cette ellipse est donc complètement déterminée. Quand les deux foyers sont situés de part et d’autre de la tangente MA(/à/. 198), la courbe est une branche d’unehy perbole, dont on conualt la longueur a« de l'axe transverse. Enfin, quand la droite MH est parallèle à FN {fiy. 199), le second foyer F' étant à l’infini, la courbe est une parabole.

Il est aisé de voir que l’astre décrira la section conique ainsi obtenue; car, si l’on imagine un mobile décrivant cette courbe, avec la vitesse initiale MA, et d'après la loi des aires, la force qui produira le mouvement de ce second mobile sera, comme nous l’avons démontré, dirigée vers

le point F et égale à £ ; or, quand deux mobiles ont le

même état initial et sont sollicités par la même force, ils coïncident évidemment dans tout leur mouvement.