LIVRE V. tOMFLÉMLNT

La terre tourne uniformément autour de son axe; considérons un point matériel M suspendu à un fil attaché à un point fixe I (fig. 203) ; il y aura équilibre entre l'attraction MA que le globe exerce sur le point M, la tension MB du fil, et la force fictive MC' égale à «’X MD ; la résultante des deux forces MA et MC' doit donc être égale et opposée à la tension du fil ; cette résultante MB' est ce qu’on appelle le poids du corps; sa direction est celle du fil à plomb ; c'est la verticale au point M (n° lli).

Nous donnerons maintenant quelques exemples de mouvement relatif.

Exemple*

Fig. 206 .

287. Première question. Trouver le mouvement relatif d'un point pesant M assujetti à glisser saus frottement sur une droite — horizontale qui tourne uniformément autour d’un axe vertical (h, avec une vitesse angulaire ’ p donnée ».> ( fig. 206).

Supposons que le mouvement de rotation s accomplisse de Ox vers O y; soit M la positiou du mobile au temps l, x la distance variable OM, v la vitesse relative, comptée positivement dans le sens Ox, négativement en sens contraire. Le mobile est sollicité effectivement par deux forces, son poids MG et laréaclion normale N de ladroite Ox, réaction qui fait avec la verticale ML un certain angle fi. On

MOUVEMENTS RELATIFS

pourra faire abstraetiou du mouvement de la droite CXr, en introduisant les deux forces fictives dont nous avons parlé, savoir : la force centrifuge MB égale à imax, et la force centrifuge composée MC, perpendiculaire au plan zox, et égale à imu»; cette force est dirigée dans le sens oppose à O y, ou dans le sens Oy, suivant que la vitesse v est positive ou négative. La question est donc ramenée à la suivante : trouver le mouvement sur une droite fixe Ox d’un point mobile sollicité par les quatre forces MB, MG, MC. MN ; les trois dernières forces sont normales, et se font équilibre; la première MB produit l'accélération relative; ou a donc l’équation

11 s’agit de trouver une fonction qui se reproduise ellemême, avec le facteur constant &>’ ; cette fonction est une exponentielle. Posons

(2) z=Ae“'+Be-*“:

on en déduit par la dérivation

D<z=m (Ae"“ — Bc “'),

D, 1 z=w î (Ae“‘-t- Be—‘);

la fonction (2) satisfait donc à l’équation (1), quelles que soient les deux constantes A et B. Ou détermine ces deux constantes par l’état initial du mobile ; supposons que, pour <=o, on ait z=«, v=v 0 ; on aura les deux relations

d'où

3tj<J LIVRE V. t.OMl’LÉMt.M.

Le mouvement esl ilonc représenté par les formules

Supposons d’abord le mobile placé au point A, avec une vitesse initiale nulle ou positive ; l'accélération étant constamment positive, la vitesse va en augmentant, et te mobile s’éloigne indéfiniment du point O.

Supposons maintenant la vitesse initiale négative, et, pour mettre Je signe eu évidence, posons — o\ ; le mobile se rapprochera d'abord du point O, et la vitesse diminuera. Il y a plusieurs cas à distinguer : 1° si l’on a e 0 ’<C «u, la vitesse devient nulle pour la valeur de t vérifiant l'équation

ai* — v 0

le mobile arrive en un certain point K sans vitesse, après* avoir parcouru la longueur AK ; puis le sens du mouvement change, et le mobile s'éloigne indéfiniment dans la direction Kx. comme dans le cas précédent ; 2° quand on a e' 0 >«u), la vitesse v 11 e change pas de direction et elle rôle constamment négative. Le mobile dépasse le point O, pour s'éloigner indéfiniment dans la direction Ox’j 3" quand on a le mobile tend vers le point O,

avec une vitesse décroissante, mais sansjamais l’atteindre.

Dans ce calcul du mouvement relatif, la force centrifuge composée u’a joué aucun rôle; mais il est nécessaire d’eu tenir compte, si l’on veut déterminer la réaction Pi que la droite exerce sur le mobile. En effet, le mouvement

MUOVEMtXÎS IlliLATIFS.

otil

élaul ruelihgne, les trois forces normales MG, MC, MN se font équilibre; la forceMN est donc égale et. o|*goséc à la résultante MD des deux autres, et l'on a

N=m/y‘ + 4<<> , r J , tang

La réaction N change de grandeur et de direction pcndaut le cours du mouvement. Quand le mobile est placé én A sans vitesse initiale, la réaction, d'abord vertiealeetégaleau poids du mobile, augmeutc indélinimeut, et s’incline de plus en plus, tendant vers la direction horizontale: î,a force MD est là pression que le mobile exerce contre la droite sur laquelle il se meut.

288. Deuxième question. Généralisons ht question précédente. Cherchons le mouvement relatif d’un point pesant assujetti à glisser sans frottement sur une droite quelconque x'x, qui tourne uniformément autour de l’axe vertical 0;. Supposous d’abord que la droite ren contre l'axe eu 0 [fiy. 207); appelons a l'angle n*. 201 .

qu elle fait avec l’axe, et dési- ;[ 1

gnons par x la distance variable OM. Le mobile M est sollicité par deux forces, sou poids MG et la réaction normale MN de lu droite. O 11 pourra faire abstraction du mouvement de la droite, en introduisant deux Forces fictives, la force centrifuge MB, égale à wîg>* x MP ou à /«»* x x sin a, et la force centrifuge composée, perpendiculaire au plan ;0./- et égale à amwasina. Nous supposons que la rotation autour de Os s effectue de droite à gauche eu avant, pour un observ ateur