MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE D US CORPS SOLIDE

Mouvement d'un oorps solide libre.

302. Théorème VII. Tout déplacement d’un corps solide peut être produit par une translation et une rotation.

Considérons deux positions d’un corps solide libre dans l’espace. Prenons un point arbitraire dans le corps solide et soient 0 et 0'les deux positions de ce poim {fig. 222) ; imaginons que l’on donne à tous les points du f*. «ï. corps un déplacement égal et parallèle à 00'; ce sera lifo mouvement de translation; il suffira ensuite, pour amener le corps dans la position qu'il doit occuper, de regarder le point 0> comme lise et de faire tourner le corps autour de ce point fixé; mais on sait que ce second déplacement peut être produit par une rotation autourd unaxe fixeO'L. Ainsi, on amène le corps solide de sa première position à la seconde, par une translation égale au déplacement 00' de l’un de ses points, et par une rotation autour d'un axe passant par ce point.

303. Remarque I. On peut faire en sorte que la rotation s’accomplisse autolir d'un axe parai- Fi*, »3.

lèle à la translation. Par les points O et 0' menons des plans P et P' perpendiculaires à l’axe de rotation O'L {fig. 223). Décomposons le déplacement 00' en deux déplacements, l’un 00, parallèle à l’axe O'L, l’atitrc 0",0' perpendiculaire à l'axe et par conséquent situé dans le plan P'. Nous amènerons le corps solide de sa première position à sa seconde position en

UYRK V. plMPLÉMENT.

lui donnant d’abord la translation 00,, puis (a translation 0,0', et le faisant tourner ensuite autour de O'L. la première translation amène le plan P sur le plan parallèle P' ; la seconde translation 0,0' fait glisser le plan P sur lui-même, de même que la rotation autour de l’axe perpendiculaire O'L. Ces deux derniers mouvements ne font que déplacer le plan P' dans son propre plan; mais on sait qu’un pareil déplacement peut être produit par une rotation autour d’un point fixe I' du plan, ou, ce qui est la même chose, autour d’un axe l'K perpendiculaire au plan. De cette manière on a une translation 00, et une rotation autour d’un axe IK parallèle à la translation.

La droite IK glisse sur elle-même, et, en même temps, le corps tourne autour de cette droite. Ce double mouvement est analogue à celui d’une vis dans son écrou. Toute autre droite, telle que 00,, parallèle à l’axe IK, glisse sur elle-même de la quantité 00, égale à II', et en ipéme temps se déplace parallèlement à elle-même, de manière à venir occuper la position O'L. Si cette droite glissait simplement sur elle-même, comme la droite IK, le mouvement général du corps solide serait un mouvement de translation, sans rotation. Ainsi la droite IK, que nous appellerons aïe central, est une droite parfaitement déterminée, appartenant au corps solide, ou liée invariablement à ce corps.

304. Remarqoe II. Pour etTectuer le déplacement du corps solide par une translation et une rotation, nous avons pris un point arbitraire 0 dans le corps ; la translation 00' est le déplacement même de ce point; la rotation s’accomplit autour d’un axe O'L passant par le point 0'. 11 est à remarquer que, quel que soit le point du corps que l’on ait choisi, l’axe île rotation a une direction constante,

MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE l('uN CORPS SOLIDL. Ô85

et i'augle de rotatiou une valeur constante. On voit déjà que l'axe # de rotation O'L, qui correspond au point O, est parallèle à Taxe central IK. Il suffit de montrer que l’angle de rotation est le môme autour de O’L et autour de IK. Quand on donne au corps la translation II', le point O vient eu O,, après avoir éprouvé ^déplacement 00,, égal et parallèle à II': la rotation autour de l'axe IK l’amène ensuite en 0', dans la position qu’il doit occuper; l'angle de rotation autour de IK est donc 0,r0\ D’autre part, quand on donne au corps la translation 00', le point I vient en l,, après avoir éprouvé un déplacement II, , égal et parallèle a 00' ; la rotation autour de l’axe O'L l’amène en^jte dans la position I' qu’il doit occuper ; l’angle de rotation autour de O'L est donc I,OT. Les deux droites I'O,, 1,0', étant égales’ et parallèles à 10, sont parallèles entre elles, et par conséquent les deux angles alternes-internes 0,I'0', I,0T sont égaux. Ainsi, l’axe de rotatiou a une directiou constante et l’angle de rotation est constant. La translation est variable avec la position du point 0 : elle est minimum pour les points de l’axe central IK.

305. Théorème VIII. Dans le mouvement d’un corps solide , la vitesse (T un point quelconque, à chaque instant, est la même que si, le corps avait une rit esse de translation égale et parallèle A celle d’un point choisi, arbitrairement dans le corps, et tournait autour cT un axe passant par ce point avec une vitesse angulaire déterminée. ,

Considérons les positions du corps solide au temps t et au temps t -g Aé. Prenons un point arbitraire 0 dans le corps solide, etsoient 0 et 0' lesdeux positions de ce poiut; nous avons vu qu’on peut amener le corps de sa première position à la seconde, en lui donnant une. translation égale

LIVRK V. COMPtÉMïM.

FiR. 2 îi. à. 00' \Jiy. 224) et le faisant tourner ensuite ■ t d’un certain angle 0 autour d’une droite O'L, 1 / passant par le point 0'» la vitesse moyenne

/ d’un point quelconque M du corps solide pen-

J dant le temps A/ est donc la résultante d’une ’ . 00 '

0 vitesse parallèle à 00' et égale à , et de la

vitesse moyenne qui correspond au déplacement provenant de la rotation 6 autour de O'L. Si l’on fait diminuer

A/ jusqu’à zéro, la vitesse moyenne de translation-— a

pour ! une vitesse égale et parallèle à celle du point 0 au temps/. L’axe de rotation O'L, tend vers une position limite OL, que nous appellerons l’axe instantané de rota-

lion au temps t; et le rapport — tend vers une valeur M ;

la seconde vitesse g donc pour limite la vitesse qui aurait lieu si le corps tournait autour de OL avec la vitesse angulaire &j. La vitesse du point M est la résultante de ces deux vitesses. Aiqsi, on obtient les vitesses de tous les points du corps solide au temps t, en imaginant, que le corps ait une vitesse de translation égale à la vitesse d’un de ses points 0, et une vitesse angulaire de rotation autour de l’axe instantané OL passant par le point 0.

Il résulte de ce qui précède que l’on peut choisir le point 0 de. manière que l’axe instantané de rotation soit parallèle à la vitesse de translation ; dans ce cas, la vitesse de translation est minimum. Quel que soit le point 0, l’axe instantané OL a une direction constante et la vitessa angulaire « une valeur constante.

MOUVEMENT ÜÉOMÇTIUQIE d'un CORPS SOUDE. 387

Théorème «de Coriolii.

306. Nous pouvons maintenant compléter ce que nous avons dit dans le chapitre iv du livre I, sur la composition des accélérations. Un mobile est en mouvement dans un système A, ce système A est en 'mouvement dans le système B ; le mouvement du mobile par rapport nu système B est le mouvement résultant des deux premiers ; il s agit de trouver l'accélération du mouvement résultant. Nous avons traité la question dans le cas particulier où le système A a un tnouvement de translation dans le système B (n° 53) ; nous avons vu que, dans ce cas. l'accélération du mouvement résultant est, à chaque instant, la somme géométrique de l’accélération du mouvement du mobile dans le système A, et de l'acélération du mouvement de translation du système A dans le système B. Lorsque le mouvement du système A n’est pas un mouvement de translation, la question est plus compliquée. On doit se représenter le système A comme un système solide se mouvant dans le système solide B, que l'on regarde comme fixe.

Soit M {fiy. 225) le point du système A où se trouve le mobile au temps t, MA la droite qui représente à cet instant la vitesse du mobile dans le système A,. AB une droite égale et parallèle à celle qui représente la vitesse du point M du système A au même instant ; la droite MB représentera la vitesse du mouvement résultant au temps t. Soit M' le point du système A où se trouve le mobile au temps

I, IV 11 K V. UJMrj.ÉMIM.

/ -H A/, système A étant supposé immobile ; MM' est te déplacement apparent du mobile dans le systèflie A ; la direction de la.vitesse apparente ou relative MA est la direction limité de MM', et la valeur de celte vitesse est la limite

lu rapport . Pendant l’intervalle de temps A /, le sy-

slèmesolido A éprouve un certain déplacement et le pointM vient en M, ; on peut opérer ce déplacement en donnant au svslème une translation égale et parallèle au déplacement MM, du point M, et Taisant tourner le système d’un certain angle 0 autour d’un axe M,L, passant par le point M, (!i n ‘282); la translation entraîne la droite MA parallèlement à elle-même en M,A, ; la rotation autour de l’axe M,L, chauge sa direction et l’amèn’e en M,A t ; telle est, dans la seconde position du système A, la droite qui représente la vitesse relative du mobile au temps /. En même temps, le pointM' où se trouve le mobile au temps /-HA/, vient en M',. Soif M', A', la droite qui, dans la secondé position du système A, représente la vitesse relative du mobile au temps /-HA/. Par le point M, menons une droite MA' égale et parallèle à M',A',, et par le point A' une droite A'B' égale et parallèle à la vitesse du point M' ( ou M' du système A au temps / -H A/, la droite MB' représentera la vitesse du mouvement résultant au temps / -H A/.

La droite BB représente la variation géométrique delà vitesse jlans le mouvement résultant pendant le temps A/. Dans la seconde position du système A, la droite MC, égale et parallèle à M, A,, représente la vitesse relative au temps / ; la droite MA’ représente cette vitesse relative au temps /-HA/, - la droite CA' est donc la variation géométrique de cette vitesse relative pendant le temps A/. La droite AB est la vitesse du point M au temps /, A B' la vitesse du

MOUVEMENT OhOMÉTHlOUE ü'i’N CORPS SOI.1BE. 389

point M' au temps / + 1/. Cherchons la vitesse du point M' au temps t ; on obtient la vitesse de tous [es points ilu système solide A, en donnant à ce système une vitesse de translation égale à la vitesse du point M et le taisant tourner autour de l’axe instantané ML avec la vitesse angulaire <o; cette rotation imprime au point M' mie vitesse M'D perpendiculaireauplan M 'ML et égale au xMM'sinM'ML; la vitesse du point M' au temps t est la résultante de la vitesse AB et de la vitesse M'D. Si donc par le point A' on mène une droite A'E égale et parallèle à AB, et par le point E une droite EG égale et parallèle à M'D, la droite A’G sera la vitesse du point M' au temps /. Comme la droite A B’ est la vitesse du môme point au temps /-+• AC la droite GB' représentera la variatiou géométrique dé la vitesse du point M' pendant le temps A/ Par le point B menons une droite BH égale et parallèle AC ; les deux droites A'E et CH étant égales et parallèles à AB et par conséquent égales et parallèles entre elles, les deux droites HE et CA' sont aussi égales et parallèles.

Cela posé, on peut regarder Ta longueur BB' comme la somme géométrique des quatre longueurs BH, HE, EG, GB'. Eu divisant par AC ou voit que l’accélération moyenne BB'

— du mouvement résultant est la somme géométrique des quatre accélérations