Revenons au cas général. Si l’on projette sur une

Pig. 22.

30 LIVRE I. CINÉMATIQUE.

ijroile quelconque la ligne brisée OADCD (/ty.2 3), on sait pi ? . n. que la projection de la résultante OU

est égale à la somme algébrique des projections des difl'érents côtés de la ii ligne brisée. Ainsi, la projection de la vitesse résultante sur une droite quelconque est égale à la somme algébrique des projections des vitesses composantes .

Ce théorème est vrai, que les projections soient obliques ou orthogonales.

On peut, à l'aide de ce théorème, déterminer par le calcul la vitesse résultante. Menons trois axes rectangulaires ox, oy, oz {fi g. 24). Désignons par v la première vitesse, vip. 34 . et par a, b, c les angles qu’elle lait avec les axes; paru' lu seconde vitesse, et par a', b', c' les angles qu’elle fait avec les axes, etc. ; appelons V la vitesse résultante et A, B, C les angles qu’elle fait avec les axes. En projetant orthogonaleuieut sur chacun dps trois

axes, on a

/ V eos A = ecosa + i/cosa'-+-t/'cosa"-|- ...

( 1 ) | Y cos B = v cos b -+- v' cosô'-t- t/' cos b" 4 - ...

[ V cos C = v cos c -+- v' COS c'-t- v” cos c" ...

Eu joignant à ces trois équations la relation connue

(2) eos 1 A 4 - cos 1 B -+• cos ' 1 C = 4 ,

on a quatre équations pour déterminer les quatre inconnues V, A, B , C. Si l’on élève au carré les deux membres des trois premières équations et qu’on les ajoute mem-

COMPOSITION DES VITESSES. 31

bre à membre, on a, en tenant compte de la quatrième,

(3) V J =(r cosa-M>' cos a' 4 - .. ,)*-t-(v cos & 4 - 0 ' cos b' ■+■...)* 4- (o cos c -+- o'cos c' 4 - ...)*.

Une fois que l’on connaît la grandeur V de la vitesse résultante, les trois équations ( 1 ) donnent les angles A, B, Ç et, par conséquent, déterminent sa direction.

27. Il est clair que la grandeur de la résultante ne dépend que de la grandeur des vitesses composantes et des angles qu’elles forment deux à deux ; le second membre de l’équation (5) doit donc être indépendant delà position des axes choisis pour effectuer le calcul. C’est ce qu’il est facile de reconnaître : si l’on elîectuo les carrés et que I on groupe convenablement les termes, il vient

V*=o*(cos‘ a-t-cos* 6+ cos , c)-t-o' 1, (cos*a'4- cos* 6 ' 4 - cos* c') -+-... + 2bo* (cos a cos a' 4 - cos b cos 6 '- 1 - cos c cos c') -f- . . . ,

ou, plus simplement,

V* = v* 4 - 1?' 1 4 - e" 1 -^ ...-+- 2ev'cos (c, e') H-...

Le carré de la résultante est égal à la somme des carrés des composantes, plus deux fois la somme des produits que l'on obtient en multipliant ces composantes deux à deux et par le cosinus de l 1 angle qu elles forment entre files.-

Pour deux vitesses, ou a la relation

V î =t=®*4-»'*-t-2w'cos(», d'), que nous avons déjà trouvée. Pour trois vitesses, on a

V* = v 2 4- c’ 1 -+- v Vi -f 2eo' cos (b, v') 4 - 2» V cos (c ' , c") 4 - 2 e"v cois (v", b).