CHAPITRE
DÉFINITION DE L’ACCÉLÉRATION
Définition d« l'oooélér.Üon don. on mouT.rn.nt r.0ÜU»n. uniformément varié.
32. Oq dit qu’un mouvement rectiligne est uniformément m rié, lorsque la vitesse éprouve des variations égalés en temps égaux. Dans un pareil mouvement, on appelle accélération la variation de la vitesse dans l’umte de temps. L’accélération est positive si la vitesse augmente, négative
Si l’on désigne par t> 0 la vitesse initiale du mobile, c està-dire sa vitesse au temps! = 0, pare sa vitesse au temps I, et si l’on représente l’accélération par la lettre y, on a
* ou (1) e = e. + y<.
33 Appelons * la distance d’un point 0 fixe pris arbitrairement sur la droite à la position M du mobile au temps ! (/îa. 29 ). Nous savons que la vitesse v est la dén- V rig. ». vée de la distance x par rapport
au temps; réciproquement la v S * S r distance x est la fonction pri-
' milive de I» «*»• » » nsidér “ ^
Uiinos. Si l’on prend la fonction primitive de la foncüon
«0 •+■ y». et si l’on ajoute une constante x 0 , on aura
La constante *. désigne la distance OA de l'origine à
DÉFINITION DE L’ACCÉLÉRATION
la position initiale A du mobile, c’est-à-dire à sa position au temps < — O.
Supposons que la vitesse initiale v 0 soit nulle et que l’origine O coïncide avec la position initiale du mobile, on aura la formule simple
Ainsi, dans le mouvement rectiligne uniformément accéléré, quand la vitesse initiale est nulle, l’espace parcouru est proportionnel au carré du temps.
Il est bon de remarquer que l’espace parcouru par le
mobile pendant la première seconde est égal à c’est-àdire à la moitié de l’accélération,
34. Réciproquement, lorsqu’un mouvement est rectiligne, et que l’espace parcouru est proportionnel au carré du temps, le mouvement est uniformément accéléré. En effet, dans ce cas, l’espace parcouru x est représenté par la formule
dans laquelle la lettre a désigne une constante. Si l’on prend la dérivée de l’espace x par rapport au temps, on a la vitesse
v = t 2at.
Ainsi la vitesse croît proportionnellement au temps, et par conséquent le mouvement est uniformément accéléré. L’accélération est égale à 2 a.
C’est ce qui a lieu dans la chute des corps. Quand on observe la chute des corps dans le vide, on reconnaît que l’espace parcouru croît proportionnellement au carré du temps. Il en résulte, comme nous l’avons dit, que le mou-
LITRE l. CINÉMATIQUE.
vement est uniformément accéléré. On a coutume de représenter l’accélération dans la chute des corps par la let- • i gt 1 .
tre g, ce qui donne v=gt, . La constante g a pour
valeur 9,8088. Dans l’air, le mouvement n’est pas tout à fait un mouvement uniformément accéléré; la résistance de l’air modifie un peu ce mouvement.
35. La vitesse à chaque instaDl étant considérée comme une grandeur géométrique portée sur la droite X'X dans le sens du mouvement, on devra considérer l’accélération elle-même comme une grandeur géométrique portée sur cette droite, dans un sens ou dans l’autre, suivant cjue la vitesse augmente ou diminue.
La variation de la vitesse étant proportionnelle au temps, on voit que l’accélération est égale au quotient de la variation de la vitesse par le temps correspondant.
Définition de l'uocélération dans un mouvement rectiligne quelconque.
36. Soit v la vitesse au temps t, »-f- A» la vitesse au temps t-t- A/; la vitesse a éprouvé pendant l’intervalle de
temps A l la variation Ar ; le quotient ^ est ce qu’on appelle l’accélération moyenne pendant le temps AL Si le mobilo, dont la vitesse au temps f est », marchait d’un mouvement uniformément varié, avec une accélération
égale à l’accélération moyenne sa vitesse éprouverait,
al
après l’intervalle de temps A l, la variation observée A» et deviendrait »-+-Ar.
Imaginons maintenant que l’intervalle de temps A t di-
DÉFINITION DE L* ACCÉLÉRATION
niinue de plus en plus et tende vers zéro, le rapport-^ , ou
l’accélération moyenne, tendra vers une limite Gnie et déterminée. Celte limite est ce qu’on appelle l’accélération du mobile au temps t.
La vitesse c étant une fonction du temps, on voit que l’accélération y du mobile à chaque instant est égale à la dérivée de la vitesse t> par rapport au temps t. La vitesse étant elle-môme la dérivée première de l’espace x par rapport au temps, l’accélération est la dérivée seconde de l’espace. On a donc
v — Dp;, y — D,i? = D,’a:.
Par exemple, si, dans un mouvement rectiligne, l’espace parcouru est proportionnel au cube du temps, on a
x=at 3 , c = 3a f a , y=6at.
La vitesse est proportionnelle au carré du temps, et l’accélération proportionnelle au temps. ,
Définition de l'aooélératîon dane un mouvement curviligne.
37. Considérons maintenant un mouvement curviligne quelconque. Soit M la position du mobile au temps t. MA sa vitesse; M' la position du mobile au tempsi-t-Al, M'A' sa vitesse (fiy. 50). Par le point M menons une droite MB égale et parallèle à M'A', et joignons AB; la vitesse MB du mobile au temps <+ A< étant la résultante des deux vitesses MA et AB, on peut dire que AB est la variation qu’éprouve pendant le temps Af la vitesse considérée
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ng. jo comme une grandeur géo-
métrique. Nous donnerons à cette quantité AB le nom de variation géométrique de la vitesse, pour bien la distinguer de la variation purement numérique. Le rapport est ce qu’on appelle l'accélération
moyenne pendant le temps A t ; on la représente par une grandeur géométrique AG, portée dans la direction AB. Voici l'idée qu’on peut se faire de l’accélération moyenne : imaginons un système de points ayant un mouvement de translation rectiligne et uniforme, suivant la droite MA, avec la vitesse MA, et supposons que, daus ce système, un mobile ait un mouvement rectiligne uniformément accéléré dans la direction AB, avec une accélération égale à
