LIVRE 1. CINÉMATIQUE

dut que l’accélératiou du mobile projection est, à chaque instant, la projection de l'accélération du mobile proposé.

42. On peut ramener l’étude d’un mouvement curvi- Fig. si. ligne dans l’espace à celle de trois

*1 mouvements rectilignes. Menons

trois axes rectangulaires Oæ, Oy, O* (fig. 35), et projetons le mobile orthogonalement sur chacun de ces trois axes. Chacune des projections P, Q, R aura un mouvement rectiligne sur l’un des axes. Les trois distances OP, OQ, OR, que l’on désigne par x, y, z, en les affectant des signes convenables, sont des fonctions du temps

Si l’on connaît ces trois fonctions, on connaîtra à un moment quelconque t les trois coordonnées x, y, z du point M et par conséquent la position du mobile dans l’espace au temps t. Les dérivées premières de ces trois fonctions par rapport au temps donnent les vitesses des trois projections ; mais on sait (u° 13) que la vitesse de chaque projection est la projection de la vitesse du mobile proposé. Si donc on désigne par t> la vitesse MA du mobile au temps l, et par a, b, c les angles qu’elle fait avec les axes, on aura

i ucosa=D^r, rcos 6=D,y,

»cosc = D,ï.

définition de l’accélération. 45

En joignant à ces trois équations la relation habituelle

cos» a + cos* b + cos* c = 1 ,

on aura quatre équations qui détermineront la grandeur et la direction de la vitesse MA.

De même, les dérivés secondes des trois fonctions x,y, z par rapport au temps donnent les accélérations des trois projections; mais on sait (n° 40) que l’accélération de chaque projection est la projection de l’accélération MG du mobile proposé. Si donc on appelle y cette accélération MG, et a', b', c' les angles quelle fait avec les axes, on a les trois équations

1 yeosa'=D, , a;, y cos b'= D,Y y cos c'= D/x,

qui, jointes à l’équation

cos* a' + cos* b' 4- cos* c' — 1 ,

déterminent l’accélération MG en grandeur et en direction.

Nous avons déterminé l’accélération par ses projections sur trois droites rectangulaires quelconques. On l’obtient d’une manière plus simple en la projetant sur certaines droites liées intimement à la courbe que décrit le mobile, ainsi que nous allons le faire voir. Mais quelques explications préliminaires sur les propriétés des courbes nous sont nécessaires.