LIVRE I. CINÉMATIQUE

Plan oscillateur. JjJ

43. Considérons une courbe gauche dans l’espace, o’csi-à-dire une courbe non plane; les tangentes MA, M'A' (fig. 36) en deux points, même très-voisins M et M , ne se rencontrent pas et ne sont pas situées dans un même

plan; par le point M menons une parallèle MB à la tangente voisine M'A', les deux droites MA et MB déterminentun plan; imaginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M', la droite MB tournera autour du point M et se rapprochera de MA; pendant ce temps, le plan AMB tournera autour de la tangente MA et tendra vers une position limite; cette position limite est ce qu’on appelle le plan oscillateur à la courbe au point M.

Il est facile de faire voir que le plan AMB tend effectivement vers une position limite déterminée. Si, par un point arbitraire O (fig. 37), comme nous l’avons fait déjà, on mène des parallèles Oa , Oa' , à ces diverses tangentes MA, MA' à la courbe proposée, la droite Oa engendrera une surface conique; le plan «Oa' est parallèle au plan AMB ; or le plan aOa' tend vers une position limite qui est le plan tangent à la surface conique le long de l’arête Oa; le plan parallèle AMB tend donc vers une position limite parallèle à ce plan tangent.

DÉFINITION DE L ACCÉLÉRATION

L’accélération moyenne AG, étant située dans le plan AMD. il en résulte que l’accélération AG ou .MK au point M est située dans le plan osculateur à la courbe en ce pomt.

Quand la courbe est plane, le plan AMB est fixe, le plan osculateur en chaque point coïncide avec le plan de la courbe. Dans ce cas, l’accélération est constamment située dans le plan de la courbe.

44. Par le point M d’une courbe, on peut mener une infinité de perpendiculaires à la tangente MA ; chacune d’elles est une normale à la courbe; l’ensemble constitue le plan normal. Celle des normales qui est située dans le plan osculateur s’appelle normale principale; c’est l’intersection du plan normal et du plan osculateur. Quand la courbe est plane, la normale principale est la normale *

située dans le plan de la courbe.

Courbure.

45. Occupons-nous maintenant de la courbure. Considérons d’abord un cercle et supposons qu’un mobile décrive le cercle dans un certain sens; menons les tangentes en deux points M et M' ; l’an- Fig.as.

gle AlA'l/ty. 58) de ces deux tangentes, prises dans lesens delà vitesse, est ce qu’on appelle Y angle de conlimjence relatif à l’arc MM'; cet angle est égal à l’angle au centre MCM' formé par les rayons qui aboutissent aux deux extrémités de l’arc. Il est clair que, dans un même cercle.

LIVIIE I. CINÉMATIQUE.

à des arcs égaux correspondent des angles de contingence égaux entre eux; on appelle courbure de la circonférence l’angle de contingence qui correspond à l’unité d'arc, ou, ce qui est la même chose, le rapport de l’angle de contingence à la longueur de l’arc. Désignons par r le rayon du cercle; l’angle de contingence a est mesuré par la longueur de l'arc aa'dans le cercle dont le rayon est égal à l’unité ; on a donc

MM' - f’

Ainsi la courbure d’un cercle est mesurée par l’inverse du rayon. Quand le rayon devient deux, trois ... fois pltle grand, la courbure devient deux, trois ... fois plus petite.

46 . Considérons une courbe plane quelconque; l’angle de contingence « relatif à l’arc MM' est l’angle AIA' (fig. 39) Fig „ formé par les tangentes aux deux

■K, i * extrémités de cet arc; le rapport

est ce qu’on appelle la cour-

bure moyenne de l’arc MM'; c’est la courbure du cercle sur lequel un arc égal à MM' présente le même angle de contingence. Si l’on fait

tendre l’arc MM ' vers zéro, le rapport ou ta courbure

moyenne de l’arc MM', tend vers une limite déterminée; cette limite est ce qu’on appelle la courbure de la courbe au point M. Posons

hm MM' :

DÉFINITION OC L ACCÉLÉRATION . 49

le rayon r se nomme le rayon de courbure au point M, on le ligure par une longueur MC portée sur la normale principale MN, du côté de la concavité. Le point C est le centre de courbure.

Si la courbe est gauche, c’est-à-dire n’est pas plane, comme les tangentes aux deux extrémités de l’arc MM' ne se rencontrent pas, on mènera par le point M une parallèle MB (fig. 30) à la tangente M'A', l’angle AMB est l’angle de

contingence « relatif à l’arc MM', le rapport est la

AJ lu

courbure moyenne de cet arc et la limite de ce rapport est la courbure au point M; si l’on pose toujours

on a le rayon de la courbure r que l’on ligure par une longueur MC portée sur la normale principale.

MlmludM da l’aooéldraUon.

47 . Nous avons vu que l’accélération est située dans le plan osculateur à la trajectoire; on détermine ordinairement cette quantité géométrique en cherchant ses projections sur la tangente et sur la normale principale. Soit MA (fig. 40) la vitesse v au temps t, MB une droite égale et parallèle à la vi tesse v ' en M ' au tem ps

t •+■ At. Le rapport ^ ,

figuré par la longueur AG, , est l’accélération moyenne pendant le temps AL Du point G, abaissons une perpendiculaire G,H,

Fig. 40.

LITRE I. CINÉMATIQUE.

sur la tangente MA; Ail, sera la projection de l’accélération moyenne AG, sur la tangente; II,G, sur une perpendiculaire à cette tangente dans le plan AMB, du côté de la concavité. Du point B abaissons de même une perpendiculaire BD sur la tangente MA ; à cause des triangles semblables G, AH,, BAD, on a

^ h.g. ag. 1

AD DB AB At’

, . AD p DB

et par suite AH, = — , =

Ainsi, nous avons à calculer les deux rapports et — .

Commençons par ce dernier. Si l’on désigne par « l’angle de contingence AMB, on a, dans le triangle rectangle DMB,

et par suite

DB = MB. sin«=»'sina, DB sin «

Nous écrirons ce rapport sous la forme suivante

. sin a w MM'

* X 1T X MM' X At ’

introduisant au numérateur et au dénominateur les facteurs «et MM’, ce qui ne change pas la valeur du rapport. Faisons maintenant tendre A t vers zéro, la vitesse t>’ devient v; le rapport tend vers l’unité; la limite du

rapport est la courbure de la trajectoire au point M,

courbure que nous représenterons par r désignant le

DÊFIStnoS DE l’ ACCÉLÉRATION.

rayon de courbure ; enlin , le rapport a pour limite la vitesse v. On a donc

lim H.G.

.. DB p»

lim — =

Ai r

Le plan AMB ayant pour limite le plan osculateur, la normale H, G t , située dans ce plan, devient parallèle à ia normale principale au point M. On a ainsi la projection de l’accélération sur la normale principale ; celte projec-

tion a pour expression - .

Ai)

Occupons-nous maintenant du rapport — . On a Al) = MD — MA=i>' COS a — v ; si l’on remplace cos« par 1 —2 sin*^, il vient

AD = i>'|l — 2sin 1 ^j — v=e ' — v — 2o'sin*?,

AD v ' —

an 2

Le numérateur t>’— v du premier terme est la variation qu’éprouve la grandeur numérique de la vitesse pendant le temps A t, abstraction faite de la direction; le pre-

a donc pour limite la dérivée D,v de la

mier terme

vitesse considérée comme fonction du temps. Pour trouver la limite du second terme, nous l’écrirons sous la forme

2'X-aT

sm tî , a ■ 2

■v sm jr X

MM' * A t ‘