BG 1= G,U 1

BC CB 7 At ’

les triangles BG,H,, BGB' sont semblables, et les droites BU,, BB' coïncident; et, comme on a

BH, BG, 1 BB'^BC^At’

n „ BB' ...

d'où BH,=— ; •

on en conclut que la droite BH, représente l’accélération moyenne du mouvement résultant. Ainsi l’accélération moyenne BH, du mouvement résultant est la somme géométrique ou la résultante des accélérations moyennes BG, et G, II, des deux mouvements proposés.

Faisons maintenant diminuer jusqu’à zéro l’intervalle du temps At. Le triangle BG,H, tendra vers un triangle limite BGH, dont les trois côtés représentent les trois accélérations au temps t ; savoir : le côté BG, l’accélération du mobile dans le système A, le côté GH, l’accélération du système A, le côté BH, l’accélération du mouvement résultant. Ainsi, quand un mobile se meut dans un système

COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS

qui a un mouvement de translation dam un autre système, l accélération du mouvement résultant est la somme géométrique des accélérations des deux mouvements proposés.

54. Dans la démonstration du théorème précédent, nous avons supposé essentiellement que le mouvement du système A est un mouvement de translation. Pour bien comprendre la nécessité de cette hypothèse, imaginons dans le système A trois axes rectangulaires liés au système ; la position du mobile dans le système A sera déterminée à chaque instant par ses trois coordonnées relatives à ces axes ; de même la droite MA, qui représente la vitesse du mobile dans ce système au temps t, sera déterminée parles angles qu’elle fait avec les axes. Si le mouvement du système A est un mouvement do translation, les axes se transporteront parallèlement à eux-mêmes, et la droite MA, liée à ces axes, conservera la même direction dans l’espaco ; mais, si le mouvement du système n était pas de translation, les axes ne restant pas parallèles à eux-mêmes, la droite MA ne conserverait plus la même direction dans l’espace; au temps t+At, elle aurait, par exemple, la direction MA, (fig. 47). Soit MA' la droite qui représente à cet instant la vitesse du ri*. «. . ■ mobilo dans le système; la variation ru

géométrique de la vitesse apparente • •

du mobile serait, non pas AA', mais A,A'{ et, en effet, à cet instant t-f-At, A *

la droite qui représente la vitesse du mobile au temps t a la direction MA, ; c’est à la quantité géométrique MA qu’ua observateur placé dans le système compare la vitesse nouvelle MA', ce qui lui donne la variation apparente A, A'. tV

04 LITRE I. C1KÊ1UTWUE.

H v a encore un autre endroit dans la démonstration ou l’on suppose que le mouvement du système A est de translation. Soit M le point du système A où se trouve le mobile au temps t, M' le point de ce même système où il se trouve au temps H-At {fiy. 40); la vitesse AB se rapporte au point M, la vitesse A B' au point M' ; si le mouvement du système A est de translation, tous les points ayant au même instant la même vitesse, on peut dire que A'C et A B' sont les vitesses aux temps t et f-t-A/ d un même point quelconque du système, de sorte que CB' est la variation de vitesse de ce point. Mais, si le mouvement du système A n’était pas de translation, les vitesses A'C et A'B' se rapportant à deux points différents à des instants differents, CB ne serait plus la variation de vitesse d’un point du système.

Ainsi, le théorème, tel que nous l’avons énoncé, n’est vrai que si le mouvement du système A est de translation. Lorsque le mouvement du système n’est pas de translation, la détermination de l’accélération du mouvement résultant est plus compliquée. Cette question, qui sort des limites du cours, sera- traitée dans le supplément, à la fin du volume.

55. La théorie précédente peut être étendue à on nombre quelconque de mouvements. Un mobile se meut dans un système A, le système A a un mouvement de translation dans un système B, le système B a un mouvement de translation dans le système C, et ainsi de suite. On portera les unes à la suite des autres les quantités géométriques qui représentent les accélérations des mouvements proposés, la somme géométrique sera l’accélération du mouvement résultant.

La règle de la composition des accélérations est la même

COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS. 65

que celle des vitesses. On déterminera de la même manière l’accélération résultante par ses projections sur trois axes rectangulaires.

56. Il est facile de résoudre la question inverse de la précédente. On connaît le mouvement d’un mobile dans le système B et le mouvement de translation du système A dans le système B, on demande quel est le mouvement du mobile par rapport au système À. Nous avons dit (n° 28) que l’on obtient ce mouvement relatif en regardant le système A comme fixe, et supposant que le système B a dans lé système A un mouvement de translation égal et contraire à celui du système A dans le système B; il en résulte, comme nous l’avons déjà remarqué, que l'on obtient la vitesse du mouvement relatif en composant avec la vitesse du mobile dans le système B une vitesse égale et contraire à celle du système A dans le système B. La même règle a lieu pour l’accélération. Si MG (fig . 48) est l’accélération du mouvement du mobile dans le système A» GB1 celle du mouvement de translation du système A dans le système B,

MH représente l’accélératicn du mouvement du mobile dans le système B.

Réciproquement, on obtient l’accélération MG du mouvement du mobile dans le système A, en composant avec l’accélération MH du mouvement du mobile dans le système B une accélération HG égale et contraire à celle du mouvement de translation du système A dans le système B.

CAT s. \-