LIVRE n. DYNAMIQUE

Ces formules sont générales, si l’on regarde la distance x comme positive, quand elle est comptée à partir du point O de bas en haut, comme négative, quand elle est comptée en sens contraire; et de même la vitesse «comme positive ou négative, suivant qu’elle est dirigée de bas en haut ou de haut en bas.

L’élimination de t entre les deux équations (6) et (7) donne la relation

(8) v* — «„* — igx.

Le corps monte d’abord; mais la vitesse décroît; elle devient nulle quand

Telle est la hauteur OH à laquelle s’élève le corps. Arrivé au point H sans vitesse, le corps redescend d’un mouvement uniformément accéléré.

Le mobile passe deux fois au point M, une fois en montant, une fois en descendant. Il est à remarquer que le mobile, quand il repasse en M , reprend la même vitesse, maisdirigée en sens conlraire, etqu’il met, pour descendre de H en M, un temps égal à celui qu’il a mis pour monter de M en H. En effet, x désignant la distance OM , l’équation (8) donne pour la vitesse v deux valeurs égales et de signes contraires. D’autre part, de l’équation (7) on déduit

lé premier membre est lo temps compté à partir de l’instant où le mobile atteint le point le plus haut H ; la vit

MOUVEMENT DB8 PROJECTILES

tesse ayant eu M deux valeurs égales et de signes contraires, on obtient deux intervalles de temps égaux et de signes contraires. En particulier, le mobile revient au point de départ O avec la vitesse v 0 , et il met pour descendre un temps égal à celui qu’il a mis pour monter.

Ces résultats s’appliquent évidemment au mouvement produit par une force constante quelconque . quanti la vitesse initiale a la même direction que la force ou une direction contraire. Si l’on appelle F la force, m la masse

du mobile, et si l’on pose y— —, il suffira de remplacer, dans les équations précédentes, y par y.

Mouvement produit par une force constante, quand la vlteiae initiale a uno direction quelconque.

77. Cherchons maintenant le mouvement produit par une force constante F en grandeur et en direction, agissant sur un point matériel de masse m animé d'une vitesse initiale t’ 0 dans une direction autre que celle de

la force. Soient OX la direction celÜ de la force. Si la vitesse initiale était nulle, la force imprimerait au mobile un mouvement rectiligne u informé;ment accéléré dans la direction OY, et l’on aurait, en posant ’ F

y=— et désignant par y l’es-

dc la vitesse initiale, ÜY

Fig. 54.

pace parcouru, y=— . Imaginons, comme précédçm-

ment, un système de points matériels animés d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme dans la

LITRE II. DYNAMIQUE

direction OX, avec la vitesse u 0 . La force F, agissant sur le premier point matériel en particulier, lui imprimera dans le système un mouvement relatif qui est le même que si le mouvement de translation du système n'existait pas, c’est-à-dire que si la vitesse initiale était nulle. On a donc à composer deux mouvements rectilignes, l’un uniforme suivant OX, l'autre uniformément accéléré suivant OY. Prenons pour axes des coordonnées les deux droites OX et OY. Pendant le temps /, le mobile parcourt sur la . droite OY une longueur

y = OP =

mais, pendant ce temps, la droite OY se transporte parallèlement à elle-même eu NY', le point O de cette droite décrivant sur OX la longueur

x=ON = iy;

prenons sur la droite NY' la longueur NM égale à OP; le point M sera la position du mobile au temps t.

Si, entre ces deux relations, on élimine t, on obfient l'équation de la trajectoire

Cette trajectoire est une parabole ayant pour diamètre la direction OY de la force, et pour tangente au point O la direction OX de la vitesse initiale.

78. On sait que la vitesse du mouvement résultant est la résultante des vitesses des deux mouvements composants. Si donc on prend MA=u 0 , MB=y/, la diagonale

MOUVEMENT DES PROJECTILES. 89

MC du parallélogramme représentera en grandeur et en direction la vitesse du mouvement curviligne en M.

On sait aussi que l’accélération du mouvement résultant est la résultante des deux accélérations. L'accélération du mouvement uniforme étant* nulle, il en résulte que l’accélération du mouvement curviligne est constante en grandeur et en direction ; elle est représentée par une longueur MG égale à y et portée dans la direction MY\

79. Remarque. Dans la démonstration précédente, nous avons considéré, la force F agissant sur le poinL matériel proposé, dans un système en repos ou en mouvement de translation. Nous disons qu’une force est la même dans les deux cas, lorsqu’elle est représentée par deux grandeurs géométriques égales et parallèles, c’est-à-dire lorsqu’elle a môme valeur numérique et même direction.

Afin de préciser davantage , prenons pour axes des coordonnées trois droites rectangulaires liées au système; ces droites, si le système est en repos, seront fixes; s’il est en mouvement de translation, elles se déplaceront parallèlement à elles-mêmes. Un observateur, placé dans le système , déterminera la direction d’une force par les angles qu’elle fait avec les trois axes; si la force F a même valeur numérique; si, de plus, les angles qu’elle fait avec les axes sont les mêmes de part et d’autre , il est clair qu’elle sera représentée dans les deux cas par deux grandeurs géométriques égales et parallèles; ou dira que c’est la même force.

LrVHE II. DYNAMIQUE .

Projectile lancé dans nue direction quelconque.

80. Un mobile est lancé dans la direction OA (fi//. 55) Fig. ». avec la vitesse initiale r„;

il est soumis à l'action de la pesanteur : trouver son mouvement. La force qui sollicite le mobile étant constante en grandeur et en direction, cette question rentre dans celle que nous venons de traiter.

Imaginons, comme précédemment, un système de points matériels animés d’un mouvement commun de translation rectiligne et uniforme, avec la vitesse v 0 , dans la direction OA ; la droite verticale OY', après le temps t, se sera transportée parallèlement à elle-même en NY", le point 0 ayant décrit sûr OA la longueur ON égale à v 0 t; pendant ce temps, la pesanteur fait descendre le mobile sur cette

droite de la quantité NM égale à Si l’on prend pour

axes des coordonnées la direction OA de la vitesse initiale et la verticale OY' dirigée de haut en bas, on aura

x'— ON = v 0 t , y'= NM=— ,

et la parabole décrite par le mobile aura pour équation

Mais, pour étudier les diverses circonstances du mouvement, il est préférable de rapporter la trajectoire à des

MOUVEMENT DES PB0J1CTILE3

axes de coordonnées rectangulaires, savoir l’horizontale OX menée par la position initiale O du mobile, et la verticale OY dirigée de bas en haut. Si l’on désigne par a l’angle que fait la direction OA de la vitesse initiale avec l’horizontale QX, on a

x = OP = ON cos a = v 0 t cos a .

y = MP= NP — NM = ON sin a — NM = v 0 t sin a - Ç.

81. On peut obtenir directement les équations précédentes. Décomposons la vitesse initiale en deux vitesses, l’une horizontale v 0 cos a , l’autre verticale t 0 shj a. Imaginons un système de points matériels animés d'un mouvement horizontal rectiligne et uniforme, avec la vitesse «o cos a, et supposons que dans le système le mobile ait une vitesse initiale relative verticale r„sin a. et soit sollicité par la pesanteur. Le mouvement relatif du mobile dans le système sera le même que si le mobile était lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse initiale t’ 0 sin a et sollicité par la pesanteur; c’est le mouvement que nous avons étudié au numéro 7(5: il suffit de remplacer dans les formules v 9 par r e stti a. Le mouvement cherché sera le mouvement qui résulte de la composition de ce mouvement vertical uniformément varié avec le mouvement horizontal uniforme. On aura donc

x = r 0 cos « . / ,

y = c 0 sm a , t — *— .

L’élimination de donne l’équation de la trajectoire

yr a

y = x tang a — — .

/ r av 0 a COS 2 a