LIVRE II. DYNAMIQUE

Fig. J6.

82. La vitesse en un point quelconque M de la trajectoire est la résultante des vitessses des deux mouvements rectilignes. La vitesse horizontale MD est constante et

égale à e«cos a, la vitesse verticale ME est égale à t' 0 sin a — fjl; lad iagonale M A du rectangle construit surcesdeux vitesses repré-

ïr !

vTm n

Xa î

sente en grandeur et eu direction la vitesse du mouvement curviligne. Si l’on appelle v cette vitesse et 0 l’angle qu’elle fait avec l’horizontale, on a, en tenant compte de la formule (8),

(13) c cos 9 = MD=i' 0 cosse,

(14) v sin fl=MEs=t) e sin« — yt=ÿvf sin* a — lyy. On en déduit

(15) v» = MD 4- M E = «o* — igy.

Au sommet B de la parabole, la vitesse est horizontale et égale à t'„cosa, la vitesse verticale étant nulle. Le

mobile arrive en ce point au temps t = ?0 -J- 8 ; on

obtient les coordonnées de ce point en remplaçant t par sa valeur dans les équations ( 10 ) et ( 11 ),

r 0 * sin x cos «

•JC - IV y

y — BK :

«o* sin* x 2 9

L’élévation du sommet B est égale à la hauteur OH qu’atteint un mobile lancé verticalement, suivant OY, avec la vitesse initiale v 0 sin a. Il est évident, en effet, que, lorsque

MOUVEMENT DES PROJECTILES

le mobile atteint sa plus grande hauteur dans son mouvement vertical relatif, il passe au sommet de la parabole ; l’axe BK de la parabole divise la courbe en deux parties symétriques.

La formule (15) montre que la vitesse v du mobile va en diminuant à mesure que le mobile s’élève; elle acquiert sa valeur minimum au sommet B; puis elle repasse par les mêmes valeurs dans la branche descendante BC. Considérons deux points symétriques M et M' de la parabole; nous avons construit la vitesse au point Al , en la regardant comme la résultante d une vitesse horizontale MD et d’une vitesse verticale ME. Appliquons la même construction au point M'; la vitesse horizontale M'D' est constante, lavitesseverticaleM'E'achangédesens; car, lorsque le mobile, dans son mouvement vertical relatif, passe au point Q, c’est-à-dire revient à la même hauteur, en montant et en descendant, la vitesse est la même, mais de direction contraire. Les deux rectangles sont égaux ; les diagonales MA et Al'A' sont égales et font des angles égaux avec l’horizontale, mais l’une en dessus, l’autre en dessous.

83. Cherchons le point C où le projectile frappe le sol; la distance OC est ce qu’on appelle Yamplitvde du jet ; nous la désignerons par l. Les distances OK et KG étant égales à cause de la symétrie, on a

j a V sin « cos « y stn ag

On obtient directement cette longueur en faisant y = O dans l’équation (12) de la parabole. Le mobile arrive en C avec une vitesse égale à la vitesse initiale v„, et faisant avec l’horizontale l’angle a.