LIVRE 11. DT3AHiQU

L’amplitude du jet est proportionnelle ait carré de la vitesse initiale t’„; eile dépend aussi de l’anglé x, C’està-dire de la direction de la vitesse initiale. Supposons qu’on lance le projectile dans diverses directions avec une même vitesse initiale: la formule (18) montre que la valeur de l sera maximum quand on aura aa = 90°, ou a^dû'*. Ainsi, pour lancer le boulet le plus loin possible, ü faut tirer sous l’angle de 45 degrés. L’amplitude maxi-

mum est égale à — ; elle est égale au double de la hauteur

à laquelle s'élèverait le boulet si on le lançait verticalement avec la même vitesse initiale v 0 . La formule (18) montre aussi que l'amplitude du jet est la même pour des valeurs supplémentaires de a a, c’est-à-dire pour des valeurs de a également distantes de 45 degrés.

84. Proposons maintenant de déterminer dans quelle direction il faut lancer un boulet avec une vitesse initiale donnée t' 0 , pour atteindre un point donné M (/iy. 57),

Fig. 57.

dont nous désignerons les coordonnées par x t et y t . Les coordonnées du point M devant vérilier l’équation (12) de la trajectoire, on a l’équation

y, = x, tang « — j— ,

J ° âw? cos* a

mouveMeW Ms tttOiMetiixs.

qui détermtnei*a l'inconnue «. Si l'on remplaco cos s a par tang^ â ’ 0U air * vc a l’équation du second degré

(i9) tang 2 * — - tang « -+■ — Mf* + 1=0,

dans laquelle tang a est l'inconnue.

Tour que le problème soit possible, il faut que cette équation ait ses racines réelles, ce qui exige que la condition

soit remplie ; on eu déduit

Considérous la courbe qui a pour équation

cette courbe est UUc parabole LGL', dont le sommet G

est sur l’axe OY à une distance OG égale à — , le foyer en

O et le paramètre OL égala — . La condition (20) signifie

que le point M doit être situé au-dessous de oetle parabole. Quand cette condition est remplie, on a deux trajectoires passant par le point M.

Lorsque le point M est situé sur la parabole limite LGL', par exemple en S, lès deux racines de l’équation (19) étant égales, on n’a qu’une valeur de a donnée par la formule

tanga=— ,

et, par conséquent, une seule trajectoire passant par le point S.

UVRE II. DYNAMIQUE

85. Il est aisé de voir que toutes les trajectoires que l’on obtient avec une vitesse initiale v B , en faisant varier l’angle a de toutes les manières possibles, sont tangentes à la parabole limite. En effet, par tout point S de la parabole limite passe une trajectoire caractérisée par une valeur de a vérifiant la relation

De celle relation, on déduit la suivante :

' ~~ 9 tanga’

qui détermine un point S de la parabole limite par lequel passe une trajectoire donnée. La trajectoire, étant tout entière située au-dessous de la parabole limite, est évidemment tangente à celte parabole au point S. En d’autres termes, la parabole limite est l’enveloppe des trajectoires.

Quand « est plus grand que 45 degrés, le point de contact est sur l’arc GL; mais, quand a. est plus petit que 45 degrés, le point de contact est sur le prolongement. La trajectoire, qui correspond à la valeur a— 90“, touche la parabole limite au point G; celle qui correspond àla valeur «=45°, et qui donne l’amplitude maximum du jet, la touche au point L.

86. Nous avons dit que, lorsque le point M est situé au-dessous de la parabole limite LGL', deux trajectoires passent par le point M ; chacune des trajectoires peut rencontrer le point M, soit en montant, soit en descendant. Pour reconnaître laquelle de ces deux circonstances a lieu.

MOUVEMENT DES PROJECTILES

nous remarquons que le sommet d’une trajectoire, d’après l’équation (16), a pour abscisse

t'o* sinacosa

si la valeur de x t est plus petite que x t , la trajectoire rencontre le point M en descendant; c’est le contraire qui a lieu quand la valeur de x, est plus grande que x,. En remplaçant sin a et cos a par leurs valeurs en fonction de tang a, on a

x — tanKg

* y (1-t- taug*a)"

De l’équation (19) on déduit

i + tang 1 cc= 1 tang « — V- j ;

si l’on remplace 1+ tang** par sa valeur dans l’expression de x , , il vient

„ tang*

2 tang* —

Ainsi, la condition pour qu’une trajectoire rencontre le point M en descendant, c’est que la condition

tang*

* tang* — &

soit remplie. Comme on a évidemment tang«>. & , cette condition se simplifie et devient

22) tang*>a&.