LIVRE II. DTNAHIQUE

113. Septième question. Trouver le mouvement d’un point matériel placé au point A sans vitesse initiale et sollicité F| 7S par une force dirigée vers un

. oma point fixe 0 et proportionnelle à la distance [fig . 76).

Soit M une position quelconque du mobile; désignons par x la distance OM, affectée du signe + ou du signe — , suivant qu’elle est comptée dans le sens OA ou en sens contraire. La vitesse v et l’accélération y seront de môme positives ou négatives, suivant qu’elles seront dirigées dans le sens OA ou en sens contraire. Si m est la masse du mobile, la force qui le sollicite vers le point O peut être exprimée par — mgx, g. désignant une certaine constante; l’accélération est égale à — gx.; on a donc

(1) ü,’x = — gx.

A celte équation il faut joindre les conditions initiales; en appelant a la distance initiale OA, on doit avoir pour t = o

La question revient donc à trouver une fonction x de t satisfaisant à l’équation (1) et vérifiant les conditions (2). D’après l’équation (1), ]a fonction .r doit se reproduire en signe contraire et au facteur constant g près par deux dérivations; nous savons que le sinus et le cosinus jouissent de cette propriété. Posons

(5) x— Acos//jx-h Bsiu/p^ja; on en déduit

(4) D^r — — tyg siu t\fg -+- B[/~g cos t\f~ g,

ly* =a — A g cos tV~g — B/x siu (y^g = — gx.

Ainsi la fonction (3) satisfait à l’équation (1), quelles que soient les deux constantes A et B. On déterminera les valeurs de ces deux constantes parles conditions initiales (2). Si dans les expressions (5) et (4) on fait t = o, on dcàt avoir

Ainsi la (onction

(5) x — a cos t ÿp, d'où

(6) v — — «^gsin/^g,

satisfait à toutes les conditions du problème et, par conséquent, représente le mouvement cherché.

On voit que le mouvement est périodique ; le mobile oscille de part et d’autre du point O,; la période est égale

; elle se compose de deux oscillations AA', A'A égales

entre elles. Cette période est indépendante de l ’ amplitude a , elle ne dépend que de la constante g; on dit que les oscillations sont isochrones.

114. Huitième question. Mouvement d’un pendule simple écarté très-peu de la verticale CO et abandonné à lui-même sans vitesse initiale.

Appelons l la longueur CA du peu- 77

dulc (fig. 77); n l’écart initial OA; x l’arc variable OM , et 6 l’angle varia-

ble OCM, lequel a pour mesure j.

Nous regardons la vitesse v du point M comme positive ou négative, suivant qu’elle est dirigée dans le sens OA ou