LIVRE U. DYNAMIQUE

en sens inverse. Le point matériel M est sollicite par deux forces, son poids, tng représenté parla droite MB et la tension MD de la tige. Décomposons la force MB en deux forces, Tune ME=»?ÿsin 0 dirigée suivant la tangente, l’autre MH —my cos 0 dirigée suivant le prolongement de la tige. La composante tangentielle fait varier la vitesse, et l’on a

ma sin 0

ou D,\r = — ÿ sin -j.

L’arc ©étant très-petit, ou peut approximativement remplacer le sinus par l’arc, et l'équation se réduit à

La question est ramenée ainsi k la question précédente : tout se passe comme si l’arc OA était rectifié, et le mobile sollicité par une force dirigée vers le point O et proportionnelle à la distance. Il suffit, dans la formule (5) du

numéro précédent, de remplacer la constante g par

ce qui donne

(8) x—a cos t

La durée de l’oscillation est T— it V Les oscilla-

tions sont isochrones, c’est-à-dire indépendantes de l’amplitude.

H5. Neuvième question. Trouver le mouvement d’un point matériel animé d une vitesse initiale donnée et sollicité par une force dirigée vers un point fixe O et proportionnelle à la distance.

Il est évident que le mobile restera dans le plan mené par le point fixe O et la vitesse > Fig. 78.

initiale; prenons dans ce plan deux axes rectangulaires OX,

OY, passant par le point fixe.

Soit M la position du mobile au temps t; la force qui sollicite le mobile et qui est dirigée suivant le rayon MO peut être représentée par m or, m désignant la masse du mobile, r la distance OM, et p une constante donnée. L’accélération, dirigée aussi suivant MO, est pr ; ses projections sur les deux axes OX et OY sont — pr cos MOX et — pr cos MOY, • ou plus simplement — px et — py. On a donc les deux équations

| D ,'x=—px, \ D ïy^—py,

pour déterminer le mouvement des projections du mobile sur les deux axes.

D’après ce que nous avons dit précédemment, les fonctions x et. y sont de la forme

q. ( x=Acos<vAfi + Bsint|/>,

( y=A'cos/p r f*-t- B'sin/t/T»,

A, B, A', B' étant quatre constantes arbitraires que l’on déterminera par l’état initial du mobile. On obtiendra l’équation de la trajectoire eu éliminant t entre les équations ( 2 ); de ces équations on tire

B 'a: — By

cos/|/>—

sin/(/^t=

A y — \'x AB'-BA’’

138 LlVHt 11. liyNAHlQDË.

en portant ces valeurs clans la relation

cos a t \T + sin 1 1 \/~[t — 1 ,

on a l’équation

(3) (B'x — By)' + (Ay - A's)* = (AB'— BA )‘;

ainsi la trajectoire est une ellipse dont le point O est le centre.

Pour simplifier les formules, supposons le mobile placé • au point A, à la distance OA égale à a, avec une vitesse initiale r 0 perpendiculaire à OA; on devra avoir, pour (=o,

ce qui donne

les équation# (2) deviennent

ar=«cos<p r g,

y= p> sin< ^,

et la trajectoire a pour équation

Les composantes de la vitesse sont données par les formules

( c/j/gsin/t/g,

\ D,ÿ=« t cos//fi.

Il est évident que le point M', qui a pour coordonnées

î, '”Fp = ^; C0S ' , ^‘’

appartient à l’ellipse; d’ailleurs le rayon OM' est parallèle à la tangente en M, c’est-à-dire à la vitesse; on a donc o=OM' X V p- Ainsi la vitesse au point M est proportionnelle au rayon OM' conjugué de UM.

116. Dixième question. Mouvement dans un milieu résistant. Lorsqu’un point matériel se meut dans un milieu résistant, par exemple, dans l’air atmosphérique, il éprouve de la part du milieu une résistance dirigée en sens contraire de la vitesse du mobile, et dont la grandeur dépend de cette vitesse. Nous supposerons que cette résistance est une puissance de la vitesse, et nous la représenterons par mav n , n étant un exposant positif, m la masse du mobile et a un coefficient qui dépend de la nature et de la densité du milieu. Nous supposerons, en outre, que le corps, lancé avec une vitesse initiale t’ 0 , à partir du point O, n’est sollicité par aucune autre force que la résistance du milieu. La force qui sollicite le mobile étant dirigée en sens contraire de la vitesse, il est clair que le mouvement sera rectiligne et retardé ; l’accélération étant négative et égale à — av ", on a l'équation

(1) D,w = — av n .

Cette équation peut être mise sous la forme - • w - "D,w= — a;