LIVRE II. DYNAMIQUE
le mouvement serait uniforme. Mais, quand on abandonne le corps à lui-nième, sans vitesse initiale, le poids étant plus grand que la résistance, la vitesse augmente; la résistance augmentant avec la vitesse, l’accélération diminue de plus en plus, et la vitesse tend vers une limite égale à k : le mouvement tend ainsi à devenir uniforme On a l’équation
ou
IV y
En vertu de l’égalité
ik i i
celle équation devient
D.v D.u iq kTv + k—v~~~k’
On en déduit, en prenant les fonctions primitives,
L(A-|-t’) — L(A— o)= -jp C.
Si la vitesse initiale est nulle, la constante C est nulle, et l’on a
ou
A+u a gt
et par suite,
On voit que, lorsque t augmente indéfiniment, mente et tend vers une limite égale à k.
L’équation précédente peut s’écrire :
v aug-
On en déduit
il -ü
118. Douzième question. — Mouvement des projectiles dam f air. Nous avons étudié le mouvement des projectiles (liv. II, chap. h), en négligeant la résistance de l’air. Pour donner une idée des modifications qui en résultent, il nous suffira de traiter le cas très-simple où là résistance est proportionnelle à la vitesse.
Prenons pour axes des coordonnées, comme au numéro 80, l’horizontale OX menée par la position initiale du mobile, et la verticale OY dirigée de bas en haut (fig. 79). Si l’on appelle 0 l’angle que fait la vitesse avec l’horizon, la résistance, qui est dirigée en sens
lfvbe n. dynamique.
contraire de la vitesse, a pour projections — muocosfi, muv sin 0, c’est-à-dire — ma\) r c, — mal), y . On a ainsi les deux équations
Si l’on pose D >y=ÿ, les deux équations pré-
cédentes deviennent
^ D,j ü'——ax\
rl) I D,y'=-y-«y'.
I,a première de ces équations montre que la fonction x' se reproduit elle-même, à un facteur constant près, par la dérivation. On a donc
x'=ke- a ‘ ou D&= S.e~ at .
En prenant la fonction primitive, on eu déduit
On détermine les deux constantes A et B par la condition «lue, pour i = o, on ait x=o et Drr= *>„ cos «, ce qui donne
D r r= e 0 cos » X e
La seconde des équations (2)
peut s’écrire
si l’on pose ÿ , + "f ==: 3 > C H C ( l ev * üUl l),s=— az,
et prend la même forme que la première. On a donc z= AV-"',
et par suite
\y,y~y'=—-l -g AV- 1 " ; on en déduit
yt AV“ al
On déterminera les deux constantes A .et B' par la condition que, pour t=o, on ait y=o, et D,y = n„sin a. ce qui donne a 4- u 0 sin «, et par suite
(5) y=»' + ïï.jilî±i! (l e .„ )i
(1 fl 1 '
(6) b,y=-Jii + ^osina+y
En \ertu de I équation ( 3 ), l'abscisse .r tend vers une va-
ieui égalé a - — , quand t augmente indéfiniment ; 011
en conclut que la courbe décrite par le mobile est asymptote à une droite verticale AB menée à une distance
de I origine égale. à 0 j — . La composante horizontale de
la vitesse, donnée par l’équation ( 4 ), tend vers zéro, tandis que la composante verticale, donnée par l’équation (6),
tend vers une limite égale à — Cette limite est la vitesse pour laquelle la résistance de l’air serait égale au poids du corps. Ainsi, le mouvement tend à devenir rectiligne et uniforme. Dans la figure, la ligne ponctuée représente la parabole que décrirait le projectile dans le vide; la ligue pleine, la trajectoire qu’il décrit dans l’air.
