LIVRE II. DYNAMIQUE

crit une trajectoire curviligne AB {/if/. 88). Inscrivons dans la courbe une ligne polygonale d’un très-grand nombre de côtés trèspetits : soit MM' l’un des côtés.

Appelons E 'la valeur de la force -4L proposée au point M , « l’angle qu’elle fait avec la tangente MT.

a, l’angle qu’elle fait avec la direction du côté MM'. Considérons

F X MM' X cos a, ;

ce produit est le travail île la force F supposée constante , pour le déplacement rectiligne MM'; formons un produit analogue pour chacun des éléments de la ligne polygonale, et faisons la somme de ces produits, somme que nous désignerons par

2 (F X MM' X cos «,).

Si I on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite dans la courbe AB, de manière que chacun d eux tende vers zéro, la somme précédente tendra vers une limite déterminée; c’est cette limite qu’on appelle travail de la force F pour le déplacement AB.

Pour abréger le discours, on appelle travail élémentaire le produit F X MM' côsat,, de sorte que le travail de la force F, pour le déplacement AB, est la limite de la somme des travaux élémentaires.

120. Il est aisé de voir que la somme cousidérée précédemment tend bien vers une limite déterminée. Sur une droite, à partir d’un point lise A, portons, les uns à la

TR AVAU. RT PUISSANCE VIVE

suite des autres, les divers éléments de la ligne brisée : l’élément MM' prendra la position et la ligne bri-

sée, développée, deviendra AB, (//y. 89 ). Au point M, élevons une. perpendiculaire M,N, égale à Fcos a, : le produit F K MM' X eos a, sera représenté par l’aire du rectangle N|M,M',E„ et la somme des produits par une somme de rectangles. Quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions, la’longueur AB, augmente un peu, et tend vers une limite AB, qui est la longueur de la courbe AB ; de même, si le point M est un point déterminé de la courbe, la longueur AM, tend vers une limite AM, qui est la longueur de l’arc de courbe AM; en même temps, la direction du côté MM' ayant pour limite la tangente eu M, l’angle a, a pour limite a, et la quanti lé F cos a, devient F eos a; l’ordonnée M,N, tend donc vers l’ordonnée MN égale à F cos ai le lieu du point N est la courbe CD, qui a pour abscisse AM. l’arc de trajectoire AM rectifié, et pour ordonnée F cos a, c’est-à-dire la projection de la force sur la tangente MT. La somme des rectangles a évidemment pour limite faire comprise entre la courbe CD, la droite AB et les ordonnées extrêmes AC et BD.

L’aire comprise entre l’ordonnée lise AC et l’ordonnée mobile MN étant une fonction primitive de l’ordonnée MN considérée comme une fonction de l’abscisse AM, on peut dirç que le travail de la force F, relatif au déplacement curviligne AM , est une fonction primitive de la composante tangenliefle F cos a de la force, considérée comme une fonction de l’arc parcouru AM.

Fig. 89.