LIVRE II. DYNAMIQUE

Chercbous d’abord le travail nécessaire pour imprimer à un mobile de masse m uue vitesse v. Supposons le mo- Fig . bile placé au point O sans vitesse

. initiale, et sollicité par une force

* constante F dans la direction OX (fig. 92). Le mouvement est rectiligne et uniformément

accéléré ; l’accélération y de ce mouvement est égale à — .

Si l’on appelle v la vitesse au temps t et x l’espace parcouru, on a

v=yt,

d'où l’on déduit v t =iyx,

v ’ mu*

et par suite x — — = — rr.

i ay ar

Après le temps t, quand le mobile possède la vitesse v, la force cesse d'agir; le mouvement devieut alors uniforme et le mobile conserve la vitesse v. Pour avoir le travail produit par la force, il faut multiplier la force par le chemih décrit par le mobile pendant que la force agit sur lui. On a, en désignant par T ce travail positif,

T=Fx # = — — .

Ainsi, pour mettre un corps en mouvement, il faut dépenser une quantité de travail moteur égale à la puissance vive guc t on veut communiquer au corps.

Inversement, un corps est en mouvement, cherchons le travail nécessaire pour amener ce corps au repos. Supposons que le mobile passe au poiut 0, au temps t—o, avec

TRAVAIL ET PUISSANCE VIVE

une vitesse initiale t> 0 dans le sens OX; à partir de cet instant, une force constante le sollicite en sens inverse; le mouvement est uniformément retardé, et l’on a

F , , yt'

y = -, v=v 0 -yt , x=v 0 t i—, .

Après le temps <=— , la vitesse devient nulle, la force

cesse d’agir et le mobile reste en repos au point A. L’espace OA parcouru par le mobile est

oa=^’=Æ\

et le travail dû à la force est

T=FxOA = -^

Ainsi, pour arrêter un corps en mouvement, il faut une quantité de travail résistant éqalc à la puissance vive du corps.

On voit par là comment des quantités égales de travail et de puissance vive se transforment l'une dans l’autre. Dans le premier exemple, une certaine quantité de travail moteur se transforme en une quantité égale de puissance vive ; dans le second exemple, une certaine quantité de puissance vive accomplit une quantité égale de travail résistant Nous allons maintenant démontrer le théorème général.

* On appelle communément foret vive ta quantité mt>\ c'est-à-dire le produit de la masse par le carré de la vitesse. Mais cette locution est trèsdéfectueuse; elle a d'abord l'inconvénient de rappeler l’idée de force, tandis qu'il n'y a aucune analogie enlrc la quantité mv‘ et la force; en-

LITRE II. DYNAMIQUE

THÉORÈME

150. La variation de la puissance vive d'un mobile, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur le mobile pendant le même temps.

La somme des travaux des forces est égale au travail de leur résultante R (n° 128). Nous avons vu (n° 126) que, si l’on considère le travail T de la force R comme une fonction de l’arc s décrit par le mobile sur la trajectoire pendant le temps t, cette fonction admet pour dérivée la projection de la force sur (a tangente, c’est-à-dire R cos A ; on a donc

D,T=R cos A.

La résultante R des forces qui agissent sur le mobile étant égale au produit de l’accélération y par la masse m du mobile (n° 100), on a D.T =my cos A; d’autre part, la projection y cos A de l’accélération sur la tangente ayant pour expression D,o (b° 47), il vient

D,T— mD,w.

Cherchons la dérivée du travail par rapport au temps. On a

AT AT As

A< As X A/ ’

suite ce n'est pas la quantité mt>* qui se présente dans les théorèmes de mécanique, mais sa moitié c'est pourquoi nous avons adopté l’expression puissance vive, proposée par M. Bélanger, professeur à l’École polytechnique, pour désigner la quantité

TRAVAIL ET RUI8SANCE VIVE

et par suite

AT

hm ÂT

AT

ai , A s

iun-r- xhm-,

ou D,T = üD,T == mvb,v.

Si l’on remarque que

on a finalement

Ainsi le travail et la puissance vive sont des fonctions du temps qui ont leurs dérivées égales. Mais on sait que deux fonctions qui admettent la même dérivée ne diffèrent que par une constante; on a donc

Si l’on compte le travail à partir du temps t—o, et que l’on appelle r 0 la vitesse du mobile à cet instant, on devra avoir

d’où

et par suite

Ainsi, la variation de la puissance vive, pendant un certain temps, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur le mobile pendant ce temps.