LIVRE fl. DTÏMM1QWE

134. Deuxième question. Considérons un pendule simple placé dans la position verticale OA, et le point matériel animé d’une vitesse initiale *• t’ 0 ; désignons par 9 l’angle variable

AOM.etparz la hauteur AP (fig. 96); si l’on pose v 0 l = igh, on a

( 1 ) «’==<— igz=ig[h— s),

M . rmf ' a mg (h — z)

N — mg cos 9= = — ^ -,

(2) H ( h ~ | m, A r — z ) mr ! + r ~ 3 -) .

Quand h est moindre que le diamètre a r, le pendule oscille de part et d’autre de la verticale. Quand h est plus grand que ar, le pendule tourne indéfiniment.

L’équation (2) donne la tension N de la tige ; cette tension est positive ou négative suivant qu’elle est dirigée vers le centre ou en sens inverse. Lorsque la tige du pendule est rigide, elle peut exercer sur le point M une action dans l’un et l’autre sens; mais quand c’est un fil flexible, elle ne peut que tirer le point M vers le centre. Dans ce cas, pour que le mobile tourne indéfiniment sur le cercle, il ne suffit pas que h soit plus grand que ar, il faut encore que la tension N reste positive ; comme au point A', pour

z=ar, on a N—-- — - — — — , la condition est — .

Quand la hauteur h est moindre que r, il est clair que la

tension est toujours positive. Mais quand h est comprise

entre r et — , la tension change de signe au point C pour ih t

lequel z — — - — ; cette valeur de z étant moindre que h.

ri*, as.

TRAVAIL ET PUISSANCE VIVE

le mobile possède encore au point C une certaine vitesse

If/ [fi — v)

e, donnée par la formule »,*= -* •-■ - j — au delà du point

C la tension devient négative. Si le fil est flexible, le mobile quitte le cercle au point C et se comporte comme un point pesant lancé, à partir du point C, avec la vitesse initiale v, suivant la tangente au cercle ; il décrit donc un arc de parabole CDE tangent au cercle au point C. On peut remarquer, en outre, que le rayon de courbure de la parabole au point C est égal au rayon r du cercle ; car la tension N étant nulle au point C sur le cercle, on a pour

les deux courbes — = — a cos 0.

Quand on fait tourner en cercle un vase contenant de l’eau, pour que l’eau ne quitte pas le vase à la partie supérieure du cercle, il faut que la vitesse, au point le plus bas, soit plus grande que V 5<jr.

Voici une autre application de la même question : imaginons que des rails de chemin de fer soient placés sur un plan incliné I [fig. 97) et que, à la suite, des rails courbes soient disposés suivant un cercle vertical ; un wagon est placé au point I sans vitesse initiale; arrivé en E, il s’engage dans le chemin circulaire. Si l'on appelle A la hauteur AH du point dedépart I au-dessus du point le plus bas A, la vitesse en A sera égale à j/a <jh; il est clairque le chemin circulaire ne peut exercer sur le rayon qu’une réaction normale dirigée vers le centre; pour que le wagon ne quitte pas le cercle,

il faut donc que la hauteur h soit plus grande que — .

Fl*. #7.