CHAPITRE II
CENTRES DE GRAVITÉ
149. Los poids des diverses molécules qui composent /im corps solide sont des forces parallèles et de même
sens ; leur résultante, qui est égale à leur somme, s'appelle le poids du corps. Le point d’application de cette résul tante, ou le centre des forces parallèles, porte spécialement le nom de centre de gravité.
D’après ce que nous avons dit précédemment, il est clair que la position du centre de gravité dans le corps ne change pas, quand on donne au corps solide diverses positions; d'ailleurs, on peut remarquer que J’aire tourner le corps solide, sans changer la direction des forces, revient à changer la direction des forces parallèles par rapport au corps solide supposé immobile. Le centre de gravité d’un corps solide doit donc être regardé comme un point parfaitement déterminé, situé à l’intérieur du corps et indépendant de la position du corps.
150. Nous avons défini la masse d’un point matériel ou d’une molécule. La masse d’un corps est la somme îles masses des différentes molécules qui le composent. Lorsque des parties de même volume dans le corps ont des masses égales, on dit que le corps est homogène, et l’on appelle densité du corps la masse renfermée sous l’unité de volume, c’est-à-dire la masse d’un mètre cube. Ainsi, le poids d’un mètre cube d’eau étant 1000 kilogrammes,
la densité de l’eau est égale à — — Si l’on appelle V le
CEHTIIES DE GRAVITÉ. 101
volume d’un corps homogène, d sa densité, M sa masse, P son poids, on a
M = rfV, P=M
Quand un corps est homogène, on peut concevoir sa masse comme repartie uniformément et d'une manière continue dans tout le volume occupé par le corps. On assimile ainsi, par la pensée, le corps à un volume continu, et on ramène la recherche du centre de gravité à nue question purement géométrique.
Lorsqu'un corps a une épaisseur très-petite, si l’on fait abstraction de cette épaisseur , on assimile le corps à une surface; telle est, par exemple, une feuille de tôle très-mince. Quand des. aires égales ont des niasses égales, on dit que la surface est homogène.
De même, lorsqu’un corps a une épaisseur et une largeur très-petites, si l’on fait abstraction de ces deux dimensions, on l’assimile à One ligne; tel est, par exemple, un fil de fer très-mince. Quand des longueurs égales ont des masses égales, on dit que la ligne est homogène. Dans ce qui va suivre, nous ne considérerons que des corps homogènes, lignes, surfaces ou volumes.
1 51 . Lorsqu'un corps homogène a un centre de figure O, il est clair que le centre de gravité coïncide avec le centre géométrique. On peut concevoir, en effet, que le corps soit composédc molécules ou de points ma. ri*, nw.
tériels égaux m et m', placés deux à deux symétriquement par rapport au centre O [fig. 109 ) . La résultante des poidsdesdeux points matériels m et m' est appliquée au milieu de la droite mm ', c’est-à-dire au
centre du corps. En opérant de même pourchaque couple de points symétriques, on aura un certain nombre de forces appliquées au point O : la résultante totale est donc appliquée en ce point.
De même, lorsqu’un corps homogène a un plan de symétrie P (/<</. 110), il est clair que le centre de gravité est situé dans ce plan. On peut, en effet, regarder le corps comme composé de points matériels égaux »? cl ???', symétriquement placés deux à deux par rapport au plan P ; la résultante des poids des deux points matériels m cl m'est appliquée au point i, milieu de
l'Ig. HO.
la droite mm' et situé dans le plan P. On aura- ainsi un certain nombre de forces parallèles ayant leurs points d’application dans le plan P ; le point d'application de leur résultante sera aussi situé dans le plan P.
Il résulte de là que le centre de gravité d’une ligne droite homogène est au centre, ou au milieu de la droite! que le centre de gravité d’un cercle homogène coïncide avec le centre du cercle, et que de même le centre de gravité d’une sphère homogène CQïncide avec le centre de la sphère.
Contre de gravité d'un triangle.
152. Nous ferons remarquer d’abord que le centre de fi„. m. gravité d'un .parallélogramme ho-
, tnogène coïncide, avec le centre du
~7 parallélogramme, qui est le point d’intersection 0 des diagonales * B (fig- m ); on peut dire encore
CENTRES DE GRAVITE
que le centre 0 est le milieu de la droite EF, qui joint les milieux de deux côtés parallèles.
Considérons maintenant un triangle homogène ABC (Aÿ-112) ; joignons le sommet A au milieu D du côté opposé BC; partageons la droite AD Fig. m.
en un certain nombre de parties égales; par les points de division D', D", ... menons des parallèles au côté BC, et par les points B', C',
B",C",.. . où ces droites rencontrent les deux côtés AB et AC du triangle, menons des parallèles à la droite AD, nous formerons ainsi un certain nombre de parallélogrammes. Le centre de. gravité du premier parallélogramme est situé au milieu de la droite DD', qui joint les milieux de deux côtés parallèles; le centre de gravité du second parallélogramme est situé de même au milieu de la droite D'D", et ainsi de suite. Les poids des divers parallélogrammes étant appliqués en des points de la droite Al), le centre de gravité de leur somme, ou le point d’applicatiou de la résultante, est situé aussi sur la droite AD. Supposons maintenant que l’on augmente indéfiniment le nombre des divisions de la droite AD, il est clair que la somme des parallélogrammes a pour limite l’aire du triangle ; on en conclut que le centre de gravité du triangle est situé sur la droite AD, qui joint le sommet A au milieu du côté opposé.
De même, le centre de gravité du triangle est situé sur la droite BE, qui joint le sommet B au milieu E du côté opposé AC [fig. 113) ; il se trouve doue au poiut d’intersection G des deux droites AD et BE. Le centre de gravité devant aussi être situé sur la troisième médiane CF, on en
194 LIVRE in. ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES.
Fig. 113.
conclut que les trois médianes d’un triangle passent par le centre de gravité. La droite DE. qui divise en ileux parties égales les deux côtés CB et CA du triangle, est parallèle au troisième côte AB et en est la moitié; les deux triangles DGE, AtiB sont semblables et donnent les rapports égaux
GD
AG
