PESANTEUR UNIVERSELLE

centrifuge due à la rotation de la Lerre représente l'attraction d'une sphère homogène de rayon p. On a d'ailleurs p = 6 371 000 mètres, comme il résulte de l'élude de la figure de la lerre.

D'ailleurs le rayon équalorial de la terre étant p„, on a d'une part p, =6378 284"'et d'autre part- = 60,273.

On trouvera ainsi pour le premier membre de l'égalité E le nombre 9"',8 21S par seconde; or les observations du pendule en divers lieux du globe donnent pour la valeur de (j sur le parallèle dont on vient de parler :

La différence des deux nombres 9,8 215 et t),8 212 est O'",0 003, elle est de l'ordre des erreurs d'observation faites sur g ou sur les autres éléments du calcul. Ainsi est donc véritiée l'identité de l'attraction astronomique et de l'attraction à la surface même de la terre.

— Les équations III de la mécanique céleste renferment implicitement par leurs termes m, les corrections qui doivent être apportées aux mouvements Képlériens ; ces perturbations apportent dans la disposition des orbites approchées des changements analogues à ceux de la précession, il est remarquable que les moyens mouvements et par suite aussi les grands axes des orbites approchées n'éprouvent que des variations périodiques.

Mais nous arrêterons ici notre excursion sur le domaine I astronomique.

il nous reste à apprécier l'influence que la découverte de l'attraction a exercée sur la mécanique générale.

— Il est impossible de nier que les conceptions dyna-

LES FONDATElinS. 43

iniques de Galilée n'aient condait Newton vers la découverle de l'attraction.

Mais si la notion de la force a joué un rôle historique dans cette mémorable découverte, il faut bien convenir que son rôle astronomique est parement cinématique.

Les masses en définitive ne jouent là que le rôle de simples coefticients, le problème consiste dans la prévision de mouvements.

Le mode de prévision des mouvements qui a si admirablement réussi en astronomie mérite d'être particulièrement souligné.

L'accélération de chaque point du système a pu être prédite, non pas en fonction de l'heiire qu'il est, mais en fonction des positions des différents points du système.

Quand l'accélération est ainsi définie pour chaque mobile, comme fonction des positions (on dit comme fonction de points) et que les vitesses et les positions initiales sont regardées comme des circonstances accessoires et arbitraires, incapables de modifier la loi admise pour la prédiction des accélérations, on dit que le système considéré est soumis au déterminisme mécanigne.

Y a-t-il des postulats généraux de la mécanique indépendants de celte hypothèse si spéciale? C'est ce que nous examinerons dans la prochaine leçon.

Les postulats et les principes généraux de la mécanique.

— Il y a en mécanique deux é'coles qui se distinguent surtout l'une de l'autre par la manière dont elles conçoivent la nation de farce.

— Pour certains esprits il n 'ij a à considérer dans l'univers que des masses en mouvement, pour eux la force motrice .d'un point matériel est le produit d'un certain coelftcient positif relatif à la quantité plus on moins grande de matière qui est condensée en ce point par le vecteur accélération.

Cette définition est légitime à condition de ne pas oublier qu'elle est subordonnée aux deux repères du mouvement (axes et liorloges)àrégard desquels le mouvement est défini.

Montrons d'abord l'influence de l'horloge dans la définition de l'accélération : soit t le temps marqué à l'horloge a, et 9 le temps marqué à l'horloge «, soient x, y, s, les coordonnées cartésiennes du mobile. Soient 7 et y les deux accélérations du même mouvement envisagé dans les deux horloges a et ce, les projections ,des vecteurs/ et y sur les axes sont respectivement :

I,IÎS FnNDATIÎI'RS. 4j

On a d'ailleurs pour toute fonction u de /. envisagée comme fonction de 0.

du ~ dl M' dd^'- df \d%J idïdir'

On aura donc, en désignant par ii^, Uy, u., les projections de la vitesse u relative à la première horloge :

ii<j ) . idty . d'-i

= di r^^hAdi) +"»,-i;î

f ri= f . fdt\^ , dn

\ "^ = s l v=^^U) +"=dir'

Ces équations expriment que le vecteur y est la somme géométrique du vecteur jy^A porté dans la direction Ae j et dn vecteur îï^p compté dans la direction de u ou dans la direction contraire suivant que g est positif ou négatif.

Nous exprimerons qu'un vecteur A est la somme géométrique de deux vecteurs B et G par Yégalité vectorielle :

A ^ li + C

soit ; égale fféométriq II finenl , Le signe " s énonçant . , . ,,

soit : éqwpolletil a :

avec celte notation condensée, nous pouvons écrire :

égalité où les lettres ■{, j. u sont des vecteurs et les quantités f tt] et yi, sont NUMKHIQL'ES.

; liR nKPÈiiKS.

Soit m la masse du point eu mouvement, si la force motrice est F = mj sous la première horloge et tp =my sous la seconde, on aura

„ / dt 'f , d't

mil est ce qu'on appelle l'impulsion dans le premier mouvement, désignons ce vecteur par I, on aura

Quant à la manière dont la force ou l'accélération varie avec ce système de coordonnées, elle résulte d'un théorème bien connu de Goriolis que nous allons rappeler. Rappelons d'abord un théorème de géométrie.

Quand un système rigide S' (représenté par trois axes O'X', O'Y', O'Z') se déplace par rapport à un système rigide S (représenté par trois axes OX, OY, OZ), le déplacement rigide du système peut être obtenu par une transla- 2 tion rectiligne S' égale

I s au déplacement recti-

y~—- — «' ligne du point 0' suivi d'une rotation du système S' autour d'un axe passant par la nouvelle position de 0'. L'axe et ——— — — X la grandeur de celte rotation sont évidemment indépendants du point 0' choisi dans le corps

.ES FONDATKURS,

S', puisque celle l'olalion défiiiil le cliaiigcment d'orienlation du corps.

On conclut de là que si l'on considère un poiril M' lié învariablemenl au système rigide S', la vitesse de ce point dans son mouvement par rapport à S est la somme géométrique de la vitesse du point o' el de la vitesse du point M' entraîné dans la rotation. Si le point M', au lieu d'être lié invariabiement an système rigide, est en mouvement relatif par rapport à ce système, il suffit d'imaginer que du temps t au temps i + ^' sa trajectoire G' est enlraînée avec S' el que le mobile M', d'abord maintenu fixe sur celte trajectoire, n'éprouve son déplacement relatif qu'après l'arrivée du système S' en sa seconde position; de là résulte immédiatement que la vitesse du point mobile par rapport au système S est la somme géométrique de la vitesse d'entraînement du point M' (entraîné fixe sur S') et de sa vitesse relative.

Supposons toujours connu le mouvement de S' par rapport à S et le mouvement relatif de M', cherchons encore l'accélération de M' dans son mouvement par rapport au système S.

Il sera commode, pour celle recherche, de rattacher i'accéléralion à la déviation, et considérant les déplacements entre les époques t Q\ t -\- dl infiniment voisines, de prendre pour point 0'

A8 TliÉûliÈME IIE COKIÛLIS.

la position M' du mobile à l'époque t. Il s'agit de situer d'abord exactement le point mobile à l'éfioque ; + dl. Et d'abord, nous allons situer exactement la trajectoire. Pour cela, donnons au système S' une translation curvilipie égaie au déplacement continu M'N du point M' par rapport à S, la trajectoire M'C -vient alors en ND' ; puis faisons tourner celle trajectoire autour de l'axe NI avec une vitesse angulaire convenable O, elle viendra en NE'; soit, d'ailleurs, M'H' le déplacement relatif de M', le point H' vient en v après la première translation et de v en v' après le second mouvement de rotation.

Portons, d'ailleurs, sur la tangente à M'C le déplacement tangenlieî égal au produit de la vitesse relalive v,. par l'élément dt du temps

M'A' ^vrdt

portons de même tangentiellement à la trajectoire MN le déplacement langentiel d'eulraînement égal au produit de dl par la vitesse d'entraînement y,,

soil B le sommet opposé à M' dans le parallélogramme construit sur M'A' et M'A comme côtés contigus ; si l'on joignait M'B, on aurait (d'après le théorème sur îa composition des vitesses) le déplacement tangenlieî relatif à la trajectoire absolue^ de sorte qu'en joignant les points B et v', le vecteur Bv' sera la déviation dans le mouvement absolu. Soit, d'ailleurs, la droite NH menée de N égale et parallèle à M'A' ou à AB. On a évidemment sur la figure

Bv':=;mi4-ïiv + vv'

yGoosle

MIS FOMIATKUllS

d'où, en muUipliant par-rr

faisons tendre rfi vers zéro cl. passons à la limite. On a d'abord

lira, — TTâ- ™ accélération absolue ^' /„.

lim. -7-r " lim. ^^-^ " accélération d'entraînement ^ /^

Reste à évaluer la limite de -3-.-^

Observons d'abord que le point H est à une distance du point V de l'ordre de rf^^ c'est-à-dire du second; le point v est d'ailleurs à une distance infiniment petite du premier ordre de l'axe NI. Les déplacements des points v et H dus à une même rotation Q dl autour de NI sont donc aux quantités infiniment petites du troisième ordre près égaux et parallèles, soit H" la position de H après la rotation Q dt on aura donc

Or, si ïï désigne l'angle UNI de la vitesse relative et de l'axe de rotation Nï, on aura

HH" — NH sin •j.ildl^ v,. sin a ri(- Q

yGoosle

L ÉCOLE Dr FIL.

donc enfin ia limite numérique de -^ est'iu,, sin a û; ^a

direction est perpendiculaire à v, et à fl.

On peut encore dire que ce vecleur complémentaire est le double de la vitesse du point figuratif de l'extrémité du vecteur qui représente la vitesse relative v,. lorsqu'on fait tourner ce point figuratif autour d'une parallèle à !a rotation û menée par l'origine de la vitesse tv et avec cette vitesse de rotation Q ; désignons cette accélération complémentaire due à la rotation û paryg et nous avons pour exprimer le tliéorème de Coriolis l'égalité

En multipliant par m, masse du point mobile, on aura Force motrice dans le système SF=iForce motrice dans le système S '+ mj + 7jijq

— Ce théorème de tloriolis et l'influence signalée plus haut du changement d'horloge montrent nettement que si dans un système en mouvement il y a déterminisme mécanique, ce déterminisme mécanique ne peut pas être regardé comme une propriété invariante à l'égard des repères du mouvement.

— Il y a en mécanique une seconde école que l'on pourrait appeler l'école statique ou des liaisons, ou encore l'école du fil :

Le point de vue préféré do cette école repose sur la conception de certains corps de masse négligeable envisagés à Vélat de tension, c'est-à-dire capables d'acquérir une certaine forme et une certaine dimension , au-delà desquelles

TjES roiNTiATr-uns. 1)1

celles-ci ne varient plus que foi't peu, mais servent à transmelVre des efforts analogues à l'effort musculaire, et très considérables.

Tel est un fil.

Si l'on néglige l'épaisseur et la masse do ce iil, on peut admettre que les très petits allongements du Iil tendu audelà de sa longueur normale peuvent suffire à préciser dans chaque cas l'effort que ce fil transmet.

En juxtaposant plusieurs fils identiques et les faisant agir sur un fil unique, on pourra dresser une table des allongements proportionnels de ce dernier en corrélation avec sa tension, qui produit ces allongements. Cette tension sera définie par le nombre des premiers fils qui éprouveront un allongement relatif déterminé.

Dans cette manière d'envisager les choses, la composition des forces représente un phénomène réel, car la tension de chacun des iils qui tirent simultanément sur un même corps est un phénomène observable isolément.

Celte conception de la force autorise à se demander quel sera l'effet de l'application d'une force à ce point matériel. Quelle modification va-t-elle apporter au mouvement acquis t Pour rendre plus nette îa réponse à cette question, revenons sur les définitions de la vitesse et de l'accélération, au point de vue de la continuité.

Étant considéré un instant i, on peut envisager le mouvement dans le passé antérieur à i et dans le futur postérieur à ( ; nous faisons agir la force durant cette seconde phase; la force étant constante en grandeur et direction, il y a lieu de se demander comme elle va modifier les éléments du mouvement.

Elle pourrait modifier brusquement la vitesse et il y aurait

T.'Écor.R mi Fii,

alors lieu de distinguer entre une vitesse finissante et une vitesse commençante de valeurs inégales.

De même pour l'accélération. Or on admet que la vitesse reste invariable, mais que l'accélération finissante n'est pas égale à l'accélération commençante, l'excès géométrique de la seconde sur la première est, on l'admet, proportionnel à la force qui agit sur le point matériel considéré. Cette loi étant admise, il est bon d'observer qu'elle a une signification indépendante du système de coordonnées : en effet, la vitesse finissante à l'époque t étant égale à la vitesse commençante à l'époque t, le théorème de Coriolis montre alors que si l'accélération commençante et l'accélération finissante dépendent séparément du système de coordonnées adopté, la différence de ces deux accélérations imputable à la force est indépendante de ce système, pourvu bien entendu que les deux systèmes de coordonnées soient en mouvement continu l'un par rapport à l'autre.

Quant au cliangement d'horloge, il est facile d'apprécier son effet sur la loi qui nous occupe :

Soient j et 7 les accélérations commençantes sur l'horloge a qui marque le temps t et sur l'horloge « qui marque le temps fl ; soient j' et t' les accélérations finissantes sur les mêmes horloges, on a, comme on l'a vu, en désignant par V la vitesse sur l'horloge a

on a de même

on conclut de là

donc sauf l'introduclion d'un facteur dépendant des horloges la proportionnalité de la force à l'excès de l'accélération finissante sur l'accélération commençante ne dépend pas des repères du mouvement. Si par exemple l'expérience faisait connaître qu'une force F staliquement connue produit à différentes époques expérimentales 6 des variations y' — y d'accélération dans le mouvement naturel d'un même point matériei,et sil'onavait F!=!H(ï' — f) H désignant un coef(icient positif, fonction de fl, on pourrait toujours délînir un temps t tel que l'on eût F ;==! A (/ — J) (A = constante) il suffirait de définir la marche de l'horloge a par rapport à l'horloge * au moyen de la relation

d Q Va

et on pourrait appeler t le temps absolu.

— Dans le même ordre d'idées, il est intéressant d'observer que l'on peut donner une définition cinématique des masses qui, bien que cinématique, est indépendante des repères du mouvement; cette définition est fondée sur te fait de l'impénétrabilité de la matière; voici ce qu'il faut entendre par là.

Considérons deux corps solides de dimensions négligeables A et B, auxquels nous sommes libres de donner des impulsions et qui, abandonnés ensuite à eux-mêmes, ont un mouvement continu quelconque dans un certain système de coordonnées, nous pouvons disposer des impulsions initiales pour amener bientôt les corps à se choquer. L'expérience indique que lorsque les corps arrivent en contact avec des directions de vitesses qui amèneraient,

04 USE DÉFlNlTIO^■ DES MASSES.

si elles se maintenaient, une pénétration des masses, les deux corps éprouvent des changements de vitesse qui, dans un intervalle de temps assez court, si les corps restent en contact, sont très considérables par rapport aux effets que les autres causes ambiantes continues peuvent produire.

Soient, dans ces conditions, 'j et -j' les vitesses dos corps A et B un peu avant le choc, et u -|- ij, u' -[- A'/ leurs vitesses un peu après le choc, on adinH comme, conforme aux faits que quelles que soient les conditions dti choc renouvelé il existe deux nombres positifs met m' constants vérifiant la relation vectorielle.

De plus, si, laissant le corps B fixe et faisant par exemple m' = ■], nous séparons le corps A en deux parties « et «.', et si |j; et [i' sont les valeurs du coefficient m attribuées aux portions a et a' dans leur choc avec B, la valeur du coefficient m attribué au corps A dans son cboc avec B sera

Telle est la définition cinématique des masses; elle est indépendante des repères du mouvement, car si, laissant l'horloge fixe, on change le système de coordonnées, soient u, la vitesse avant le choc dans le système Si et u^ la vitesse de A, soit "W la vitesse d'entraînement du lieu commun des deux corps dans So par rapport au système S, on aura, la vitesse W ne variant pas par le choc,

avant le choc ^j = u„ 4- w

pour A et après le choc u, + iu, = uo + à.^^ + W

donc Au, — Auo on verrait de même que A'j/ ~ i-j/

le changement d'horloge ne change pas non plus la relation entre Au et i.j', puisque la relation est homogène par rapport à iu et iu'.

Tout ceci suppose, par la continuité de W, que les systèmes de coordonnées soient simples spectateurs du choc, mais qu'ils n'y participent pas.

Dans le cas où les systèmes de coordonnées adoptés seraient définis au moyen des positions et des vitesses de corps autres que A et B, il faut admettre que ces éléments sont indépendants des vitesses de A et de B.

Il en est bien ainsi si on regarde les corps comme formant des systèmes de masses séparées.

Il n'en serait plus de même si on regarde les corps comme plongés dans un milieu matériel continu.

En ce cas la définition des masses par le choc exige la présence d'un système de coordonnées inclinèrent au choc, mais l'influence du milieu sur le choc reste tout à fait obscure^ et nous n'avons d'ailleurs plus aiîaire ici à deux simples corps de dimensions négligeables.

— La définition classique de la masse dérive de la loi de la proportionnalité de la force à la variation d' accélérailon qu'elle produit.

Si on adopte l'horloge absolue dont il a été question plus haut, le coefficient de proportionnalité est une simpje constante dépendante de la nature du point matériel, c'est cette constante qu'on appelle la masse. Cette définition n'a d'ailleurs de sens que dans la conception statique de la force. — Si l'on rapproche la définition cinématique des masses de la définition classique, on voit qu'on les conciliera en admettant que le choc des deux corps développe des actions mutuelles qui, agissant pendant chaque élément infiniment

'..m MAtSOPfS.

petit dt de la durée courte mais linie du choc, sont deux à deux égales et contraires. C'est \e posltilat de l't'gaiité de l'action et de la réaction sous sa forme la plus simple : la pression matnelle de deux corps en contact.

— Toutes les indications qui précèdent sont, je ne saurais trop insister sur ce point, indépendantes du principe de rinertie, elles suffisent à développer celte partie de la mécanique, qu'on appelle la mécanique des liaisons et dont nous allons maintenant nous occuper.

— L'idée de liaisons dans les corps naturels est l'àme de toute la Mécanique analytique de Lagrange ; quelques géomètres, plus analystes que mécaniciens, ne veulent voir dans l'idée maîtresse de Lagrange qu'un artilîce de calcul, c'est méconnaître étrangement la profonde pensée de l'auteur.

De même que la découverte de l'ai traction est l'œuvre d'un géomètre éminemment physicien, de même la notion des liaisons révèle dans la pensée de Lagrange un sens profond et expérimental de la mécanique.

S'il est possible de reconstituer la réalité pac des abstractions isolées, nous devons, dans la méthode de Lagrange. nous représenter l'univers physique comme le résultat de la fusion de ces éléments abstraits : la masse, la force et les liaisons de positions.

Sans doute, on peut, et c'est là une idée de Poisson, remplacer toutes les liaisons par des forces, appliquées à des points matériels libres, mais alors la force sans l'appui des liaisons n'a plus que la définition cinématique dont on a parlé plus haut, et pour lui donner un appui sûr, on fait appel à l'existence de l'espace absolu dans lequel le mou-

LES FONDATEUfiS, o7

vement naturel des corps sei'ait un mouvement recLiligne, qui, devant une horloge absolue, sérail uniforme.

Au contraire là force subordonnée aux liaisons et à la plus simple d'entre elles la liaison /il représente une réalité (au moins approximative) et qui subsiste indépendamment de toute hypothèse sur le mouvement naturel des corps libres. Ajoutons d'abord que les deux points de vue se complètent l'un l'autre; car si nous adoptons par exemple comme image la plus simple de la force, la tension ilan fd légèrement élastique (tension appréciée théoriquement par les dimensions du fil tendu), nous ne pouvons produire celle tension que par le secours d'une force, soit par la traction de notre bras, soit par un poids, le fil qui ne met en jeu que des forces naturelles n'intervient efficacement que pour nous garantir à sa manière la constance de la force qui le tend.

Pour rester impartial entre les deux écoles il faut ajouter que pour pouvoir regarder la masse du fil comme négligeable il faut metire enjeu des forces considérables.

Et puis, à vrai dire, nous ne faisons guère que remplacer lin absolu par un autre; au lieu d'un seul espace absolu et d'une horloge absolue, nous invoquons un nouvel absolu : celui des liaisons moléculaires permanentes .

Mais cet absolu nous paraît plus conforme à la nature des choses que nous manions lous les jours.

— Le problême général que nous nous proposons de résoudre est te suivant : ^^ iw,!;!!!.,..

Étant donné un nombre quelconque de points si des liaisons, c'est-à-dire dont les déplacements sont dans une dépendance connue, trouver les conditions de l'équilibre

de l'équilibre.

58 ÉQUILIBRE SlUl UN COUPS EIGIlir:.

de plusieurs forces données appliquées en ces points. Nous considérons d'abord un cas très particulier; le cas idéal 011 les points d'application des forces données formeraient un ensemble rigide. L'importance de ce cas tient d'abord, non seulement à ce qu'il est très approximativement réalisé dans les solides naturels, mais encore et surtout à ce que les conditions d'équilibre des corps rigides sont toujours nécessaires sinon suffisantes à l'équilibre des solides naturels. Avant d'insister un peu sur ce point, précisons d'abord ce qu'il faut entendre par des forces données, quand la figure et la position des points M d'application est susceptible de -varier.

On peut d'abord supposer que à chaque point individuellement désigné du système on associe une force de rfrandmr et direction invariable par rapport à un système donné S {celui par rapport auquel est situé l'ensemble des points

Nous entendrons par liaison des points M dans le système S une dépendance entre les positions (soit absolues, soit relatives) des différents points M.

Au lieu de prendre sur chaque point M une force de grandeur et de direction constantes, on peut concevoir une force qui varie d'une manière continue avec la position du point M à l'égard du système S.

Qu'on adopte l'un ou l'autre point de vue, dans tous les cas d'équilibre réalisables pour des solides naturels ayant des dimensions comparables dans tous les sens, on constate après l'application des forces une légère déformation et quelquefois un léger déplacement par rapport aux appuis, en sorte que la iorme d'équilibre réalisée est un peu différente de celle qui était d'abord essayée, et cela par le

LES FOiS' DATEURS. o9

jeu des liaisons ou des forces moléeiilaires, mais ce qu'on peut affirmer, c'est que, dans la position d'équilibre définitive, si on vient à rigidifier le corps, les forces appliquées devront satisfaire aux conditions d'équilibre d'un coi'ps rigide.

Gela tient à ce que nous imaginons qu'il est possible d'augmenter les liaisons moléculaires jusqu'à la rigidité, et que nous admettons le postulalum suivant :

iSî des corps soumis à des liaisons sont en équilibre sous l'action de forces données, ils resteront à plus forte raison en la même situation d'équilibre, si, aux liaisons déjà existantes, on en ajoute de nouvelles.

Il faut, d'ailleurs, se garder, dans cet énoncé, d'associer à l'idée d'équilibre l'idée de stabilité; mais je reviendrai sur ce point trop peu remarqué dans un autre chapitre.

Au point de vue logique, on peut regarder comme un cas particulier du postulatum précédent le principe suivant, qui sert de base à la statique des corps rigides.

Si un corps riqide gêné ou non est en équilibre sous l'action de forces données, on ne troublera pas l'équilibre du même corps rigide soumis aux mêmes qènes en AJOUTANT aux forces données tout système de forces qui serait en équilibre sur le même corps soumis aux mêmes gênes.

Lorsqu'on dit le même corps, il ne faut pas oublier qu'un corps rigide forme toujours le même ensemble rigide quand on lui adjoint d'autres corps liés invariablement à lui.

D'ailleurs, dans tout système de corps (rigides ou non), si on regarde l'alome comme infiniment résistant, on pourra supprimer sur chaque point en équilibre tout système de forces séparément en équilibre sur ce point.

60 POSTULATS OE L\ STiTiQlïE.

Sous le bémifice de cette remarque on voit immédiatement que le principe peut être encore étendu.

Considérons un groupe de forces S, en équilibre sur un corps rigide libre ou non, il peut arriver que le groupe des forces égales et directement contraires appliquées au même point, groupe que nous désignerons par —8, soit aussi en équilibre.

S'il en est ainsi, considérons un corps eu équilibre sous le groupe de forces S composé des groupes Si et S^, l'équilibre ne sera pas troublé si on introduit en plus le groupe -—Si; mais on peut supprimer le groupe S, — Si en équilibre en chacun de ses points d'application, il ne reste plus alors que le groupe Ss.

Donc, sur l'hypothèse faite, on a pu supprimer du groupe s le groupe Si en équilibre partiel.

L'hypothèse restrictive que les groupes S, et — Si soient séparément en équilibre, peut fort bien ne pas être satisfaite, exemple : un corps est posé sur une table horizontale, une force verticale descendante le maintient en équilibre en l'appuyant sur le plan, la même force verticale ascendante ne le tient plus en équilibre.

Nous admettrons encore les postulats suivants : Deuxième postulat. Deux forces égales et contraires et ayant même ligne d'action, sont toujours en équilibre sur un corps rigide alors même que leurs points d'application seraient distincts.

Elles constituent toujours un groupe de force supprimable à volonté sur un corps rigide.

Troisième postulat. Si deux farces non nulles se font équilibre sur un corps rigide libre, elles ont même ligne d'action et sont égales et contraires.

.lîS FOND.VTKIJUS.

Quatrième postulat. Éiant données deux forces concourantes non en équilibre appliquées a un même POINT MATÉRIEL, il existe toujours une force capable de leur faire équilibre ; la force égale et directement contraii'e à celle-ci porte le nom de résultante des deux premières.

Il en résulte du troisième postulat que la résuUaute de deux forces concourantes est complètement déterminée.

Pour la connaître nous invoquerons enfin ce dernier postulat.

Cinquième postulat :

La résultante de deux forces appliquées à un même point matériel est indépendante de la position des forces à l'égard du système de coordonnées par rapport auquel ces forces (les fils tendus) sont données, elle ne dépend que de la figure invariable formée par ces forces. Nous supposerons de plus que la détermination de la résultante est contintie, c'est-à-dire que si F et F' sont deux forces données non nulles toutes deux, si on considère suivant les mêmes lignes d'action respectives les forces FetF' + e la résultante des forces F et F'-(-e, lorsque e tend vers zéro, tendra en grandeur et en direction et sem vers la résultante des forces F et F'. Nous énumérerons ce cinquième postulat en disant que

la composition de deux forces est invariante et continue.

— Du premier et du deuxième postulat on conclut que si une force est appliquée à un corps rigide on peut, en gardant sa grandeur, sa direction et son sens, l'appliquer en un point quelconque de sa ligne d'action.

Le cinquième postulat montre que la résultante de deux forces égales est dirigé dans leur plan suivant la bissec-

62 PA.nAI,l,ÉLOGRAM]ME DKS FIUICES.

trice de leur angle. On conclut de là un théorème bien connu que nous allons rappeler. Observons d'abord que si on applique suivant les qualre côtés d'un losange des forces égales agissant suivant ces cOtés mais deux à deux parallèles et de sens contraire ce système de qualre forces est en équilibre.

OonsidéroDS ensuite deux forces conimensurables F et

F' el soient AB, AC les vecteurs qui les représenlent dont les longueurs sont (pour fixer les idées) dans le i-apport des nombres 2 et 3, Par les points de division B,.,.; G,, Ga,... que marquent sur ces vecteurs leur commune mesure, sur eux portée à partir de A, menons des parallèles à AB et AG, nous décomposerons ainsi le parallélogramme ABGD en 2 X 3 losanges.

Remplaçons d'abord les forces données par leur commune mesure appliquée successivement en AB„ B.B, AGi, C,Ca, GsG.

Ajoutons sur les côtés de chaque losange les forces tracées sur la figure et dont chaque groupe ponctué à l'intérieur d'un losange est en équilibre. Soit R la résullante des forces AB, AC. Gonsidérons alors l'équilibre au point A des trois forces P, F', — R. Mais le système des deux forces données ainsi complété par les forces au losange admet d'autres

LES rONDATEURS. 63

groupes de forces en équilibre, ce soiiL, en outre de la force — R, les forces qui agissent sur un côté commun à deux losanges ou suivant les portions des côtés ABj AG.

Ces forces consliluent des groupes supprimables conformément au postulat 2> et il ne reste finalement que les forces ponctuées agissant suivant les côtés BD et CD, lesquelles peuvent toutes être appliquées au point D.

Nous avons donc équilibre entre la force — R appliquée en A et !es forces F, F' transportées parallèlement à ellesmêmes au point D en ^ et cp'. Soit R' la résultante de ces deux nouvelles forces, et ajoutons au système précédent les deux forces R' et — R' appliquées toutes deux en D. Les forces f, ?', et — R en équilibre sur le même point D sont supprimables.

Il y a donc équilibre entre la force — R appliquée en A et la force R' appliquée en B, donc ia ligne d'acUon commune de ces deux forces est la droite AD diagonale du parallélogramme construit sur AB et AG comme côtés contigus.

Le postulat de continuité étend cette conclusion au cas où les deux forces F et F' seraient incommensurables, donc enfin : la résultanie de deux forces concourantes est dirigée suivant la diagonale „

coitsiruite sur les vec- /^v,

teurs, signes représen- / ^\^

tatifs des deux forces <^----- ___w— — ~ —-j

pris comme côtés con- ^\ / ^\^ /

tigiis. "-^ — — — — ^

On sait alors comment le théorème peut se compléter. Boit AE pris sur la diagonale AD ou (sur son prolongement) la représenta-

(14 COMPOSITION AN.\I,ÏT[QUi!.

lion de la force — R, les trois forces AË, AB, AG sont eu éiiuilibre. AC est donc dirigé suivant la diagonale du parallélogramme construit sur AE et AB comme côtés contigus ; la parallèle à AD menée par B et la parallèle à AB menée par E doivent se couper en un point F appartenant à AC. Les deux figures AEFB, AFBD sont donc des parallélogrammes, et AE = FB comme FB = AD ; donc AE = AD. Donc

La résîiltante des deux forces F et F' est représentée en grandeur, direction et sens par la diagonale AD du parallélogramme construit snr les vecteurs sîffnes représentatifs des forces.

— On sait comment de ce théorème on peut déduire la théorie des forces parallèles et toute la statique du corps rigide.

— L'emploi de la méthode du losange pour établir la composition des forces concourantes ofi're le léger inconvénient d'introduire d'autres forces que des forces concourantes, bien qu'elles disparaissent finalement, et on peut désirer ne vouloir considérer que des forces concourantes ; voici une méthode qui répond à cet objet. Considérons dans un plan un système d'axes rectangnlaires d'origine tixe et un vecteur R faisant dans ce sens direct l'angle a. avec l'axe des x. On peut se proposer de décomposer la force représentée par le vecteur R en deux autres, X, Y, dirigées suivant les axes Ox, Oy ; je dis d'abord que le problème n'est possible que d'une seule manière.

Car soitXY une première solution et S'Y' une seconde

solution, si ^^ et '^ sont différents, on verra sans difficulté

LES FOSDATEtRS.

que le groupe de forces X, Y et le groupe de forces X', Y' ne saurait avoir des résultantes dirigées suivant la même

droite, puis l'égalité y ~T ^^^^^ ainsi établie, on verra que si ce rapport est commensurable et différent de \, les résultantes des deux groupes (X'Y') et (XY) seront dans le même rapport; si le rapport considéré est incommensurable, la même conclusion subsiste en vertu du postulat de continuité.

Ceci posé, mesurons « avec l'unité trigonométrique et faisons

on voit aisément par le postulat de l'invariance que

F(a) est une fonction paire et f{a] une fonction impaire et que

V (û) = t F (5 — A = t? (ï) et que l'on a

r(. + s) = F{.)F(p)-.W.f(fi)

ces propriétés seraient caractéristiques des fonctions sin « et cos ". S! l'on savait que l'on a de plus

lim ï^ = t quand lim x — 0,

Pour éviter cette nouvelle supposition, considérons deux forces égales à P et faisant entre elles l'angle 2 w < tu, la résultante dirigée suivant la bissectrice aura une valeur que nous désignerons par 2Vg[io)', supposons d'abord la fonction g{<^) connue et considérons les forces „ SX. = F(.)R

et R:

(iG COMPOSITION ANALYTIQUE.

la résuUanle des forces R, et Rj pout se trouver d'une première manière et dirigée suivant la ]:)issecLrice des axes Ox et oY, elle aura pour valeur

mais ces formes Ri et R3 étant toutes deux symétriques par rapport à la bissectrice on aura celte aulre expression de la résultante

d'où entre les trois fonctions V <b (/ la relation :

(11) [FC.) + *(.)j,,Q = j(î-.)

quant à la fonction </ qui est évidemment paire on peut la déterminer de la manière suivante.

Considérons quatre forces égales symétriques deux à deux par rapport à une même droite, on pourra, au moyen de la fonction ff, déterminer la valeur de la résultante de deux manières, on obtient ainsi l'équation fonctionnelle

3(^ + î/) + 3(^-ï) = 2 3(^)30.) Nous avons d'ailleurs les valeurs initiales

Faisons x = y on trouve alors

3(îi) + l=-2 9'W

Si X est compris entre et ", et si on admet que rj {x) est positif, cette équation mise sous la forme

y (i!) + 1 =: 2 fi"- (Ij fera coiinallre y (^^J Et en continuant ainsi de proche en proche on connaîtra 9 [ âTr) ("■ enlier)

faisons alors de proche en proche :

ai = K|; (If 1=1,2, œ)

On connaîtra par l'cqualion K les valeurs tle la forme

Ces valeurs d'ailleurs coïncident par toutes les valeurs entières de K et de }i avec les valeurs

car l'équation fonctionnelle (E) appartient aussi à la fonction cos X, d'ailleurs la fonction y {x) est supposée continue, et comme tout angle x, est compris entre deux angles de la forme

yGoosle