COMPOSITION ANALYTIQUE

g ix) et cos (x) limite des quantilés égales

seront elles-in6mcs égales.

Ce résultat acquis, nous nurona en revenant à la relation D après suppression du facteur

F{«) + *(a) = cos.. + sina en changeiint « en — a ou aurait

F (a) — '1> (a) = cos œ — siii a

donc enfin F (^-t) = cos a

'I' [a) = sin a

La résultante E des deux forces rectangulaires S et Y est donc la diagonale du rectangle construit sur X et Y comme côtés eontigus.

La résultante de deux forces quelconques s'en déduit, car considérons dans le plan des deux forces un système d'axes Ox et Oy, soit P la première force représentée par ses projections X et Y, qui sont aussi ses composantes suivant les axes, et soit F' la seconde force représentée par ses projections X', Y', qui sont aussi ses composantes X' Y'.

Les deux forces F et F' équivalent aux quatre forces X et X', Y et Y', car les deux premières dirigées suivant l'axe des X ont pour résultante X -]- X' et les deux dernières ont pour résuUante Y + Y' ; la résultante des deux

LES EOtfRATEUBS. «9

forces F el F" a donc pour composantes et AUSSI pour projections suivant les axes X + X', Y + Y'.

Mais le vecteur qui a pour projections suivant les axes X + X' et Y + y est la diagonale du parallélogramme construit sur F et F' comme côtés contigus.

En définitive, la composition des forces concourantes se réduit à l'addition géométrique de leurs vecteurs représentatifs.

— La méthode fonctionnelle que nous venons de suivre met en évidence la proposition suivante, intéressante par elle-même :

Si une opération quelconque mais bien déterminée et que nous désignerons par le symbole + met enjeu des vecteurs concourants A, B, C, D, E, F, envisagés dans un certain ordre, elle conduit à un certain vecteur par sa répétition conformément aux égalités suivantes :

ce qu'on écrira d'une manière abrégée :

Supposons de plus que l'opération exprimée par le symbole 4 jouisse des propriétés suivantes :

1° Elle est commutative, c'est-à-dire A -j- B = B -f- A ; 2° Elle est associative, c'est-à-dire A + (1^ -f Q ^ A + B + C ; 3° Elle est continue, c'cst-à-dirc que si e désigne un

70 LKS MOUFLES.

vecleur dont la longueur tend vers zéro et les deux vecteurs A et A + ^ dont les directions fout un angle o et si A 4- e = f ■

La longueur de a a pour limite la longueur de A et <? tend vers zéro avec la longueur de e.

4" Si les vecteurs A et B sont portés par la même droite, l'opération A -j- B se confond avec l'addition algébrique des segments A + B.

Toute opération gui jouit de propriétés énoncées se confond avec la composition géométrique des vecteurs qui donne la composition des forces.

Comme application de la composition des forces appliquées à un corps rigide, considérons l'équilibre du moufle, et des moufles associés.

Un moufle théorique se compose de deux châssis, l'un fixe A, l'autre mobile B au-dessous. Ces deux châssis portent en leur plan médian des poulies de manière qu'an fil s' enroulant successivement sur les poulies de l'un et de l'autre châssis demeure toujours vertical, cette disposition est réalisée en plaçant une poulie de plus au châssis supérieur, le fil en quitlant la dernière est tendu par un poids P et peut, s'il est besoin, s'appuyer sur des poulies fixes; il est d'ailleurs fixé sur la première poulie A ou s'enroule avant d'embrasser celle-ci sur des poulies fixes g, g-, d'oîi il peu! se rattacher à la dernière poulie du châssis supérieur d'un moufle antérieur et ainsi de suite jusqu'au premier moufle de la série.

Chacun des moufles peut supporter en son milieu un poids Q qu'il est facile de calculer. Soit n le nombre des poulies de B. Coupons le système des fils par un plan XY

et considérons le châssis mobile et ses iila de support arrêtés à ce plan; si on néglige les poids des fils, le châssis supérieur sera supporté par 2n tensions T égales à P. La théorie des forces parallèles donne immédiatement 2 nT ^ Q, et comme T = P (en négligeant le poids des fils) 2?(P — Q.

Nous négligeons le poids du châssis inférieur qui pourrait d'ailleurs Être équilibré par un poids compensateur.

Considérons un ensemble de points M matériels dont chacun est soumis à des forces connues qu'on peut remplacer par leur résultante R. Si ces points sont indépendants les uns des autres, leur ensemble ne peut être en équilibre que si chacun des points est lui-même en équilibre, ce qui exige que chaque résultante K soit nuile.

li- LE TBAVilL VIUTTJEL.

Il n'en est plus de même si les points sont soumis à des liaisons.

Ces liaisons sont réalisées par des iigures intermédiaires rigides ou flexibles, suivant le cas; dans les questions dynamiques, relatives aux liaisons, nous supposerons ces intermédiaires dépourvus de masse; dans les questions de statique nous supposerons seulement qu'aucune force n'est directement appliquée à ces intermédiaires. Ces liaisons peuvent s'opposer à certaines forces particulières et les détruire, mais elles ne créent pas de force. Précisons ce point de vue.

iVojis avons déjà admis le postulatum du renforcement des liaisons.

Nous allons le compléter.

Nous distinguerons d'abord les systèmes à liaisons complètes.

Dans ces systèmes les positions de tous les points M ne dépendent que d'une seule variable.

Si un système n'est pas à liaisons complètes on peut, en renforçant des liakoiis, le rendre à liaisons complètes, et si les forces qui s'exerçaient sur lui étaient en équilibre, elles seront à fortiori en équilibre dans le système à liaisons complétées.

Considérons un système de points à liaisons complètes et supposons qu'un déplacement suffisamment petit de l'ensemble de ces points soit géométriquement possible et supposons d'abord que les forces se réduisent à une seule TANGENTE A LA TRAJECTOIRE et dans le sens d'un déplacement possirle; nous posons en principe que l'équilibre ne saurait alors avoir lieu. Si au contraire il s'exerce en sens inverse du seul déplacement possible, l'équilibre aura lieu, nous l'admettons.

LES l'Oî^DATEL'nS. 73

Envisageons maintenant un système de points à liaisons complètes, soumia à des forces quelconques, nous pouvons supprimer toutes les forces et remplacer chaque force par un fil passant sur des poulies de renvoi convenablement placées, et attaché au châssis inférieur d'un moufle spécial aa point considéré.

Le fil qui s'enroule sur les châssis supérieurs des

moufles consécutifs en soutenant les châssis inférieurs est

tendu par un poids unique P et circule d'un moufle à

l'autre jusqu'à ce qu'il vienne s'attacher en un point fixe.

Supposons !es forces remplacées commensurables, soient

F, F', F" , ces forces appliquées respectivement aux

points M, M', M" et f, la meîtié de leur plus grande

commune mesure, on aura

F = 2«/-, F = 'în'f.

Les entiers n, }i', n" ainsi déterminés définiront le

nombre de poulies à employer pour produire ces forces F, F' au moyen du seul poids P pris égal à f.

IjC système ainsi complété est considéré comme équivalent au proposé. Or, d'après le principe admis plus haut, le nouveau système sera en équilibre si le déplacement défini qui peut se produire a pour effet de faire remonter le poids P. Or, pour un déplacement infiniment petit ds du point M, le lit d'attache qui réunit ce point M à la petite poulie de renvoi la plus proche sur le parcours du fil se raccourcit entre les points a et M de la quantité ds cosa, œ désignant l'angle de la droite MM' avec o^M, le châssis