LE TRAVAIL VIRTUEL

inférieur relié à M s'élève donc de ds cos n et le fil de support à 2n brins qni relient les deux cliàsàs glisse sur hii-même de la quantité 2h&cos* (aux infiniment petits du second ordre près)

le poids P descendrait donc par le mouvement considéré de la quantité

S2?((^sC0Sa.

La condition de l'équilibre sera donc s 2 »(?« eos a < OU S 2 nfih cos a = 2 Y<h cos a <

F ds cos a peut être envisagé indifféremment comme le produit de la force F par la projection ds cos a du chemin ds sur cette force parcouru par le point d'application ou comme le produit du déplacement ds par la projeclion F cos a de la force sur le déplacement.

Ce produit infiniment petit porte le nom de travail virtuel. La condition trouvée tout à l'heure s'exprime alors : Dans un système à liaisons incomplètes en équilibre la sonime des travaux virtuels des forces relatives à un déplacement du système est mdle ou négative.

Si le système n'est pas à liaisons complètes, la condilion trouvée est évidemment nécessaire puisqu'il y a à fortiori équilibre quand on complète les liaisons.

Montrons que la condition est encore suffisante. En effet, si les liaisons sont incomplètes et qu'un mouvement se produise on peut toujours compléter les liaisons de manière à rendre le système à liaisons complètes, tout en permettant 1ê mouvement en question, les liaisons surajoutées n'auront aucune fatigue et le môme mouve-

LES FO^D-VTEIJRS. 7S

ment se produira, on aurait donc nn déplacement élémentaire défini dans lequel le travail total serait négatif, ce qui correspondrait à un mouvement de remonte du poids, dans ia réalisation des forces par le système de moufles de Lagrange.

Lorsque le système est à liaisons renvcrsables, on peut imaginer deux systèmes de déplacements infiniment petits, égaux et contraires pour lesquels le travail virtuel prenant des valeurs égales et de signes contraires, devrait rester nul ou négatif, il est donc nul.

On a donc le théorème général suivant :

Si un système de points réunis par des liaisons données est soumis à des forces données qui se font équilibre sur ce système, la condition nécessaire et suffisante de cet équilibre est que pour tout déplacement compatible avec les liaisons du système la somme des travaux virtuels des forces soit négative ou nulle, le dernier cas pouvant seul se présenter lorsque les liaisons sont renversables. Appliquons ce théorème à un corps rigide.

Par sa nature le travail d'une force, relativement à un déplacement donné infiniment petit qui est la somme géométrique de déplacements donnés, est la somme des travaux de la même force relativement aux déplacements composants, et le travail de la résultante de plusieurs forces relativement à un déplacement donné est la somme des travaux des composantes relativement au même déplacement.

Rapportons les forces à un système de coordonnées cartésien orthogonal et clierchons la somme des travaux virtuels des forces relativement à un déplacement quelconque du solide,

iC) ÉQUILIBRE BL' CORPS HIGIIIE,

Le travail de la force F relative à un déplacement qui a pour projections Sa;, %, Sî sera, dans le système de coordonnées employé, et d'après la remarque de tout à l'heure

Soient d'ailleurs \ S^ 83 les variations caractéristiques de relatives à des rotations respectives «>, m^ Uj autour des axes et A, ij ig les caractéristiques des variations résultant de translations respectives li ia ?s parallèles aux axes respectifs de coordonnées.

On aura par exemple pour évaluer les ôj en employant les coordonnées cylindro-circulaires

Z !\ o ^ î/ = risiii(f j a: = Rcoscf ' I a — U cos cp \ î; 1^ n sia 9

et iiZ=0 B^y— R costf S^^^siÔ'j

Sja; — — R siii iù Sip = — yô-f

la partie correspondante du travail sera donc (Y^ - Xy) 5^ ^ \x ~ ly) «,

En envisageant un déplacement parallèle aux a: on a

ce qui réduit la partie correspondante du travail virtuel

Le travail est une expression linéaire des w et desï; en égalant à zéro les coefficients de ces variables qui sont

LES FONDATEUltS. li

indépendantes pour un solide libre on aura exprimé le principe du travail virtuel appliqué à ce corps.

Ou déduit de ià pour les conditions d'équilibre d'un corps solide libre

L = I(Ya;-Xj)=0 P = SX =

M = S (Z(; — Yî) = Q = SY =

N Z 2 (Xi — Z,i') ^0 r, = SZ =

Ces conditions sont d'ailleurs valables encore en coordonnées obliques comme on le voit par la méthode de PoinsôL

— Après avoir exposé le principe de la statique des systèmes à liaison examinons ie principe de la dynamique des liaisons ou le principe de Dalembert.

Faisons d'abord quelques remarques sur les liaisons envisagées dans le temps.

On peut distinguer les liaisons fixes et les liaisons variables par rapport au temps ; les premières résultent d'une relation permanente entre les positions des différents points par rapport à eux-mêmes ou par rapport au système de repères : tel est un point assujetti à rester sur une surface bien définie ; au contraire, les liaisons variables résultent d'une relation entre la position des corps et les positions de corps ayant un mouvement défini.

Exemple : Un point est assujetti à rester à une distance constante d'un autre point qui a un mouvement connu : voilà une liaison variable.

De la manière la plus générale, on peut concevoir la

liaison entre plusieurs points comme représentée par des

équations entre les coordonnées de ces points et le temps t.

Considérons donc un système de points soumis à dos

IS l'RlNCIPE BE d'aLEMBEIIT.

liaisons quelconques et actuellement en mouvement continu : les liaisons sont respectées, chaque point a une vitesse et «ne accélération bien définies à l'époque t, ce qui veut dire, comme on l'a déjà, dit, que ces quantités existent et ont mêmes valeurs, soit qu'on considère une courte durée qui précède l'instant actuel, soit qu'on considère une courte durée qui soit cet instant.

Supposons qu'à l'époque t et pendant une courte durée o qui suit cet instant, nous fassions agir sur chaque corps une force connue ; par exemple, nous le mettons en communication par un fil avec des points donnés et nous faisons agir le fil de masse négligeable, par sa tension; que ■ va-l-il se passer î

Si le point était libre, nous savons qu'en représentant par m la masse du point, l'effet de la force F aurait été do dévier le point par rapport à son mouvement antérieur prolongé, d'une quantité qui, au premier ordre infinitésimal près, eût été égal à — ka-, - étant une constante physique si t est le temps absolu. Nous admettons avec d'Alembert que si ces déviations libres sont compatibles avec les liaisons, elles se produisent encore malgré les liaisons; si ces déviations sont incompatibles avec les liaisons, d'autres déviations se produiront; décomposons alors chaque déviation libre en deux déviations, Tune la déviation réelle, l'autre que nous nommons la déviation perdue. Considérons les forces qui, sur la même masse et pendant le temps 0, correspondent à ces déviations; celle qui correspond à la déviation réelle est ia force efficace, celle qui correspond à la déviation perdue est la force perdue moyenne.

Elle est bien perdue.

Or, d'Alembcrt regarde comme évideul qao lorsque e tend vers zéro, les forces perdues tendent vers une limite que nous appellerons les forces perdues actuelles et que ces forces doivent se faire équilibre sur le systômc à liaisons statiques défmies par l'hypothèse t ~ constante = sa valeur actuelle.

Si on assimile les forces à des petits chocs successifs, le postulat de d'Alembert est bien vraisemblable, car si nous regardons la déviation réelle comme due à un petit choc dû à l'influence de la force primitive et des liaisons pendant le temps o, et que le petit choc dû à la force perdue s'exerçât instantanément à la iin de l'intervalle e, il s'exercerait alors sur le point du système soumis aux liaisons statiques de l'époque i + " î ^^ comme a est infiniment petit, celles-ci diffèrent infiniment peu des liaisons statiques à l'époque t.

Quoi qu'il en soit, nous admettrons le principe de d'Alembert.

Le principe du travail virtuel est la traduction de l'inertie statique des liaisons. Le principe de d'Alembert est la traduction de l'inertie dynamique des liaisons.

Principe de Gauss on de la moindre contrainte.

Gauss a réuni les deux principes dans un énoncé qui résume de la manière la plus lumineuse la mécanique des liaisons.

Soit AMB la trajectoire naturelle du point M faisant partie du système à liaisons, la trajectoire véritable n'existant réellement qu'en AM ; nous faisons agir entre les époques t c\ t Ar'^'^^ force F. La trajectoire AM va se continuer non plus par la courbe MB, mais par la courbe MO,

80 THÉORÈME CE fiAllSS.

tangente en A à la première; soient, à l'époque t -\-^, M" la vraie position dn point M et M' la position qa'il aurait dans le mouvement prolongé.

M'M" est la déviation réelle, soient M'H la déviation libre et M"H la déviation perdue; exprimons que les forces perdues correspondantes se font équilibre, la force perdue sera proportionnelle au produit de la masse m du point par 2 ^i^

Soit P l'une des positions que le point M" pourkait occuper à l'époque / + o, en restant soumis aux liaisons, on aura, ponr exprimer l'équilibre des forces perdues, la condition

(F) Sm.M"li.M"P. cosi^^<0

Joignons le point H au point P, le triangle PM"1I nous donne

PH= = ftpH'— 2M"P.M"tI.cQsPM"HH-]r^P

Multiplions les deux membres de celte égalité par la masse m du point, nous aurons, en ajoutant membre à membre les égalités obtenues,

SmPHz=SfflM"II— 2SmM"P.M"Hcos['M"II-|-SmM"P'

donc, en vertu de l'équation F,

SmPH > i:mM^l'

Si on compare les positions des points en vertu des liaisons en P. et les positions H où ils seraient venus sous

LES rONDATEVBS. 81

l'aclion des focces données s'ils étaient libres de toute liaison, on peut appeler avec Gauss, la somme S;hPHS la contrainte du système, on aura donc ce théorème :

La position du système à l'époque t -\-'i est celle pour laquelle la contrainte du système est minima.

Ce théorème suppose, bien entendu, que M"P et M"H sont infiniment petits de même ordre. Ce théorème est indépendant des repèi'es du mouven'ien.t, horloge ou axes.

Lorsque la force a agi pendant le court intervalle de temps 9 et qu'on abandonne le mobile à lui-même, le cours naturel des choses va reprendre.

Le principe de d'Alembert n'a de sens que parce que nous supposons ce cours continu.

Mais la mécanique ne saurait être constituée sans une hypothèse ou sans ime convention nouvelle.

Le postulat de d'Alembert nous définit l'état naissant du mouvement qui va suivre immédiatement l'instant t, et la variation instantanée de l'accélération qu'accompagne immédiatement l'applicalioD de la force au point M à l'époque t.

Le postulat de d'Alembert ne nous dit rien de plus. Il faut définir par une hypothèse ce que nous appelons le cours naturel des choses.

Il faut avouer que nous ne sommes plus guidés ici que par de vagues analogies.

Le cours naturel des choses qui plaît au mécanicien et qui s'est invinciblement imposé à l'esprit humain après le succès du déterminisme astronomique est le suivant, qui est un souvenir de la mécanique céleste.

Considérons dans un système de repères donné un ensemble de points matériels, nous admcUons qu'il esistc un

82 POSTULM- UE u'aTXMREKÏ.

moyen de prédire l'accélération 7 de chacun de ces poinls en fonctiou de sa vitesse V, du temps t et des positions de ce point par rapport à d'autres, et par rapport au système et en fonction de cerlains paramètres physiques dout la dépendance avec le mouvement du corps est supposée connue par l'expérience.

Ces dépendances seraient iiiaccessililes à l'expérience si les phénomènes ne se raugeaieiit en catégories approximativement distinctes. Je prends un exemple pour mieux préciser mes idées : si l'attraction newtonienne se fait sentir de molécule à molécule comme le phénomène des marées et celui de la précession l'exigent dans la théorie de Newton, il faudrait strictement conclure que nos mouvements à, la surface du globe doivent, dans mie certaine mesure, avoir leur contre-coup dans le ciel : si deux enfants se prennent aux cheveux, leur lutte doit certainement faire varier les constantes arbitraires du mouvement de la terre autour du soleil, effet négligeable certes, mais à tout prendre, de même nature que l'effet produit par la dislocaiion d'une planète sous l'action de forces intérieures.

Pendant le choc nous avons vu que les variations brusques de vitesses sont régies par une loi simple qu'on peut regarder comme dérivée de la loi de l'action et de la réaction au moins pour un point matériel, mais celte loi est insuffisante à définir les deux nouvelles vitesses, elle définit l'une au moyen de l'autre. Mais la dislocaiion produite nous admettons que les deux morceaux de la planète cassée seraient encore régis par l'attraction newtonienne.

Kous n'avons aucune preuve d'uu pareil fait, dout nous ne doutons guère cependant. De même quand nous admettons qu'un fil après avoir

LES !■ ON DATEURS. oJ

modifié le mouvement d'un corps ne modifie pas la relation fonctionnelle, dont on parlait plas haut, entre les accéiéralions des corps en présence, supposés libres, leurs vitesses et certaines variables physiques définissables; nous n'en avons aucune preuve directe; si la tension du fil a agi à l'époque t, «ne fois son effet produit, elle no modifie plus le cours naHirel des choses.

Mais alors une question se pose : y a-t-il une relation nécessaire entre l'accélération naturelle J du point supposé libre et l'accélération ;" qu'il prend en vertu de liaisons connues; évidemment oui! Nous supposons, bien entendu, ces liaisons incapables de modifier le cours naturel des choses actuel, c'est-à-dire la relation qui existe entre les éléments du mouvement, positions, vitesses, accélérations et cerlaines variables physiques que nous supposons non modifiées par les liaisons.

Les liaisons sont considérées comme ne comportant pas de masse. Considérons d'abord des liaisons indépendantes du temps. Observons que les liaisons font sur le corps de masse m le même effet que l'effet d'une petite barre agissant sur le corps libre et avec une tension T

THmXO'-J)

donc en généralisant le postulat de l'égalité de raction et de la réaction nous devons regarder le corps comme exerçant sur les liaisons îa force T '

T'^mX(J~j)

L'ensemble des forces T' doit se faire équilibre sur les liaisons, car autrement elles auraient communiqué à l'un au moins des corps du système une nouvelle poussée.

84 POSTULAT DK Ïi'aLIÏMBKRT.

On peut encore dire que les réactions exercées par des liaisons réversibles sont toujours des forces qui forment un système en équilibre sur ces liaisons.

Ce fait est évident quand il s'agit de réactions statiques, mais il ne l'est plus du tout quand on envisage les réactions pendant le mouvement; toutefois nous l'avons admis implicitement pour le corps idéal que nous appelons un fil. Quoi qu'il en soit, il constitue à proprement parler le principe de d'Alembert.

Ce principe est un peu plus complexe quand les liaisons dépendent du temps (. Le système statique à liaisons dont il faut alors considérer l'équilibre statique s'obtient en faisant t= constante dans les équations de liaison.

On peut dire qu'il équivaut alors au principe de la moindre contrainte généralisé, et sous cette forme il est plus plausible.

A la vérité le prmcipe de d'AlemOerl dans le cai de liaisons variables constitue im postiilatum nouveau.

Le principe de d'Alembert. peut être appliqué pendant tout le cours du mouvement et conduire à l'intégration des équations du mouvement. Pour plus de netteté, appliquonsle au problème du pendule composé.

Le cours naturel des choses dans les phénomènes de pesanteur, c'est que l'accélération de tout corps libre dans sa chute libre recliligne ou non est constante et égale à g, dirigée suivant la verticale. Adoptons cet état naturel de mouvement d'un corps libre et supposons que plusieurs points liés entre eux d'une manière invariable forment un corps rigide mobile en toute liberté autour d'un axe horizontal, le seul mouvement possible d'un point du corps de masse m est un mouvement circulaire autour de l'axe.

LES rONUATEUIlS. OO

Cherchons l'accélération réelle d'un point dans un mouvement circulaire. Rappelons-nous la définition de l'accéloration.

Par un point I, menons à chaque instant un vecteur lA représentatif de la vitesse de M; et cherchons la vitesse du pointfiguratif A ; nous savons que cette vitesse sera l'accélération de M; soit OM — r et soit >■> la vitesse angulaire du rayon OM.

lA représente <»r.

IB représente {w -|- du,)r.

Menons lA' = lA ; le vecteur AB est la somme géométrique du vecteur AA' et du vecteur A'B ; le premier vecteur est égal à V«> = w-r ; le second est égal ^ -^— -£r.

On voit donc que l'accélération de M est la somme géométrique d'une accélération dirigée de M vers 0, ou centripète est égale à mV, et d'une accélération tangentielle qui, dirigée suivant la tangente dans le sens du mouvement , est égale à r ^'

Nous aurons donc, d'après le principe de d'Alembert, à exprimer l'équilibre, moyennant les liaisons, des forces :

mgi suivant la verticale, et des forces — mr '-^, — m„i-r

la somme des moments de ces forces par rapport à l'axe est, en désignant par x la distance du point m au plan vertical contenant l'axe

— ^m(jx — lm!-'-r-

yGoosle

: PIIODKCTIÎUR DE FOECD.

d'ailleurs, si l est ia -valeur de x relative au centre de gravité G du corps de masse totale M.

d'ailleurs, si o est l'angle qae fait avec la verticale la perpendiculaire *■„ menée de G sur l'axe

- sMr.

C'est l'équation du mouvement du pendule.

C'est précisément à propos du problème du mouvement du pendule que BernouiUi entrevit pour la première fois le principe de d'Âlerabert.

On voit nettement par cet exemple que le principe de d'Aiembert n'est intervenu efficacement ici que parce que !e mouvement naturel de tout point libre était connu ; il permettrait aussi aisément d'étudier par le calcul le mouvement d'un solide pesant.

Au point de vue expérimental, nous regardons les solides proii'iiir'^'''' ii^turels comme des assemblages de particules situées à e ja force, des distances peu variables les unes des autres ; or, dans la pure statique du corps rigide , nous avons regardé comme supprimable toute paire de forces égales et contraires ayant même ligne d'action ; l'expérience conduit à modifier sensiblement ce point de vue ; elle nous conduit à nous préoccuper des surfaces sur lesquelles des forces, tensions ou pressions se répartissent, et une paire de forces

du genre de celles dont on vient de parler n'est supprimable que si les tensions, par unité de surface, ne dépassent pas une limite donnée, et si les pressions (obliques ou normales) exercées à la surface du corps et rapportées en chaque élément à l'unité de surface ne dépassent pas certaines valeurs que l'expérience indique. Ces tensions, ces pressions n'ont pas besoin, pour le moment, d'être définies avec précision, car nous reviendrons, par la suite, sur ces considérations ; je veux seulement indiquer pour le moment comment certains mouvements imposés peuvent produire à l'intérieur d'un solide naturel de nouveaux eiïorts élastiques.

Considérons d'abord un certain système de repères oîi les particules libres aient un mouvement naturel connu, dont le déterminisme pourrait, à la rigueur, dépendre d'autres particules; supposons que ces mêmes parlicnles, an lieu d'être isolées, soient assemblées pour former les éléments d'un solide naturel, le principe de d'AIembert permettra de former les équations . du mouvement du solide, exactement comme nous l'avons fait pour le pendule composé, les forces efficaces ne fatiguent pas les liaisons, la fatigue des liaisons proviendra uniquement des forces perdues.

Il est indispensable quand le mouvement (ou l'équilibre) (in corps est connu par le principe de d'AIembert combiné avec celui des vitesses virtuelles de revenir à la détermination de cette fatigue des liaisons.

Le principe du travail virtuel élimine ces liaisons, et il faut des hypothèses supplémentaires pour les déterminer. C'est ainsi que la statique du corps rigide ayant pour premier soin d'éliminer les tensions mutuelles intérieures par

le premier de ses postulats ne saurait rien apprendre sur celles-ci qui dépendent de la lliéorie de l'élasticité. Il nous suffit de considérer l'équilibre puisque le principe de d'Alembert ramène précisément la recherche du mouvement à la considération d'un certain équilibre auxiliaire.

Pour abréger le langage et suivant une dénominalioa déjà employée nous appellerons force le produit de la masse du point par l'accélération qu'on peut prédire pour lui lorsqu'il est libre dans des conditions géomélriques ou physiques identiques.

Considérons alors un système à liaisons soumis à des forces données, et voyons le surcroît de fatigue des liaisons qui peut résulter d'un mouvement imposé. Examinons le cas particulièrement simple d'un corps rigide lié à un axe en mouvement de rotation, soit F la force qui sollicite une particule M libre supposée libre, [a son moment par rapport à l'axe de rotation; en raisonnant comme pour le pendule composé on aura pour forces efficaces : la force taiigentielle me ^ et la force centripète mtuV.

Bans les conditions d'équilibre celle-ci disparaît, mais il faut en tenir compte dans le calcul des réactions des liaisons sur le corps, soient F^ P^ F, les trois composantes de F : \° parallèle à l'axe, 2" tangenlielle, 3° dirigée suivant le rayon du cercle imposé au point d'application; les composantes de la force perdue sont :

eL ce qu'il importe de considérer dans l'équilibre élastique à l'intérieur du corps ce sont les fatigues produites par ces forces perdues sur les différents points intérieurs du corps.

Dans le cas simple du mouvement uniforme les composantes se réduisent à

Au point de vue de la fatigue le solide naturel sera dans le même état que si on adjoignait la force wjwV à la force F qui agit sur chaque particule, cette force est ce qu'on appelle la force centrifuge; on l'appelle quelquefois une force fictive ou apparente, c'est une très mauvaise dénomination dont nous verrons tout à l'heure la raison.

Pour l'école cinématique la force centrifuge est une force apparente, pour i'école statique c'est une force très réelle puisqu'elle produit une fatigue des forces des liaisons qui peut aller jusqu''à la désagrégatiou du corps, comme cela se produit dans une meule qui tourne trop vite et qui éclate.

La prétendue force apparente peut donc devenir une sérieuse réalité.

Il est important de nous rappeler que les forces perdues sont indépendantes des repères géométriques du mouvement, or il résulte de là que dans tout mouvement défini la connaissance des forces intérieures de liaison ne dépendra pas de ces repères.

Celte remarque suffît à la mécanique industrielle. Ainsi considérons le système d'un corps qui tourne sur ses appuis, uniformément autour d'un axe, les fatigues des liaisons proviendraient des forces P^, F, + î»">V, F„ mais celles-ci ne dépendent nullement des repères géométriques auxquels il nous plaît de rapporter le mouvement. Il y aura lieu de tenir compte des forces perdues non seulement pour le corps qui tourne, mais pour ses appuis.

90 forcl: i:iîNTiuFiir.E.

Pour achever cette analyse de la notion de la force centrifuge, étudions et comparons les réactions qu'un corps entraîné dans un mouvement de rolation éprouve : 1° dans le cas où il est à une distance invariable de l'ase ; 2° dans le cas où il pourrait glisser librement sur une barre qui rencontre l'axe perpendiculairement.

Dans ce second cas seulement, il y a mouvement relatif; l'accélération j qui résulte de ce mouvement est aisée à calculer si v> désigne la vitesse de rotation et r la distance variable du point à l'axe, on trouve :

j :=:, m'/- (dirigée pendant le rayon ceiiti'ipL^tc) + ( '' t — h 2 m .t ( dirigée suivant la I an génie dans le mouvement)

Soient J Taccélération naturelle du corps, J, et J,; ses projections sur la direction t de la tangente et sur la direction n du rayon, l'équilibre de d'Alembert s'exprimera en écrivant que la force perdue est perpendiculaire à la barre sur laquelle le corps peut glisser librement.

On a ainsi :

Calculons la réaction ml-î de la barre sur le point, soient Rj et R„ les projections de E sur la direction du mouvement circulaire d'entraînement et sur la barre : soient F); el J; les projections de R et de J sur la direction s de l'axe de rolation.

Exprimons l'équilibre du point libre sous l'influence des réactions de la barre et de la force perdue, qui a pour composantes, suivant les directions n, t, z.

LES FONCATEURi

les conditions de l'équilibre du point seront

on a donc, d'après l'équation même du mouvement trouvée plus haut,