UNE OBJECTION

frottement a été implicitemeût admise dans les liaisons étudiées elles-mêmes, lorsque devant un système à liaisons complètes où il n'y a qiihtne force unique admettant une composante, suivant la tangente à iin déplacement possible, nous avons admis que ce déplacement devait se produire.

L'objection est donc sérieuse; Yoici ce qu'on peut y répondre :

Lorsque deux corps solides sont en contact par un point de leur surface supposée régulière, leur action mutuelle n'est pas tout à fait dirigée suivant la normale commune. On est obligé d'en tenir compte par l'introduction d'une force tangentielle particulière qu'on appelle frottement. Et l'on ajoute, d'ailleurs, souvent : Les propriétés dont on dote d'ailleurs celte force sont obtenues empiriquement.

Si l'étude du frottement est forcément limitée, ce n'est pas à l'expérience qu'il faut s'en prendre, c'est plus encore aux données théoriques que l'on impose à l'expérience.

On lui demande de déterminer la force tangentielle qu'il faut combiner avec la pression normale pour mettre dans divers cas particuliers la mécanique idéale en accord avec l'observation : orl^il faudrait tenir compte de l'élasticité des solides naturels en contact et surtout; 2° il faudrait savoir si le système physique étudié est suffisamment défmi par le contact de deux corps rigides ou même faiblement élastiques, n'y a-t-il pas usure? et le rôle de la partie des corps abandonnés est-il toujours négligeable, lorsque dans les débris négUgés se manifeste quelquefois plus nettement un phénomène de production de chaleur.

Ceci suffit à nous montrer que le phénomène du frottement est trop complexe au point de vue physique pour nous aider à constituer les premiers principes de la méca-

LES rONDATEIillS. 9o

nique et nous conserverons la notion des liaisons comme l'image la plus simple de la science des forces et du mouvemenl.

Mais même en adoptant ce point de vue, nous avons vu qae le principe de d'Alembert ne peut suffire à la formation des équations du mouvement que si l'accélération naturelle est connue.

Nous sommes ainsi ramenés au point de vue cinématique, qui est le point de vue exclusif de l'aslronomo, comme on l'a indiqué.

Relativement à ces accélérations naturelles, y ou à la force mj, nous ne savonè rien.

Nous allons faire à leur égard une dernière hypoUièse : Nous supposons qu'il existe un système de coordonnées dans lequel tous les points matériels exercent les uns sur les autres des forces mutuelles égales deux à deux. Nous conservons encore l'hypollièse que ces forces dépendent d'un état actuel suivant un mode connu. Si d'ailleurs un pareil système de coordonnées existe, il en existe une infinité qui sont en mouvement rectiligne et uniforme par rapport au premier. Celte notion métaphysique donne lieu à des théorèmes généraux que nous allons maintenant résumer.

Si, dans un espace, des points matériels sont soumis à des forces mutuelles, et si l'on considère un plan P fixe dans cet espace et le mouvement de chaque point projeté sur ce plan, puis la somme des aires décrites par le rayon vecteur allant d'un point fixe de ce plan jusqu'à la projection du mobile sur le plan, chaque aire étant multipliée par la masse du mobile correspondani, cette somme d'aires croît proportionnellement au temps.

96 PRrXClPE DES AIRES.

En effet, soient M^ et Mj deux points exerçant l'un sur l'autre une aclion mutuelle, F,;,- comptée par exemple positive comme répulsive, les équations du mouvement do chacun de ces points seront, par la définition même de la force capable de prédire le mouvement :

^ := s F,i fci^

(Xi, iji, z„ coudamiiés du point M, r,;^ dislaiice des deux points M, et M;.

: 2 F,j lii^^

On déduit des deux premières équations

, ^'> - V ir r(^f - ^j) Vi - iVi — yj) ^.]

"'(."■ W -"■ Tel =^''"

Ajoutant membre à membre toutes ces équations relatives aux divers corps du système.

On aura

/■ d- v, d' Xi\ f.

or, le premier membre peut s'écrire on aura donc en intégrant G" désignant une constante.

LES FON DATEURS.

Or, si on adopte des coordonnées polaires dans le pian xy, on aura :

d'où

,, — arcJq- et (lai = — Vtï —

■' ir~ V'' t ^' dt )

l'équation E peuL donc s'écrire

' il d'oLi en intégrant

II" désignant une variable constante.

C'est le principe des aires relatif à l'origine et au plan des xy.

Bans un univers qui serait composé de points matérieis Application tous observables, le principe des aires établit une relation . . entre une horloge absolue et un ensemble de trois directions absolues.

Tout d'abord si on possède un point absolu fixe et des directions absolues, le théorème des aires définit «ne horloge absolue sauf le cas 1res parliculier où G" sérail égal à zéro ; s'il en était ainsi, on prendrait le mouvement projeté sur l'un et l'autre des plans de coordonnées.

Nous démontrerons tout à l'heure que si on possède une

ilS MOUVEMENT DU CllNTBE DE GRAVITE.

horloge absolue, on peut déiînir des directions lixes à chaque instant par rapport aux points matériels observables. Rappelons d'abord un autre théorème bien connu.

Théorème. — Dans un espace oîi les forces agissant sur les différents points du système sont mutuelles, le centre de gravité se ment uniformément.

On part des équations du mouvement

/ â^xi Xi — Sj

I '"'■ ,„. - !■ i} —;r— ) "" di' - ' 'J ~F7

d'oij en ajoutant membre à membre les équations relatives à une même coordonnée, x par exemple

dr ' ' r.-j

d'oii Xm; X;~nt-[-b

On trouverait de même

S miZi — a"t-\-b"

ce qui démontre le théorème, caries premiers membres de ces équations ont, en désignant par t„, ■/■,„, :;„ les coordonnées du centre de gravité, les valeurs

^,M, vM, ;„M; (M = Sm)

Remarque. — Le principe des aires est applicable daos le mouvement relatif par rapport au centre de gravité, car soit posé :

ï/i = ïlo + Y;;

ou, en vertu des identités :

2; î«( -/li — ^ »»i li "

égalité qui démontre la remarque susdite.

— Seconde application du principe des aires : Onentation de l'espace absolu déduite des mouvements relatifs d'un système isolé. Considérons un ensemble S de points matériels observables obéissant dans un certain espace E à la loi de l'action et de la réaction dynamiques ; on considère à chaque instant des axes fixes dans l'espace E, et on peut se proposer de rattacher à chaque instant la position des axes considérés à la siluation actuelle des points matériels supposés lous observables ; il suffit pour cela d'avoir une horloge marquant le temps absolu. On peut considérer un problème plus général déduit du précédent en supposant que les corps du système S soient dans l'espace B soumis

à leurs actions mutuelles réciproques et en outre à une pesanteur commune à tous les points, variable d'ailleurs en inleusité et en direction. Le deuxième problème se ramène au premier, car les équations du mouvement dans l'espace E étant alors pour chaque masse m,-

X. Y. Z désignant les projections sur les axes absolus de l'accélération due à la pesanteur commune supposée.

En ajoutant ces équations membre à membre on olilieut, en faisant S; m, = M.

ou si on appelle ^c, y^, =o, les coordonnées du centre de gravité G du système S.

LES FONDATIîriiS, 101

si on veut les mouvements par rapport au centre de gravité, c'est-à-dire par rapport à un espace Eo ayant pour origine le point G et pour axes des axes parallèles aux axes de E, on fera :

les équations (1) deviendront en vertu de ("2)

La pesanlenr commune a disparu.

On voit que le principe des aires s'applique alors par rapport à l'espace E^.

Il s'applique d'ailleurs à tout espace E'^, parallèle au premier, ayant pour origine un point dont le mouvement par rapport à E» serait recliligne et uniforme.

Les équations (3) devraienf, en effet, être remplacées dans ce cas par celles-ci :

les équations (^) ne seront pas modifiées.

Ainsi, qu'il s'agisse du problème réduit ou du problème