FORMULES POUB LES ROTATIONS
plus général, nous partirons de ce fait que le principe des aires est applicable au mouvement rappoi-lé à l'espace E„. - Ceci posé, rappelons les formules qui se rattachent à la détermination des vitesses des différents points d'un corps rigide qui pivote autour d'un point fixe. Prenons ce point comme origine des coordonnées. Une rotation inliniment petite « autour de l'axe des x laisse inaltérée la coordonnée X d'un point du corps rigide, mais soit p la distance invariable de ce point à l'axe, on pourra poser :
par l'effet de la rotation a estimée positive dans le sens de l'orientation du Irièdre des coordonnées (voir 1" leçon y et s vont s'accroître de quantités infinimenl petites dont les parties principales seront
Sy = — P Siu rp I = — a;
De ces formules on déduit que trois rotations infiniment petites a, fi, Y, effectuées successivement dans un ordre quelconque autour des axes ox, oy, oz déplaceront le point M suivant un vecteur infiniment petit dont la grandeur et le sens seront, aux infiniment petits du deuxième ordre près, représentées par ses projections A^r, \y, is, au moyen des formules suivantes :
i^ = !iJ - -tii
yGoosle
FONIIATKUIIS.
io;î
L'ordre des rotations a, en effet, une influence sur les rotations finies, mais un changement dans l'ordre des rotations n'amène dans le déplacement du point M que des variations infiniment petites par rapport à ce déplacement luimême, et par conséquent n'intlnera pas pour la détermination des vitesses, en sorte qu'en posant
a — pdf, ^ — qdt, ■; = rit
on aura ces formules donnant les composantes de la vitesse V de M produite par les rotations p, ç, r, estimés suivant les axes en ox, oy, oz
r -- <i' - ni
En s'appuyant sur ce théorème d'Enler, qui montre que tout déplacement d'une figure qui a un point fixe peut être obtenu par une rotation efiectuée autour d'un axe passant par ce point, il serait aisé d'établir que pdt, qdt, rdi, sont aux infiniment petits du second ordre près, les projections sur les axes de coordonnées de la rotation wrf' qui d'après Euler produirait le déplacement infiniment du corps rigide considéré pendant le temps dt. Les formules (3) peuvent encore être établies par les formules de la géométrie analytique.
Sans insister davantage sur ces démonstrations bien connues, je veux montrer le parti qu'on peut tirer des formules (S) pour le problème que noua nous sommes proposé. Considérons deux systèmes d'axes rectangulaires ayant point fixe et représentons les cosinus des angles que
104 FOIlMUJiUS POUn les U0TAT10^"S.
les demi-axes forment deux à deux par le iableau sui-
Yanl :
qui donne les cosinus de l'angle d'an des demi-axes oX,
. oY, ûZ forment avec l'un des demi-axes Ox, Oij, Os, au
point de concours de la colonne relative au premier avec
la ligne relative au second.
Ces cosinus satisfont d'ailleurs aux relations bien connues
.^ + c'= + c"' = I ab + a:b" + a"b" = bc-\-b'c' -{-l>"c" = cn-!^ca"-}'c"a"=0
uiJ^b"' + c'' = l a-'-^-b-^ + r-^l aa'-\-bb' + cc'=zO a'a"-\-bT-^c'c"=iO
a'a4-b"l->rc"c =
Les deux groupes de relations s'entraînent d'ailleurs mutuellement l'un et l'autre.
Les cosinus satisfont encore à des équations différentielles qui les relient aux quantités p, q, t, si l'on suppose que l'on étudie le mouvement du système d'axes 5 {ox oy oz) par rapport au système S (OX, OY, OZ).
Considérons en etfet un point A situé sur OX à la dislance 1; ce point, lixe par rapport au système S, est mobile par rapport au système s, ses coordonnées dans le système s sont d'ailleurs a, b c, en sorte que les projections de sa vitesse relative sur les axes ox, 01/, oz, sont (la dh de
di' Th' dt
LI3S FONDATEURS. lÛO
Considérons maintenant le point de s qui coïncide exactement avec A, il est enlraîné dans le mouvement du système s, or le déplacement infiniment pelît du système S, équivaut à une rotation «xlt autour d'un certain axe passant par 0.
Soient p, q, r, les projections de cette rotation sur les axes ox, oy, os, la vitesse d'entrainement du point considéré aura d'après les formules (5) pour projections sur les axes qc — rl, ra — pc, pb ~ qa;
Or, d'après le théorème démontré sur les mouvemenls relatifs (Gh. III, p. àl), la vitesse absolue du point A (vitesse nulle d'ailleurs) est la somme géométrique de sa vitesse d'entraînement, et de sa vitesse relative.
Donc
en prenant un point B situé à une distance I sur 0, puis un point G situé à une distance 1 sur OZ on verrait que le groupe a' b' c' comme le groupe a" b" c" vérifie le même système d'équations différentielies que le groupe a.b.c, à savoir le système suivant, où u, t>, w seraient les fonctions inconnues, de la variable t :
él
FOEllULES l>Oim LlîS E01
On vcriEie, d'ailleurs, que ce syslèrae jouît des propriétés suivantes :
1° II admet l'intégrale
u' + j)' 4- "-■'" = consi
nte - Cl
2° Si les groupes de fonctions de /, ;
G [u, V, w) et G, {((', v', w") sont solutions do 7 Oïl a uu' -\- w' -\- ivw' — constante — Go
On voit donc que si l'on constitue trois groupes de solutions G,, Gj, Ga, telles que l'un des deux groupes (6) soit vérifié à l'époque f„, le groupe 6 continuera à être vérifié à toute époc[«e. On aura donc défini un mouvement relatif de deux systèmes d'axes par la seule détermination des quantités p, q ei r en fonction du temps.
Revenons maintenant au mouvement des systèmes et supposons que le mouvement relatif des points soit connu, il existera dès lors un système d'axes Ox, Qy, Ox par rapport auquel le mouvement du système est connu ; on pourra é-videmment adopter pour le centre de gravité des masses en mouvement.
Prenons pour inconnues auxiliaires les p.q.r. ; la vitesse absolue d'une particule a pour composantes, suivant les axes cutraînéa.
