V. = qz
yGoosle
LES FOIN DATEURS. 107
Or, sur des plans fixes qui coïncideraient avec les positions actuelles des plans de s, les théorèmes des aires relativement à ces plans seraient /, m, n, désignant les projections d'un Yccteur fixe sur les axes mobiles
s M {x^y - yy.r) — n
je dis que /, m, et n représentent les projections dans le système *■ d'un vecteur fixe dans le système S.
Cela est évident, si on connaît déjà la composition des aires, des moments ou des couples.
Si non, il nous faut reconnaître que si X Y Z sont des coordonnées fixes et si Ft t^ P^ sont les projections d'un vecteur invariant par rapport à la direction des axes, les quantités L, M, N, définies par les égalités
L = VF. - ZF„ M=:ZF^ — XF, N = XF„ — ÏF.
définiront encore les projections d'un vecteur également invariant par rapport à la direction des axes.
D'ailleurs, pour comparer deux groupes (L, M, N) définis dans, deux systèmes d'axes de même origine, il suffit de comparer plusieurs fois deux pareils groupes définis dans deux systèmes d'axes qui ont un axe commun ; or, pour deux pareils systèmes, il suffit de reconnaître que la même substitution double
F,,, == Fi cos (f + r„ sin ï, X ' = X cos 9 -f Y siii ï Fj,, = F,siLi^ + F,co5'9 I Y' = -Xsiij;p + Ycoso
yGoosle
10a OBIKNTATION ABSOLUE.
produit, sur les (|uanLi[és L M N, qui se changent en L 'M' N ' la même subsUluUon
M' = — 1. sii]^-t-M'cos9
or la vérification est immédiate.
Les valeurs de /, m, n peuvent être calculées au moyen des valeurs de V,^, V^,, V.. des formules (8).
Posons alors
,' A = 2m (f + î.=), B = i:m [:^ + x% C = Sm (x'' + ,f)
Nous trouvons ainsi
;=;jA — 7l' — i'\i -\-A m ^ - ,,K + qb - ,D + -^
'^ = - r^i + 'Ji> - '-c H- V
lin sorte qu'en désignant par P^, Qo, \i„ les composanles fixes du vecteur (/, m, /() sur les ases fixes primitifs on aura, pour la détermination des neuf cosinus, le système :
LES FONDATEURi
,,A - ,P rE + ). = oP, + »-Q. + «' -II.
— pF + ïB — rD + n = SP.+ 4'Q. + l"H.
- pE - ,D 4- ,.C + V = tl>. + t-Q„ + E-'R.
j^ -j-ra — pc-0
j^ + pb-qa=.0
% + ..'~ry = o
X,|A,vsontcon
nus par l'obser valion ilii moii-
veraent relatif.
%r + ,'"-rV^o
~ fc" =
\ dt
On peut toujours supposer qu'à l'époque inilialo le système d'axes OX, OY, OZ coïncide avec le système d'axes Ox, Qy, Oz. Ce qui donne les valeurs initiales
Le système précédent pourra donc être intégré, pourvu que l'on connaisse les constantes P,, Qo, B»-
Je vais montrer que les quantités p, q, >■ peuvent être déterminées à chaque instant da mouvement, et en parti-
110 ÛIUKfiTATION ABSOLUE.
culier au début, sans aucune intégration, du moins lorsque les corps en présence sont suffisamment nombreux. Je m'appuierai à cet effet sur le théorème de Goriolis que nous avons déjà vu et sur la distribution des accélérations dans un corps rigide qui pivote autour d'un point fixe, que je vais maintenant indiquer. Soit OA le vecteur représentatif de la vitesse de rotation w actuelle, soit OA' le vecteur représentatif de la rotation w' à l'instant t-\-dt, on peut le considérer comme la résultante géométrique du vecteur OA et du vecteur Of, auquel ou donne le nom d'accélération angulaire élémenlairej l'accélération angulaire étant représentée par le vecteur dirij'é !im. -^, nous la désignerons par a.
La distribution des vitesses dans le corps rigide à l'époque t résulte simplement de <■>; la distribution géométrique des vitesses dans le corps rigide à l'époque t -\- di résulte de la nouvelle valeur de w; en cherchant la variation géométrique de !a vitesse d'un point quelconque du corps rigide, on aboutit simplement au résultat suivant :
Soit OA le vectenv représentatif de w et 011 le vecteur représentatif de «.
L'accélération du point M est la résultante de raccélération centripète qu'aurait ce point dans un mouvement circulaire uniforme autour de l'axe w avec la vitesse (u, et de la vitesse figurative qu'aurait le point M s'il tournait autour de 01 avec la vitesse angulaire figurative a.
La première composante est dirigée suivant la perpendiculaire MP à OA (MP = f) et est égale à <u'p, la seconde est perpendiculaire au plan OHM, et si a désigne la distance du point M à OH, elle sera égale à a».
Si p, g, '■ sont les composantes de i» suivant les axes, et
LES FOND A TE uns. 111
si TT, X, p sont les composanles de l'accélércaLion angulaire, on pourra calculer l'accéléralion du point M de coordonnées 2:, ij, z; ce calcul, que le Ihéorème des projections rend intuitif, noua donne pour les composantes de l'accélération 7 d'entraînement du point M :
f + 'i' + i' 1 (p^ + 'iij + ''ï) — (f + 'i
f + l' + rr (pi + itU + Ti}- if' + f
Considérons maintenant ;; points matériels formant un système isolé, c'est-à-dire soumis dans un espace que nous regardons comme fixe à leurs actions mutuelles et à une pesanteur commune arbitraire; si P^^ désigne l'action mutuelle de deux masses m, et m^ el si X;, yi, Zi désignent les coordonnées de la masse m^ dans un système de coordonnées arbitrairement choisi, dont le mouvement, par rapport à l'espace lise, est défini par les quantités p, q, r, rà, /, p, les équations du mouvement relatif seront, d'après le théorème de Goriolis et s, H, Z désignant l'accclcration due à la pesanteur commune
ihh dx\ , d%
Omi;>'TATI0>' ATiSOIA'E.
en considérant un point particulier au. système {x^, y^, z^) de masse m„, on éliminera les s, H, Z et on aura les relations
l.ih.-U^M.^jV,-'-
!"i^jl^j/-
et denx autres analogues,
Nous supposons les forces mutuelles aholiies du système connues, on a alors 3 {n — 1), équations renfermant les trois inconnues p, g, r, car
Si donc n ^ 2, ces inconnues pourront être déterminées sous le bénélice de 3 n — 6 équations de condition.
Observons d'ailleurs que les trois premières équations du système 10, pour pouvoir être résolues par rapport aux p, q, T, exigent que le déterminant :
Ji — D
soit dîftcrent de zéro.
LlîS FONDUTEUnS. 113
Or, ce déterminant est égal à :
