AD= + DE^ + CF^ + 2DEF) + ABC

ou eiicoro en posant :

égal à :

{y^h)(h^k)ik^g)-W-{i,^h)-W{k-\-f,-) -^F^QS^^h) -'iQY.F

qu'on peut encore écrire :

[H) 2{yhk-mF}+{hk-D'){li + k]^',bg-K'][l; + .j)+:!!h-V-^]{g-l-h}

Chaque terme de cette somme est positif ou nul, car, par exemple l'on a :

/(/.■ — IJ- = ïm,î/,- SnijZj- — [Sm/,-!/(,-Si]^ ^=

Les trois différences considérées hk — \f, etc.j ne seraient donc nulles que si les n points formaient une ligne droite avec leur centre de gravité.

On a donc

yh > r-

et par suite aussi puisque j, h, k sont positifs

(jhk > DEF

yGoosle

nvarialtle de

114 T.i: PLAN l^VAlllAELE.

L'expression (11) est donc toujours positive à moins que les n corps ne soieut en ligne droite avec l'origine des coordonnées.

Le plan j^e vecteur (/, m, -n) défini plus haut peut comme p, q, r

être défini à cliaque instant sans intégration; et il a une direction invariable. Eq astronomie le système de repères adopté pour les mouvements relatifs des planètes est aligné sur les étoiles, on peut regarder ce système comme fixe pendant une période relativement courte, mais en vertu des mouvements propres des étoiles, les directions ainsi obtenues ne peuvent pas indiquer des directions absolues rigoureusement fixes dans la suite des siècles.

Laplace a défini élégamment la position du plan invariable en négligeant toutefois les mouvements de rotation des planètes sur elles-mêmes. [Exposilion du système du monde, page 200).

— Quelques remarques su?' le principe de la consercation du mouvement du centre de gravité, et le principe de la conservation des aires; la chute du chat.

Si dans un système isolé, dont la définition a déjà été donnée, le centre de gravité est au repos, il reste toujours en repos, en sorte que si un corps solide vient à se relâcher de ses liens rigides, pais à reprendre son ancienne forme, son centre de gravité aura la môme situation qu'avant.

Gela résulte de ce que le mouvement d'un système isolé admet dans l'espace absolu les intégrales :

lES Fft^' DATEURS.

H — Cûiistanle

'Sim;^ = K=^Con5tim

dz,

, = L :^ Conslaiite lit

Les constantes sont nulles, si le système part du repos, nais alors dans ce eus on a

[ a»(i,T;; = H' = Coiist= en coordannéos \

, , ( Si»; y miK'^ Consl=

absolues /

[ S/K; S; = L =: Const«

Ainsi un corps isolé d'abord immobile, peut se déformer sous l'action de forces intérieures mutuelles, mais qu'il recouvre ou non son ancienne forme, son centre de gravité demeure toujours immobile.

On peut comparer aux équations (12) les équations qui expriment le principe des aires dans un espace absolu, savoir :

s™,.^^,'|^,Jl) ==,:" = Constante

Sm,.(ï/.|'~.,f )==(;- Constante

Sm,- (z. —' — x^ ~^ =C'~ Constante \ (il il/

Les équations analogues ont lieu par rapport à des axes fixes ou du moins par rapport à des axes qui définisaeût l'espace E oîi le système est isolé, sans pesanteur commune à tous ses points; si le système est isolé, avec pesanteur

11G AXKS l'Iîll.M AGENTS.

commune à tous ses points on a vu plus haut, que tes équalions soni encore valables dans le mouvement autour du centre de gravité.

Les quantités G. C, G" sont toujours les projections d'un vecteur, fixe dans l'espace E.

Avant d'envisager comme pour le mouvement du centre de gravité le cas où les constantes G, G', G" seraient nulles, observons que le corps supposé rigide ne peut avoir par rapport à son centre de gravité qu'un mouvement de rotation; alors si I est le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe, on voit par la composition des aires, justiûée plus haut, que le vecteur (G. 0', C") est égal à

le.

I» désignant la vitesse de rotation actuelle du corps rigide, mais il ne faut pas croire que le corps va constamment tourner autour d'un axe de direction invariable, cherchons les conditions nécessaires pour qu'il en soit aiusi. On peut les obtenir par la considération de l'équilibre de d'Âlembert. Dans le mouvement autour de son centre de gravité, d'un sohde qui n'est soumis à aucune force extérieure dans l'espace E, nous savons par le principe de d'Alembert que les forces d'inertie relatives à cet espace E doivent se faire équilibre, or dans le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, l'accélération d'un poiut se compose de l'accélération centripète due à la rotation w autour de l'axe actuel et de l'accélération représentée par la vitesse figurative du point due à une rotation figurative égale à l'accélération angulaire «■

Nous devons exprimer l'équilibre autour du point de toutes les forces d'inertie.

LES rOiNDATEBRS. 117

Nous avons déjà donné les conditions de cet équilibre en coordonnées cartésiennes, mais sans développer ces conditions, on voit que si les forces d'inertie dues à la force centrifuge née de la rotation oi, sont déjà en équilibre, les forces d'inertie dues à l'accélération angulaire devront être aussi en équilibre, mais d'après la composition des moments ou des aires justifiée plus haut (p. 103), celles-ci donnent lieu à un moment représenté par un vecteur dirigé suivant l'accéléralion angulaire et égale au produit de cette accélération multipliée par le moment d'inerlie du corps par rapport à cet axe, ce dernier moment dinerlie étant différent de zéro (liormis le cas où le corps se réduisait à une droite dirigée suivant l'accélération angulaire), le second équilibre partiel, conséquence du premier équilibre partiel, exige donc que l'accélération angulaire soit nulle et réciproquement. Ainsi la condition nécessaire et suffi-, saute pour que la rotation ^ passant par le centre de gravité du corps solide persévère indéfiniment autour du même axe est que les forces centrifuges dues à cette rotation se fassent équilibre sur le centre de gravité du corps.

Ces conditions s'expriment simplement, car, d'après un calcul déjà utilisé plus haut, on a, pour les composantes X, Y, / de la force centrifuge de ia masse m,

t.rX = m [{f + f + r"-) x-p {px + (/(/ -|- rz)] oj'-V = m {{f -\- f + r^J !, — g ( pa: + 9!/ + rz)] lù"--/, = m[{f-\-q''-{- r^) z ~ r [px -\' qtl + rz,] '»- -fi- f + !■'

p, ç, r désignant les projections de lu sur les axes, les conditions d'équilibre des forces X, Y, y, autour de l'origine sont :

118 AXES riERJIA>E:(TS.

s (Yx Xy) =

■ S (Zy - Yz] =

S (Xï — Zat; =

c'est-à-dire, d'après les précédentes valeurs de X, Y, Z,

Sm (px -\-qy-\- rz) [py — qx) = :im [px + gy + vz) (qz — l'i/) = Sm (pa; + ijy + ri) [rx — pz) ~

Ces conditions se réduisent d'ailleurs à deux, car si l'on ajoute ces équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par r, p, q, on obtient une identité, car

r ipv - qx) + p {qz - ry) + ,/ {:-x - jk) Zl

si la rotation w est prise comme axe des z, p = o. q = o, r — L.J, et les conditions précédentes se réduisent à

= Smyi. =; Smsj; =

L'étude de la distribution des moments d'inertie montre que l'on peut toujours satisfaire à ces équations pour trois droites rectangulaires passant par le centre de gravité. Où donne à ces droites un nom qui rappelle la propriété qu'on vient de démontrer : on les appelle des axes pei-manents de rotation.

Lorsque le corps solide isolé dans l'espace E est au repos autour de son centre de gravité, il garde une orientation

lES FONDATKURS. 1 1 !1

invariable par rapport à l'espace E. Il est essentiel d'observer que le raisonnement ci-dessus s'applicfue à un corps solide capable d'un mouvement continu. Maisil ne s'applique nullement à un corps qui, après déformations, reviendrait à sa première forme; tout ce que le principe des aires permet d'affirmer, c'est que lorsqu'un corps isolé, d'abord au repos, a repris sa première forme solide après s'être déformé, il n'aura aucune vitesse de rotation par rapport à, son centre de gravité, mais on commettrait une erreur g^'cive en affirmant que m,algré sa déformation, le corps doit reprendre finalement la même orientation par rapport à l'espace E où il est isolé.

Voici un exemple très simple que j'emprunte à M. Appell où va se produire un changement d'orientation, malgré le retour du système à sa première forme. Imaginons un système idéal pesant contenu dans un cylindre homogène qui peut se mouvoir sa7}s frottement snr un plan horizontal.

Gomme la réaction du plan est supposée normale commune au plan et au cylindre, elle passe par le centre de gravité du cylindre ; nous allons placer maintenant dans le cylindre quatre hommes, dont deux ont la masse m et deux ia masse ti, et leur donner des mouvements par rapport au cylindre qui laisseront à chaque instant le centre de gravité du système total en coïncidence avec le centre de gravité du cyUndre, 0.

Le principe de la conservation des aires autour du point sera alors applicable à ce système particulier.

Les hommes placés dans le cylindre ne pourront se déplacer qu'en prenant un point d'appui dans le cylindre, et il n'y a là que des forces intérieures mutuelles; quant à la pesanteur, elle est commune à toutes les masses du

LA roi:]! de m. APPEI.l.

système. Nous aurions donc là un système isolé si nous n'avions pas la réaction du plan sur le cylindre.

Notre système n'est donc pas immédiatement assimilable à un système de points libres soumis à des forces mutuelles, localisées sur des masses définies du système, comme nous l'avons supposé plus haut ; mais si l'on se reporte aux explications données à propos du principe de d'Alembert, on ■voit que l'équilibre de d'AIembert a lieu pour le système oii la réaction R serait supposée localisée en un point de contact actuel du cylindre.

Or, si on regarde le corps rigide comme équivalent à un système de points libres, sauf à introduire des réactions intérieures, nous devons exprimer l'équilibre de cet ensemble de points libres, mais l'éguilière devant sitbsislei' lors de la rigidification actuelle du système total d'après le théorème du travail virtuel, on voit qiie les forces d'inertie doivent se faire équilibre sur le système total rigidifié. Or, en prenant le moment par rapport au centre de gravité on élimine la réaction du plan et on retrouve le principe des aires comme pour des systèmes de points libres soumis à des forces mutuelles.

Celte remarque faite, réglons les déplacements des quatre hommes conformément aux (juatre phases suivantes :

État initial ou position Po, les deux hommes de masse m sont eu A„ et Bo sur une même droite, aux extrémités d'un même diamètre d'une section droite centrale; les deux hommes

LES FONDATEtHS.

de masse [i. sont sur le même diamèlre en deux points G et D symétriques par rapport à 0.

Première phase : passage de la position Po à la position P,.

Les hommes de masse m marchent avec une même vitesse sur le cylindre, qui peut être supposé une roue à échelons, dequantitéségalesdans le sens d'une même rotation ligurée par la flèche pleine jusqu'à ce qu'ils se trouvent sur une perpendiculaire à Co Do, le cylindre tourne alors d'une quantité a vers la gauche.

Deuxième phase :

Les hommes de masse H se déplacent de quantités égales en même temps et se réunissent au centre i la roue ne bouge pas, mais le moment d'inertie par rapport à l'axe du cylindre diminue.

Troisième phase :

passage de P~ à Pj.

Les deux premiers hommes reviennent à

122 J,\ nOUE IIL M. APPELL.

leurs posiiioiis primilives A^, B,, sur la l'oue; celle-ci tourne en sens contraire de sa rotation primitive d'un angle p différent de a, puis s'arrête en même temps que les hommes.

Quatrième phase :

Les hommes de masse vquittent de nouveau le centre et reviennent à leur position relative primitive; le système a repris sa configuration primitive, la roue ne tourne

pas.

Calculons l'angle [i — a dont la roue a tourné finalement.

Appliquons le théorème des aires pendant la première phase et pendant la troisième phase.

Soit I le moment d'inertie de la roue sans les hommes.

Soient OA„ = a OGo— S le théorème des aires donne pendant la première phase

2,«fl=Q-t,)-[I + 2^.ATa =

et pendant la troisième phase

2 ma' Ç — rA - 1 [i :;=.

■(l + 2mrr)"(I+2m«=+^bO

yGoosle

LES FONDiTEUKS. 123

ce qui montre que la roue a bien tourne d'un au^^le p — -jnon nul.

Dans les dessins figurés on a supposé un roulement pour mieux représenter les phases du mouvement, mais il est clair qu'en l'absence de frottement ce roulement ne peut . se produire.

On voit donc que les conséquences à lirer du théorème des aires ne sont pas tout à fait comparables à celles que Ton a déduites de la conservation du mouvement du centre de gravité.

Un animal isolé et mns appui ne peut modifier, d'aucune manière, par ses mouvements volontaires le mouvement de son centre de gravité, mais un animal isolé peut par des déformations temporaires convenables réaliser des déplacements qui produisent, quand il revient à sa configuration primitive, un changement final d'orientation de son corps sans lui faire acquérir pour cela une vitesse de rotation lors de la solidification.

C'est ce qui arrive précisément dans la chute d'un chat abandonné sans vitesse (par la rupture d'un fil) et qui parvient, par des mouvements que M. Marey a photographiés, à retomber sur ses pattes, ayant ainsi produit dans l'orientation finale de son propre corps un changement équivalent à un demi-tour, bien que le demi-tour n'ait pas été exécuté par un corps de forme invariable.

— Remarques sur les forces intérieures que peut développer un animal.

Il y a deux ans, la chute du chat donna lieu à d'intéressantes remarques à l'Académie des sciences; vers cette époque, je causais du phénomène avec un philosophe tout