FORCER MUTUELLES

l'être vivant, par exemple la roue de M. Appell, et dont le second membre contient les moments des réactions exercées sur le solide. En ajoutant l'équation obtenue membre à membre avec l'équation des moments on obtient un premier membre

"df)

où la somme s doit être étendue à toutes les masses du système (être vivant et solide en contact), et au second membre, où ne figurent que les moments des forces extérieures au système, si l'on convient d'appeler force d'un point la masse d'un point par son accélération naturelle ; les moments des forces mutuelles ont disparu.

L'emploi du postulat de d'Alembert pour le corps solide a cet avantage que l'on n'a plus besoin de regarder le corps solide dans chacun de ses équilibres comme équivalent à un ensemble de points libres soumis à des forces mutuelles.

La manière de faire, adoptée plus haut, a l'inconvénient de mettre en jeu les réactions intérieures du solide, réactions dont on ignore encore les déterminations avant d'aborder la théorie de l'élasticité.

Ainsi, pour en revenir aux préoccupations de notre philosophe, on peut dire qu'un animal a le pouvoir de produire de la force en utilisant des points d'appui sur un système extérieur, ou même en utilisant les points d'appui réciproques que se prêtent les diverses parties de son corps les unes par rapport aux autres, mais ces forces produites sont mutuelles, la mécanique n'affirme à leur égard rien de plus, rien de moins.

i,ES foni).\ti!i;rs. 127

Plaçons-nous désormais dans cet espace absolu délini à Nouvelle hypoun mouvement de translalion uniforme près. On suppose généralement que la force absolue, c'est-à-dire le produit de la masse par l'accélération naturelle absolue, est une fonction de la position du corps et d'autres éléments physiques actuellement définissables. On dit qu'un système de masses ou de points matériels comporte une fonction des forces U, si Xi, y,, Zi désignant les coordonnées cartésiennes et Xj, Y;, Z; désignant les composantes de la force absolue, on a :

accélérations niturelles.— Le principB

nergie.

si la fonction U est une fonction bien définie dans tout l'espace, le travail des forces relatif à un déplacement ■virtuel fini quelconque du système jouit de la remarquable propriété d'être indépendant des étapes qui ont réalisé ce déplacement, il ne dépend que de la position initiale et de la position finale du système ; en effet, le travail élémeuT taire relatif à un déplacement virtuel quelconque est, en désignant par dx,, dijt, dz^ les projections du déplacement de la masse m, :

X. dx, + Y,- (hj, -!- z,. dz, ou, d'après les valeurs de X,, Yf, Z,,

dx ' dyi ' dz, '

IMTIXRALI'; ÏIRS FORCIÎS VIVKS.

la somme de ces Itavaux relatifs à un déplacement iiiiiniment petit du système sera :

et le travail correspondant au déplacement fini sera l'intégrale :

J - Kj^: ''"' + di. ''■"'■ + Ê '''-'■ )=^- L'"

"U, et ll„ désignant les valeurs de la fonction U qui correspondent à la première et àla deuxième positions du système ; d'autre part, les équations du mouvement absolu sont, par la définition même de la force absolue :

^■ii

on lire de là

\dl. dl- dt de ^ dl dl-J ' '

ou encore

'\dt dl ^ dl dl ^ dl àU ^ ."'-r ' '

ou encore en désignant par vt la vitesse du point :

LES FONDATEURS. Ii9

v'(S)"+(t)"+(îy

rfQm^r/) :=X,(ù:/ +¥,■(;;/ -\-lidzi

d'où, en ajoutant membre à membre ces équations :

d \ s m; V? = S (X; (te,- + Y,- ây^ + Z; rf^,)

c'esl-à-ilice, dans l'hypollièse d'une fonction des forces U :

équation dont l'intégralion est immédiate, les équations du mouvement du système admettent donc Yintégrale.

\ i;mjj),"~U + 'i '( (lésignaiit une coiistaiiU;

c'est l'intégrale dite des forces vives.

Le théorème de d'Alembert montre que lorsque les points matériels ne sont plus libres, et qu'il existe une fonction des forces naturelles absolues, le théorème précédent subsiste pourvu que les liaiso}is soient indépendantes dît temps, la démonstration n'offre aucune difiiculté et je crois superflu de la reproduire ici.

L'intégrale des forces vives fournit un critérium remarquable sur la stabilité de l'équilibre.

— Lorsqu'un système à liaisons réversibles et indépen- ^^ stabilité.

dantes du temps est en équilibre sous l'action de forces , . ,

•^ ^ Lagrange et di

qui dérivent, soit naturellement, soit en vertu des liaisons, m. uapounof, d'une fonction des forces U, et si l'on désigne par q, q^... Çt les variables indépendantes qui déiinissent k chaque instant la position da système, les valeurs de ces variables

envisagées en une posilion d'équilibre du système vérifient les équations :

liB

dq,-

dû

du

dql:

En effet, le travail virtugl correspondant à un déplacement infiniment petit du système, est dans l'hypothèse de l'existence d'une fonction des forces U :

=ïi+,i

S'il y a équilibre, cette somme doit, d'après le principe du travail virtuel, être nulle quelles que soient les 59, ce qui ne peut avoir lieu que si

f^o f = 0...f = «y , <lq^ dqi!

Ces conditions seraient en particulier remplies si la fonction U se trouvait maxima ou mininia.

La distinction des deux cas est essentielle, on va le voir, pour la stabilité.

On dit que des forces fonctions des paramètres g sont en équilibre stable sur le système à liaisons fixes considérées lorsque chacune des massesî«iétant supposée écartée s!///îsamment peu de sa posilion d'équilibre M,", et abandonnée là avec une vitesse initiale suffisamment petite, l'écart du

LES VO:(D\Tr,liRS. 131

poiiil à sa posilioii d'éniiilibre eL sa viLesse resleronl toujours en valeur absolue inférieurs à des limites assignables.

Si pour une posilion donnée du système la fonction U est maxima, l'équilibre sera stable.

Tel est le théorème de Lagrange dont Lejeune-Dirichlet a donné une démonstration rigoureuse que nous reproduisons.

Soient 7,° g^" g,," les valeurs des g lors du maximum de Tj posons

la fonction U devient une fonction des x,, ),.,... à,,, U (>„>>.,... Xft) qui est maxima pour les valeurs nulles des variables >.; la difi'érence

est donc négative, lorsque les X d'ailleurs suffisamment petits en valeur absolue ne sont pas tous nuls : telle est la délinilion même du maximum d'une fonction qui va nous servir.

Désignons par p uue petite quantité, et considérons l'ensemble des valeurs absolues des À dont aucune ne dépasse P, mais dont l'une au moins atteint p; pour toutes ces valeurs les différences

U {0,0,... 0] — U (?>,, .. Ài) solU positives.

aoit 2 leur minimum nécessairement différent de zéro et positif. D'autre part soient ^,°î>2"... V des valeurs des l assez petites en valeur absolue pour que l'on ait