I.ITK RT INSTABILH

M. Liapounof.

Plaçons le système dans la posilton définie par les valeurs J^i"... V et abandonnons-le en donnant à chaque masse m une vitesse th" assez petite pour que l'on ait

Je dis que dans io mouvement naturel du système ainsi abandonné aucune valeur absolue des ). ne dépassera p.

En effet, les variations étant continues, s'il en était ainsi à un moment donné, il y aurait eu un moment antérieur où quelques l atteindraient la valeur p sans que les autres l'eussent dépassée; voyons ce que nous donne l'intégrale des forces vives appliquée à ce moment; nous pourrons l'écrire

Le second membre de cette égalité est formé de 3 crochets dont les deux derniers sont positifs mais moindres que |- et dont le premier est négatif, mais en valeur absolue supérieur à s, le second membre serait donc négatif, ce qui est absurde puisque le premier membre est essentiellement positif, il est donc impossible dans ces conditions qu'aucun l atteigne la valeur ç.

Récemment un géomètre russe a démontré, pour la première fois, la réciproque de cette proposition et fait voir que

TjEs fondateurs. 133

lorsqu'il existe une fonction des forces, la slabililé de l'équilibre exige que celte fonction soit maxima. M, Hadamard a retrouvé de son côté le même théorème que nous nous contenterons ici d'énoncer.

On se rappelle que dans les systèmes à, liaisons, le rcn- conséquences

^ . 1 1- ■ I- \,- -n du théorème de

forcement des liaisons reniorce 1 équilibre. jj Uapounor

Lorsqu'il existe une fonction des forces le renforcement des liaisons renforce aussi la stabilité. C'est ce que montre le théorème do M. Liapounof.

Il est naturel de se demander si ce renforcement de la ^^ propriété ■labilité, par le renforcement des liaisons subsiste sans forces. S'il en

l'hypothèse de l'existence d'une fonction était ainsi en toute généralité deux points libres placés en deux positions d'équilibre stable, seraient en équilibre stable quand on Yiendrait à les réunir par une barre rigide de longueur invariable.

Cette propriété ayant lieu, quelle que soit la longueur de la barre, on pourrait conclure que si deux forces, fonctions de point, laissent un même point en une même position d'équilibre stable, leur résultante jouirait de la même propriété. Or cette proposition est fausse, comme je le montre dans une des notes placées à la fin de ce volume.

subsiste plus en ralaence d'une fonction

(les forces.

Deux Écoles en Mécanique.

H n'y a, parmi les mécaniciens, aucune discussion sur la manière donl les principes généraux de la mécanique doivent être compris et appliqués, mais il y a diverses manières d'apprécier la signification philosophique des concepts fondamentaux de la science.

Pour certains esprits, la mécanique est une métaphysique, la dernière qui subsiste, mais impérieuse et inflexible; pour d'autres, elle est une intuition directe de l'économie générale de la nature ; pour quelques-uns, elle est nécessité de notre entendement; pour d'autres, elle est le fruit d'expériences très générales; entin, presque pour tous, elle est le schème obligé des théovies physiques. Force et matière sont des vocables qui exercent une fascination irrésistible sur les esprits disposés à refaire le monde avec des mots. Les mêmes mots, d'ailleurs, reviennent sans cesse sur la bouche de ceux qui aiment mieux agir sur la îialnre que discourir élégamment sur elle.

Ces mots expriment aussi bien la préoccupation du chercheur que la vanité des explications puériles et purement verbales, et cela suffît pour expliquer l'intérêt que

lES FONDATEUHS. IdO

présente encore l'analyse des idées si variables qui conrenL sous ces mois.

Qu'est-ce qu'une force ?

Posez la question à un professeur de mécanique rationnelle, il vous répondra : « C'est une cause de mouvement. » Et il ajoutera même, s'il est surtout analyste : « C'est une fonction de point qui me sert parfois à prédire le mouvement, comme en astronomie, où cela a merveilleusement réussi, n

Posez la môme question à uu ingénieur, il répondra : « La force, c'est ce qui fatigue des lieiis déterminés, ce qui les tend, ce qui peut les rompre; c'est aussi la fatigue de mon bras, laquelle peut résulter soit d'un équilibre auquel mon bras participe, soit de la modification de mouvement qu'il produit sur une quantité de matière déterminée, »

La préférence accordée à l'un ou à l'autre de ces deux points de vue caraclérise l'une ou l'autre des deux écoles de la Mécanique.

Sans doute, la mécanique n'existe que par le rapprochement des deux points de vue, mais l'une ou l'autre école subordonne l'un des points de vue à l'autre.

La comparaison des deux écoles est intéressante, elle invite à mieux comprendre la portée des méthodes de la science, leur puissance et leurs limites.

L'École classique. — Pour bien comprendre le point de vue de l'école classique, il importe de se rappeler que les fondateurs de la mécanique furent aussi les fondateurs de l'astronomie, et que, contrairement à l'opinion du bon La Fontaine, la mécanique céleste est infiniment plus simple que la mécanique terrestre.

136 l'école classique.

Galilée créa la notion d'accélération, dont le rôle cinématique devait être si utile à l'astronomie; rappelons brièvement l'importance de ce rôle.

Après que Kepler eut découvert la première et considérable approsimalion des mouvements intérieurs du système planétaire, ou le mouvement elliptique, la détermination par Newton de l'accélération dans ce mouvement constituait un beau théorème de géométrie, mats n'apportait aucun élément nouveau au problème physique dont Kepler venait de donner une première solution.

Au contraire, le jour où Newton transporta audacieusement dans le ciel le postulat de l'égalité de l'action et de la réaction, la divination de Vattraclioii réciproque des corps du système donna immédiatement le moyeu de corriger, de compléter l'approximation de Kepler,

Un fait digne de remarque, et trop peu remarqué, accompagnait la mémorable découverte de Newton, je veux parler de l'abandon du système de coordonnées de Copernic, si utile à son heure, et de la consécration de ce système de repères implicitement adopté aujourd'hui sous ie nom d'espace absolu.

Le système de coordonnées do la mécanique céleste a pour origine le centre de gravité du système planétaire; et, de plus, l'orientation absolue de ce système pourrait être déduite de l'observalion des seuls mouvements relatifs du système par une méthode analogue à celle dont on fait usage pour la détermination du plan invariable.

I^a mécanique céleste rattache ainsi à l'horloge absolue, que ses principes réclament, la détermination de directions absolues.