llOTATiON MOÏliN^E
On trouve ainsi :
en désignant la forme qiiadriUiqnc du SGCond membre par 2 9 {a, b, c).
On pent encoi'e écrire
Si on considère la surface ^(.ï'î/';')=K on pourra écriro
la surface a [x'i/'z') —-■ K porlo le nom d'indicaLrice. Rotaiion Qi^^ ||. ^g|,ipg igg équations (1) sous ta forme
rnoyciiiie. ' i . ;
)di-=,-s^+â'sii+ite;'' +2^"^'^"'^.'' +2U~,k/ "âU^-^J^
el. deux autres équations analogues.
Posons maintenant :
" 2 V'^ dij)
yGoosle
CORPS DÉFOBJIABLES.
et les relations (1) s'écriront alors :
lit
il est aiao de voir que le vcctcut Q défini par la relation vectorielle
a une définition invariante à l'égard du trièdre des axes.
Les seconds termes des seconds membres des équations (b) expriment, comme on l'a yu (!'"' partie, ch. IV), les composantes des vitesses dans une rotation o; les premiers termes correspondent à une déformation.
Il est essentiel d'ailleurs d'observer qu'il y a une infinité de manières de décomposer les déplacements du milieu autour d'un de ses points en une déformation et un déplacement de solide rigide, de manière k ce que ce dernier soit arbitraire ; mais la décomposition précédente due à Heimholtz jouit de propriétés intéressantes.
Voici l'une de ces propriétés ;
Les trois fonctions -jt ~jj -jï (fonctions de x' , y' z') ont été décomposées simultanément sous la forme
150 TnÉORÈllE DE BELTRAML
les quantités A, B, G, vérilîant la condition
dx' + dy- + ih' - ''
Oi- nous verrons plus loin que le mode de décomposition simultanée de trois fondions données sous les formes indiquées n'est possible que d'une seule manière.
Ici les fonctions sont des fonctions linéaires de x', y' , z' .
Interprétation L'indicatrice est une quadriqne que l'on peut rapporter de la, défor-
^ , , a ses axes, en ce cas mation fonda- '
mentale (Beltrmi). 2 ^ = ^ + --^ + ^ 1= K
Considérons alors les pointa physiques situes sur la surface de cette indicatrice.
Les coordonnées x' y' z' do l'un de ces points deviendront au bout du temps dl en vertu du mouvement de déformation d'Helmholtz
la surface indicatrice envisagée comme surface physique se transforme donc en la surface qui a pour équation
IPS DEUOnMABLES.
OU, puisque dt est infiniment petit :
l'indicatrice se transforme donc en une surface du second degré homothétique d'une surface homofocale de la surface primitive.
Menons par ie point A 3 diamètres conjugués de l'indica- interprétation lrico:AA„AA.,Aâ.. J.i.d».r-
matioii fonda- Soient ^1,^2, ps, les distances du point P [x'y'z') aux plans mentala par respectifs (AA^A,), (ÂA^AJ, (AA^A,) et (Xii^jv,), p^-vO. ^«""''«"^■ ^■i[H-'-i) les cosinus directeurs des distances p„Pi,p3, relativement aux axes, on aura d'après le théorème des projections :
I/éq«ation de la surface rapportée aux plans conjugues peut s'écrire :
les valeurs de Ki K^ lU peuvent être calculées aisément, car en désignant par Ot la vitesse de dilatation linéaire suivant AA,, on a :
TDEOnEME I) Hlïr.
mais en nommanl ,o,, m., <..,.,., les aiigles de la droile AI! avec les dislances ;ji, ;'j, p-^
on trouvera aiii^i :
~' COS' 1.)/ "' cos^
on aura donc finalement :
'h 'h ^ 1 fli
-Ji, [/.,+.
d'où ce (héorème : en chaque point P voisin de A, la déformation fondamentale est la résultante géométrique des trois dilatations :
dirigéos respectivement suivant les perpendiculaires aux plans conjugués.
Contractions Soient AB et AB; deux droites issues de A dont les cosiangu aires ^^^ directeurs sont respectivement (abc), [a^ by c,), l'angle i de ces deux, droites sera donné par :
COSy = ((«i -j- Ih^ -h'i^i
CORPS DÉFORUiBLES, 133
en difTérenciant on aura, par les formules (2) :
si les deux diioclions sont rectangulaires, on trouve d cos s
dt
\'da^ 'db^ 'd('J— y da,^ dh, ' daj
lisons, par exemple :
les doux droites sont les axes de //' et de z' envisagés comme axes physiques, et on trouve ainsi :
Z') (dM àv\
"■" W + dz]
nous poserons désormais :
[' du ^^ __ dw dv
1 "■'■' ~dx ''' ~ dy ' dz
•(■> 1 do u ^ ''" I *'"'
j. -2 — g /i (ij "i" 4j,
a,. -J.3, ïj sont les vitesses de dilatation axiales G,, fis, %i sont les vitesses de contraction angulaire axiales.
154 nOTATlON AlOYENSE.
Propriétés Aulour de A, imaginons une sphère concentrique, de
moyenne. Tayon s, et remplie d'une matière homogène de densité h-; imaginons que chaque particule de cette sphère soit animée d'une vitesse égale à la vitesse du point du milieu qui coïncide avec lui, le produit de la masse de chaque particule par sa vitesse est ce qu'on appelle la quantité de mouvement de cette masse. On peut assimiler ces vecteurs à des forces, et effectuer la réduction ordinaire de la statique. Si on considère au point A des vecteurs parallèles égaux et contraires aux premiers, ils forment avec ceux-ci des couples ; le couple résultant de ces couples est le moment du système des forces par rapport au point 0, et la composante de l'axe de ce couple estimé suivant l'un des axes de coordonnées sera égale à la somme des moments des quantités de mouvement considérées par rapport au même axe.
Nous allons démontrer que ces moments sont, à un facteur constant près, les composantes p, cj, >' de la rotation moyenne o.
Le moment par rapport à l'axe de x d'une force P, dont les projections sur les axes sont X, Y, Z et qui est appliquée à un point (x, y, z), est Zy — Ys.
la somme des moments cherchée sera donc :
c'est-à-dire
Kdw . , dœ , dw A , {do , , du iv \ ;\
or, l'homogénéité supposée Je la sphère donne de suite
CORPS DÉrORMABLES. 100
E<i.œ' y' — S'^œ' z' =0 Xti-y' z' =
La somme précédente, où les dérivées partielles sont regardées comme constantes, se réduit donc à
dij
D'ailleurs si I est le moment d'inertie de la sphère par rapport à l'un quelconque de ses diamètres, l'expression précédente se réduit à
dio dv
Même raisonnement pour les moments par rapport aux deux autres axes; si ces moments sont L, M, N, on aura
N = Ir
— Comme le moment qui a pour composantes Tj, M, M, est un invariant, la rotation û délinie par ses projections p, q, r jouira de la même propriété, comme on l'a déjà indiqué.
— Voici une aulre propriété de la rotation moyenne, si on adopte comme axes les axes principaux de l'iiidicatrice, len quantités
du dv dv dw dtc . du
lolj ROïATIO-N MOYENNE.
sonl nulles, mais nous avons vu qu'elles représentent les vitesses des contractions angulaires des angles des axes. La ligure formée par les axes de l'indicatrice se déplace donc sans se déformer d'une façon apparente puisque les déformations fondamentales d'un point de chaque axe se réduisent à des déplacements sur cet axe.
Le Irièdre trirectangle tourne alors en bloc par la rotation Q.
Il est bien entendu que nous ne considérons en parlant des déplacements de points appartenant aux arêtes du trièdre que les points infiniment voisins de A.
Si on voulait renoncer au langage si commode des infiniment petits on devrait dire :
Si on considère un trièdre trirectangle formé à l'époque t avec les axes de l'indicatrice, ce trièdre se change en un système de trois courbes et si on envisage les tangentes à ces trois courbes on forme un nouveau trièdre variable, la vitesse de variation des angles correspondants est nulle à l'époque t.
Les deux manières de parler sout équivalentes, mais la première a l'avantage de la concision et nous continuons à l'adopter.
Cinématique [sniie).
L'ellipsoïde de déformation, les dilatations principales,
déplacement d'un élément de surface physique,
théorème deM. Bertrand. Emploi de coordonnées curviUgnea.
Considérons à l'époque t l'ensemble des points physiques Bàfomation , , „ . , , (l'une sphère.
15 [x y z ) qui sont sur la sphère :
à l'époque i. -|- <U le point 13 aura poui' coordonnées relatives
et, en négligeant les termes en dt-, on aura ;
y" = y' + {vi-'Vi)iU
; DEFOllMATlON.
en résolvant ces équalions en x' y' z' on tirii par exemple :
~dij
^ du dl
ou en m'ylifjeant les termes en dl^
on calculera de même y' et. z', on obtient ainsi les formules
CORPS DliFOBMADLES .
et on porLanl dans l'équation de la splière on aura, toujours en négligeant les termes en dt-
cette surface est un ellipsoïde qui a mêmes axes que l'indicatrice.
Cherchons les vitesses de dilatation principales.
On sait que si on envisage une forme quadratique
et qu'on lui associe la nouvelle forme, contenant l'indéterminé S
F(3^.î;,ji)-S(œ2+'/4-^')=ï(^.!;,î)=A.«^+Ay + A"iî+2Bi,s4-5B's^+2C"^!/ les valeurs de S pour lesquelles les polynômes
cessent d'être linéairement indépendants sont évidemment indépendantes des changements de coordonnées que l'on peut faire sur les coordonnées x, y, z, pourvu qu'elles restent rectangulaires; ces valeurs de S sont fourmes par l'équation :
A ïr;B'
c'est-à-dire en faisant
BILATAT10:<S PIliNClPALES,
F = ax'' -}- a'y- -\- a" :-^ -\- :l'yz -^- zl>' zx -)- zh" :nj
or si l'équalion de la quadrique esl mis sous la forme :
on voit que S,, Sj, S;, sonL préciscinont racines de l'équalion en S ("2; ; les longueurs des axes a, b, c, sont d'ailleurs :
Appliquons ceci à la quadriquc (1) on aura
D'ailleurs ai </,, (/j, (/j, sont les vitesses de dilatations principales on aura
,. = .(1+S,A) S,^(j-:^'3-^îy =1-2 5,*
t=.(l+4iiO s, =1-28,*
l'cqualion en S appliquée à la quadrique (1} esl d'ailleurs ;
[1 — 2ï, * — S; - fia — ;i.>
(1— 2j.àl — S)
en faisanl B = 1 — 2 s ri/
i;OKPS DEFOllMiBLLS.
celle équation devienl, en divisant par dt^, (2 s-».,) -?.
Il)
Cetlo équation aura pour racines les vitesses des dilatations pdnci[jalcs 3i, S,, s^, comme le montrent les formules (3).
Si l'on pose
i'équalion (4) s'écrira
(0) (2 5/ - A, (-2 of + A, (2 o) - A, ^
Les racines de cette équation sont des invariants à l'égard des différents trièdres trirectangles de coordonnées. Donc les coefficients Ai, A^, A3 sont des invariants.
Celte remarque nous sera utile dans la théorie de l'élasticité.
L'expression ~ ^ ai + a, -f- 13 a une signification géométrique remarquable ; considérons un paralfélipipède rectangle dont les arêtes sont parallèles à celles du trièdre de coordonnées et dont les petites dimensions sont égales à h, h, 4; à. l'instant dt, les arêtes du parallélipipède rectangle modifié sont devenues /i {1 -|- a, rf/), i.,i\-\--j„,dt)^
102 BÉFOKMAIIOS SLPMFlflllîLLIi.
k (i + "3 1^')) <it' le volume s'est accru d'ime quantité dont la partie principale est, en négligeant des qaatiULés de l'ordre de dC :
h h h (ai + ce, + y.,) cU
La vitesse de l'accroissement relalif de volume ou de la dilatation cubique autour du point A est donc
Nous la désignerons par 0.
Depiaoein™t Considérons un élément de surface idiyainue dont kîs de aiirrace particules restent assemblées en vertu de la continuité, physique. Soient a, b, c, les cosinus directeurs de la normale
à l'élément, cherchons commetiL ces éléments varient avec le temps dt.
Considérons dans l'élémenl une droite physique dont les cosinus directeurs sont y., p, -/, on aura la relation
(7) a-. + b<^ + cy =
Différencions et ayons é^^ard aux formules (2; et (3} du précédent chapitre. Nous aurons en dénommant par S les variations de la normale à l'élément qui est une droite géométrique, mais n'est plus une droite physique :
'!;;+pï'H;;+»[-2î(«,B.Y).+|+(«-.«]
+ 4 [- 2 f c». ?. ï) ? + j| + ('■« - Pï)i
CIIRPS DÉFOIiMAIiLr.S. 163
Les loraies cii ^ se déLniisoni, les termes :
peuvent être remplacés par la somme équivalente
'■" da '^ ^ db ^ 'f de on aura donc en ordonnant par rapport à a; [i; v.
Or cette équation doit ôtro en «, p, y une relation identique à la relation 7 ; sans quoi elle ne pourrai!, avoir lieu pour toutes les directions situées dans l'élément de la surface physique considérée.
En identifiant les deux relations nous trouvons, m désignant une quantité encore inconnue :
pour délerniiner m observons que l'on a identiquement :
tûut-\-hZb-\-vZc----r.O
les équations précédentes et le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes donnent alors
IGi THÉOnÈME DE M. IiEIlTllA,Nn.
« = 2ç(..6,c)s2, on a donc eni'm pour les dérivées cherchées
En comparant ces formules avec les formules (2) et (3) du chapitre I, on voit que la normale à rélément de surface physique, éprouve un déplacement de déformation égal et contraire au déplacement de déformation de la droite physique qui coïncide avec celte normale.
On peut se proposer de trouver un élément de surface physique qui reste parallèle à lui-même, il suflît de faire
en remplaçant p, q, r par leurs valeurs, on trouve ainsi
V ' dij ' dx dx
du I / a I dv\ . . dw ^
Ces équations homogènes ne seront compatibles que si l'on a :
COUPS DÉFOlUl.VîiLlîS.
dij ~ ' ' di/ dy
du dv 9 1 *
Celle équation en (f. est du ^l" degré; elle admet Ivois racines, dont une au moins est réelle ; il y a donc au point A au moins une direction de plan tel qu'un élément physique situé dans ce plan et entourant le point A ne change pas d'orientation entre les époques i ti t -\- dt.
Si on adopte, au lieu des coordonnées x^, i coordonnées curvilignes orthogonales : p, , pj , pa , paramètres de trois familles distinctes de surfaces orLhogonalcs définies par les relations
fi{Xi, Xi, 3?3) = f,
fi (iWi, a?s, x^ = p2
fi [Xi, X,, X-i) — pj
des Expression des six éléments (le la détor-
doiineea ci vilignes.
dans lesquelles on suppose que les fonctions /,, /„ /a vcriiicnt les relations d'orlhogon alité
ixs dx, "•" dxi dXi ~^ dXî dXi dh df^,àfj df^df^ ^ = dxi dx, ' dxs dxi ' dx, dx-i
dxi dx, ' d'Xi dx-2 ~^ dXi dxj
si on pose, en dénommant les fonctions indifféremment par / ou par p :
Ibb COOllDÛiSNIiliS CUIlVn.lGNES,
la distance des deux points infiniment voisins est donnée par la formule très simple :
(Jp,^ f/pi' rfp,'
Cette foiTmile et d'autres utiles s'établissent comme il suit :
Cousidérons les intersections des surfaces orthogonales deux à deux.
Soit AK, la courbe où p, varie seul, ABa la courbe oîi p^ varie seu.1, et AE^ la courbe où p^ varie seul; l'intersection des surfaces p, = C et p, =: c", c'est-à-dire la courbe AR, est normale à la surface pi = c'% etc., ete.
SI donc AAi, AAj, AAj sont les tangentes t,, U, t^ aux courbes ÂR|, AR^, AR^, qui forment un trièdre trirectangle, on a, comme on sait, en désignant par S^s l'élément d'arc de AR, et par 0^3:^, sa projection sur l'axe x,,
-t de,
de l'égalité
et comme évidemment
hi (IXi,
coui's DiiroriM-uiLiis.
en subsLiliianL cetLc valeur do à^s^ dans l'égaliLù
(il;
si pu pi. p; varient simuitanétnent, la considéralion d'un parallélipipède rectangle infiniment petit, donne de suite
Ceci posé, considérons la vitesse du point A et soient «1, !(j, i'j ses composantes suivant les tangentes ÂA,, AA,, AA3, on aura
Supposons que le trièdre mobile de coordonnées cartésiennes 3:,, Xi, X3 coïncide avec ie trièdre AAi, AAj, AAj, et soient a,, a^, «j, p,, %, p^ les dilatations et les glissements relatifs à ce trièdre; la dilatation relative à une direction dont les cosinus directeurs relatifs à ce trièdre sont X,, i,, Xj, est, comme on l'a vu,
6 = a, 3.,' + a, ).j' + a, l^^ + p, X, l, + fj, À, l^ + % l, l, évaluons <i en coordonnées curvilignes.
