par Z ~ î -jf
en particulier, si on considère un corps isotrope ùùlé à l'iïîiérieitr comme à la surface on aura :
l ' ' ' ilx
à l'intérieur I
'■'il^
a surface (E)
' \dx' dx ' dv/ ' \ dx dy di-J
!iÀO + u.n-r +)( j +"-;- ) + u.M -r+'^-j^ + ii-}- 1=0 "^V (/z d3 (ij/ ■ ' \i}x dy dzj
■S'îb DISCONTINUITÉ DES HA.EMOm(JUES.
Essayons àa satisfaire aux équations précédontes par des solutions de la forme :
vibratoires simples. [ ^ — 'i cos ^1 ; ?],Tii,ïi diisigiiaiiLiUwroiicLioiis tics
I ■/] — ïi, cos k, l seules variables x, y, z, et fti désigiiaut
f r, zzz ;i cos /;, t une constante;
les fondions =1, ■',„ Kv dcYi'out alors satisfaire aux équaLions :
i ^'' + i^' 'à + ■^^'' ^ - i^''''-' à rinlériour
1 rf'j, a, H-, f) constantes d"
1 (H-;^);ïrH-[^iÇ>=-
;lMic
et aux équations (E) à la surface, ^auf le changement de ï, ï|, i; en ?i, -T]!, c, respectivement.
Pour établir la discontinuité du nombre k,, M. roincarc établit d'abord le lemme suivant :
Lemme. — Désignons par l -i ï trois fonctions quelconques de X, y, z, et posons :
^^— ^Ci-'-^g'-'[(i)'+(S)"+(i)"
et soient :
les quantités définies au moyen de W^ par les équations de l'équilibre élastique, c'est-à-dire les forces et pressions qui correspondent à la déformation (;, ■1, ï).
soient X^iK, trois autres fonctions quelconques, cl X'Y'Z'
COUPS bèpoumaiîles.
P'i-V'yP'^ les valeurs correspondantes de X, V, Z Pj 1',, P^, on aura, d'après la dctinition des P ef des X Y Z '
les SE, E-^, Sï étant arbitraires, faisons SE, 3ti, SS proportionnels à t' II' ï'.
Nous aurons ;
et en échangeant lo rôle des foucLioiis ç -^i C et des l' -i' 'C on aura :
Or d'après une propriété bien connue des formes quadratiques
^v '^ 'iL = s^ — —
dj! d.v
on déduit alors des relations précédentes.
+ / (p,ï' + p„v/-up,r-r';^-P,;r,-- p;i;)(/.t) = o tel est le lemmc de M. Poincaré.
JaS liISCOMTiNriTE IllîS lUBMOSigUES.
11 comprend comme cas 1res parliciilier le théorème de Greeii. Il siiflil de faire
J, + .,. dans l'idcntilé précédenle pour avoir :
Les vibrations périodiques d'un solide élastique ISOLÉ ne peuvent former un ensemble continu.
Dans l'équilibre de d'Âletnbert, les P sont nuls, et les seules forces extérieures sont les forces d'inertie.
On aura donc d'après le lemme précédent :
; i:^ ^1 COS Kl t \' ^l, COS ki t
-Il =^ Tu COS k, t f/ = ''a COS h t
K = C, COS kt C' = ^, cosÂ^ji
l'identité précédenle devient :
Or si des vibrations périodiques distinctes formaient un ensemble continu k — kl serait distinct de zéro et son fac-
r.ORl'S DKI'OHMATILES. 229
teur nul se réduirail pour deux sy&tèmcs de viliralionsiuliniment voisins à
et cette expression ne pourrait (Ure nulle que si la déformation était nulle.
Nous utiliserons d'abord la remarque suivante : Prévision des
Si au moyen de la forme quadratique W, définie plus
haut, et à l'aide de deux vecteurs e, s' déOnis par leurs
projections respectives :
on forme l'expression :
-■ -^ -j-p -. que nous désignerons par t (s, ^ )
nous aurons d'abord d'aprùs les propriétés des fonctions homogènes du second degré :
Nous représenterons d'ailleurs la fonction W, (;, t,, 'Q par
Ceci posé, envisageons le problème de mininmm suivant.
2S\\ PREVISION DES HABMOKIQUES.
Considérons tous les groupes de fondions l, t,, 'ç, qui satisfont à la condition :
I (-/ + -„= -^ ïo ''^ = I
Les intégrales — Av. dz fornicnt un ensemble de quantités toutes positives et qui admettent un sous -minimum, comme on l'a vu plus haut. Admettons que ce soiisminimum soit un minimum proprement dit, la méthode des variations apprend que lorsque ce minimum est réalisé on aura, en désignant par m, un certain coefficient numérique et par l, ly, i;, les fonctions |, vj, i; qui réalisent ce minimum
5W,, (il +
■ quelles que soient les variations ^\y, Ôvj,, BÇi,
Soit f, le vecteur défini par les projections ^,, -r,,, ç, et 5p, la fonction vectorielle définie paf les projections S:,, Bï,i, ôi;' on pourra écrire la condition de minimum
f,,ôp,)tk + -2m I li. 3;, + ,„ 3v„ + ï, ô!,) i,
et supposons par exemple : Sv|i — vu (3Ei = r.
Il existe donc un nombre positif /t,^ et des fonctions li, Tii, Cl tels que l'on ait quels que soient les 3 :
fiW.d- + t:-!, fl'J + -,„■ + V) II- =
COUI'S DÈFOliMABLKS. 231
Le nombre k^ esL prccisémoiil le ininimnoi de — /W; det les coudi Lions difTércnliellcs du miiiiiniim sonL précisément. la vériricalion des équations (.î) et (E) mr le nombre k^ et les fonctions ïi, y|i, x,i.
Envisageons maintenant les fonctions :, f,, l, assnjelLies à ■vérifier les relations
(s= + Vf -V ^) d
l'ensemble des groupes {l fi C) fournit immédiatement l'en semble des intégrales positives :
ec nouvel enseml>le admet un soiiH-ininimum. Si ce minimum est un minimum propre il existe un nombre k/ (on va voir qu'il est effectivement positif) un nombre h et des fonctions ^2, ïi3, i^ tels que l'on ail :
+ C, ;,) <h zrz
faisons d'abord :
et désignons par p» le vecteur dont les projections sont ?3 fii C5 on aura :
yGoosle
232 priÉvisio?' des iLvnMOiNiQrES
d'autre part, en faisant :
dans les équalions qui expriment le premier minimum considéré, on trouve
donc
donc enfin :
alors en faisant
dans la relation générale aux 5 on trouve que A^ est le nouveau minimum el par suile qu'il esL aussi posilir, et ainsi de suiLc : on délinira de proche en proclic des noralires kj et un groupe associé de fonctions ?r, -r,u C
Les fondions li, r,;, C* sont clioisics parmi celles qui, assujetties aux relations :
^-i-i:yd.= t
rendent minime l'inlégralc :
COlll'S DKl'ORMABLKS.
Si /ci^ est le minimum de cotte intégrale le groupe /.„ i„ \i, li satisfait aux équations (J) et (E).
La démonstration indiquée s'étend de proche en proche; elle est soumise aussi aux objections qui ont été formulées plus haut à propos de l'application de la méthode des variations au principe de Dirichlet.
La méthode des variations est une puissante méthode de recherches, mais elle est jusqu'à nouvel ordre insuffisante au point de vue de la parfaite rigueur.
Les considérations qui précèdent ne constituent donc qu'une prévision de l'existence des harmoniques, ou des vibrations périodiques des corps homogènes et isotropes, isolés.
L'existence de ces harmoniques, dans le cas des membranes, a été démontrée rigoureusement par M. Poincaré dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences et dans lo journal mathématique de Palerme, les « Rendiconti 11 .
Pour compléter les considérations précédentes nous démontrerons le théorème suivant :
— Les divers mouvements vibratoires simples dont l'existence vient d'être indiquée sont tous linéairement indépendants.
Supposons en efi'et que l'on ait pour une certaine valeur de i
■I|;= S AjT|j
Théorôme.
INDEl'IilSDA^Cr, DES HAAMONIQUES.
On va voir que les Aj soiiL tous mils; en elîel, s..oit k un nombre onlicr parliculief compris clans la suite
nous aurons, puisque
+ -%-v, + ïjî.)'(^--0
iU^ -h V + ÏO' àT = 1 donc A,, ~
Corollaire. — Les qnanlilés k à partie de k-, sont toutes différentes de zéro.
En effet si k, =■ 0, on aurait :
W; (f,) riT
Gomme Wj est une fomie négative déûnic des ^ et des [i, les ce et les p sont nuls.
Le solide se déplace sans se déformer.
Mais si l'on a :
/£, -= k — o lî, -.Lz o k; = k., — k,,=^o
On aura pour les six premières solutions, sis déplacements indépendants du solide rigide; si l'on avait encore fc, = 0, on aurait nn septième déplacement de solide rigide, qui nécessairement serait une fonction linéaire des six pre-
CGiii's défohmaulks. ^6ù
miers déplacciûcuts, mais ceci csL conli'airc an tiiftoràme précédent. Donc les nombres k; forment une suite non décroissante h partir de h-, qui n'est pas nul.
La forme linéaire des équalions ([} et (E) semble indi- Formeprobabie
lie la solution
quer que la solalion la plus géiiéraie des équations prece- génèrakdes
dentés sera une combinaison linéaire des mouvements petits mouve-
vibratoires simples. ^^.^^^
On ne possède pas encore de démonstration rigoureuse de ce théorème bien probable.
— Une première application de la mécanique des corps dcformables est l'étude des mouvements vibratoires dans divers milieux el la théorie mathématique de la lumière.
Ces applicalioiis ne rentrent pas dans le cadre de ces leçons.
Une seconde application concerne la dynamique des fluides. Nous l'indiquerons ci après et nous y placerons la théorie dynamique des tourbillons dont la théorie cinématique a déjà été faite.
Enfin une troisième application devrait être la théorie de la résistance des matériaux et les applications aux problèmes réels.
Jusqu'à présent la solution générale de ces problèmes, même dans les cas simples, ne peut être dégagée simplement des théories précédentes.
Un premier pas dans cette voie a été fait par Saint- Venaut; dans la troisième partie de cet ouvrage nous indiquerons les hypothèses complémentaires qui permettent de s'attaquer aux problèmes réels des constructions et nous les développerons pour quelques cas simples choisis.
On peut définip les fluides : des systèmes qui ne transmellent que des pressions normales et ne peuvent être tenus en équilibre que par des compressions superficielles ; la loi de répartition des pressions montre que cette pression normale a une valeur constanlop indépendante de l'orientation de l'élément sur lequel elle s^'exerce.
Cette déiînition n'est pas la plus générale, mais elle nous suffira.
Considérons un parallélipipède rectangle parallèle aux axes, dont deux sommets opposés ont pour coordonnées X, y, z et x-\-dx, y-\-dij, s+ d:,, et dont le volume d-c est dx dy dz.
Exprimons que le parallélipipède solîdiiié est en équilibre sous l'action d'une force de translation extérieure donnée ^"Edxdydz, de composantes : pXrf-r, pY(/t, pZf/x.
Considérons les forces parallèles. à l'axe des x et qui sont :
1" La force ^d-..
2" La pression p dy dz sur la face antérieure normale à ox.
W' La pression ■ — (!' + j '^^) rfj/fiîsu-r la face postérieure
parallèle à la face antérieure.
COaPS riÉFORMABLES. 237
On aura donc :
ou simplement
el ile jiiiîrae : oT — '^'^-.0
Le principe de d'AIembort nous donnera immédialemcnt les équations du mouvement d'un fluide; si y^, j,j, j-. sont les projections sur les axes de l'accélération de la particule
On a, d'ailleurs, en considérant les projections u, v, w, de la i/itesse, comme des fonctions des coordonnés actuelles de la particule et du temps,
' . du , ((. ,
^>ia du dy ^ dz,
, do j dv ''dlj^^' dz
Avec les variables d'Euler.
dw 1 div
" di, ^"' dz
238 ITîS VMllDïïS.
On a donc en (!) 3 équations aux ii Ibnclionfi inconnues : n, V, w, p, p.
Une quatrième équation est louniie par la noiion de la conlinuilc.
La rapidité de la variation relulivc du volume d'une particule de voliimo At ou ,j a ])our expression :
<l\i dv ilw Tv + ïïy + 71^
En exprimant que la masse pAt est invariable on aura :
(Il '^ dx "■" dy '^ dz
La cinquième équation doit être empruntée aux propriétés thermiques du fluide.
On peut supposer ou bien que le fluide garde partout une température constante, ou bien, s'il est mauvais couducteur de la chaleur, que les variations de chaleur liées au changement de pression de chaque particule sont nulles.
Dans les deux cas, la thermodynamique fournit une relation entre p et p.
Ecmarque i\ est essentiel de remarquer que dans ces bypothèses,
impoi-taiiic. ^|. ^. j^g forces accélératrices (par unité de masse} résultent d'uiie fonction des forces II, nous aurons une fonction U' des accélcralions :
C011P3 UÉFOBMABLGS. 239
Unnc les Ihcorèraes d'IIelmîioltz sue les toui'bi lions sont applicables.
Les équations du mouvement doivenL ètro complétées par les conditions anx limites, parmi lesquelles on pnut distinguer :
1" Les conditions relatives aux parois fixes on mobiles;
2° Les conditions relatives à la surface libre.
Les premières se traduisent ainsi, soit :
l'équation d'une paroi dont le mouvement est connu; à celle équation on adjoint la suivante :
qui exprime l'adliéreace avec glissement des particules fluides en coulact avec les parois. Quant aux conditions relatives à la surface libre, elles consistent généralement on ce que cette surface est soumise à une pression constante p^. On admet généralement que les mêmes particules forment la surface libre. On aura donc ainsi à la surface :
Telles sont les conditions aux limites qu'il faut adjoindre aux équations (1) et (2) pour la recherche des fonctions
